【反對稱矩陣的性質(zhì)及其應用探究3900字】

反對稱矩陣的性質(zhì)及其應用研究目錄摘要 1引言 21.預備知識 32.反對稱矩陣的基本性質(zhì) 63.反對稱矩陣性質(zhì)的應用 163.1反對稱矩陣在判定矩陣可逆中的應用 163.2反對稱矩陣在求矩陣的秩中的應用 173.3反對稱矩陣在線性變換上的應用 18結(jié)束語 19參考文獻 20摘要：本文首先闡明了反對稱矩陣的相關(guān)定義；其次對反對稱矩陣的自身性質(zhì)，反對稱矩陣秩的性質(zhì)，特征值的性質(zhì)進行了歸納和證明；最后介紹了反對稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對稱矩陣求矩陣的秩及反對稱矩陣在線性變換中的應用.關(guān)鍵詞：反對稱矩陣；逆；秩；線性變換引言反對稱矩陣是較為常見的矩陣之一，在代數(shù)學中占有著重要的地位.反對稱矩陣具有若干條特殊的性質(zhì).反對稱矩陣的這些性質(zhì)在利用反對稱矩陣判定矩陣可逆及求矩陣的秩中發(fā)揮著重要的作用.反對稱矩陣也為求解與歐氏空間線性變換相關(guān)的題目提供了新的思路.現(xiàn)如今很多學者都對反對矩陣的性質(zhì)和應用做出了比較深入的研究.文獻[2]介紹了反對稱矩陣的行列式、秩及特征值等方面的性質(zhì)；文獻[6]借助反對稱矩陣的定義和性質(zhì)展示了反對稱矩陣性質(zhì)的應用；文獻[7]詳細闡述了反對稱矩陣的自身性質(zhì)和特征值的性質(zhì)；文獻[8]對比說明了對稱矩陣和反對稱矩陣性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系.本文基于以上的文獻，進一步歸納了反對稱矩陣的性質(zhì)，并對這些性質(zhì)做出比較具體的證明.而且還介紹了反對稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對稱矩陣求矩陣的秩以及反對稱矩陣在線性變換中的應用.1.預備知識定義1.1[1]設，若，稱為反對稱矩陣.定義1.2[1]在行列式中劃去所在的第行與第列，剩下的個元素按原來的排法構(gòu)成一個級的行列式稱為元素的余子式，記作.定義1.3[1]對于行列式中元素，稱為的代數(shù)余子式.定義1.4[1]設是矩陣的行列式中元素的代數(shù)余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣.定義1.5[1]設則稱是的轉(zhuǎn)置矩陣.定義1.6[1]若存在，使，則稱可逆.定義1.7[1]如果矩陣適合，那么就稱為的逆矩陣，記作.定義1.8[1]矩陣的行秩是指其行向量組的秩，矩陣的列秩是指其列向量組的秩.定義1.9[1]如果，則階實矩陣為正交矩陣.定義1.10[1]設，為數(shù)域.，有；，有.當加法與數(shù)量乘法能夠滿足：；；，，使得（元素0叫做的零元素）；，，使得（稱為的負元素）；；；；，稱為上的線性空間，且，.定義1.11[1]對中任意向量，定義二元實函數(shù)，若滿足：,；；；，當且僅當時稱為歐氏空間.定義1.12[1]如果，，都有，，則線性空間的一個變換稱為線性變換.定義1.13[1]設是歐氏空間，和的線性變換.若對，有則稱為的反對稱變換.定義1.14[1]如果對階矩陣和存在可逆，使，那么稱與合同.2.反對稱矩陣的基本性質(zhì)性質(zhì)2.1任意矩陣都能表示成對稱矩陣與反對稱矩陣的和.證明令.因為，,故是對稱矩陣，是反對稱矩陣.性質(zhì)2.2若為反對稱矩陣，則.性質(zhì)2.3[2]若是反對稱矩陣，為任意數(shù)，，則，，為反對稱矩陣；為反對稱矩陣的充要條件為；當為奇數(shù)時，為反對稱矩陣；當為偶數(shù)時，為對稱矩陣.證明因為，所以，，，.故，，為反對稱矩陣.因為，.若為反對稱矩陣，則有.反之，若有成立，則有.即為反對稱矩陣.故為反對稱矩陣的充要條件為.當為奇數(shù)時，有.當為偶數(shù)時，有.性質(zhì)2.4奇數(shù)階反對稱矩陣行列式的值為0.證明假設有奇數(shù)階反對稱矩陣.因為，所以.性質(zhì)2.5偶數(shù)階反對稱矩陣的伴隨矩陣是反對稱矩陣，奇數(shù)階反對稱矩陣的伴隨矩陣是對稱矩陣.證明設是階反對稱矩陣，是伴隨矩陣，由伴隨矩陣定義可知.且對任意數(shù)，有.又因為為反對稱矩陣，所以.當為偶數(shù)時，即為反對稱矩陣.當為奇數(shù)時，.即為對稱矩陣.性質(zhì)2.6對有必為反對稱矩陣.證明因為，所以為反對稱矩陣.性質(zhì)2.7如果有階反對稱矩陣和階對稱矩陣，那么是階反對稱矩陣.證明因為，，所以.故是階反對稱矩陣.性質(zhì)2.8是反對稱矩陣對任意維列向量，都有.證明充分性記，，其中表示第個分量是1，其余分量是0的元列向量.則有所以.從而為反對稱矩陣.必要性因為是反對稱矩陣，所以.從而.性質(zhì)2.9[3]若為反對稱矩陣，則與如下展示的矩陣合同.證明因為是一個反對稱矩陣，可設，現(xiàn)在對用數(shù)學歸納法來證明.當時，結(jié)論顯然成立.當時，若，結(jié)論顯然成立.若，取，則.即與合同.如果對階數(shù)小于的反對稱矩陣結(jié)論成立.現(xiàn)在證對階為的反對稱矩陣結(jié)論也成立.若的第一行全為零，即時，則，是階反對稱矩陣.由歸納法可知，存在一個階可逆矩陣使.令，則.再令，是階單位矩陣，則.取，則.若矩陣的第一行不全為零，不妨設，這時與合同，是階的反對稱矩陣.即存在可逆矩陣，使.因為是階的反對稱矩陣，故由歸納假設，存在階的反對稱矩陣，使.令，是2階單位矩陣，則.令，結(jié)論得證.性質(zhì)2.10[3]設為階矩陣，那么證明當時，有，故.當時，至少存在一個不為0的階子式.即.因為，所以.故.即，.在時，的任意行全部線性相關(guān)，故它的任意級子式都是0.即.性質(zhì)2.11當反對稱矩陣的所有階與階主子式全部為0時，則.證明在時，由題可知的對角元素和2階主子式全為0，故對任意，有.但，所以時結(jié)論成立.假設時，結(jié)論成立.則當?shù)乃须A與階主子式均為0時，.即在時，由于的所有階與階主子式均為0，此時若的所有階主子式也為0.由歸納法假設可得.若存在一個階主子式，則根據(jù)已知得所有含有的階與階主子式都為0.于是，結(jié)論成立.綜上，根據(jù)歸納法可得結(jié)論對成立.性質(zhì)2.12秩為的反對稱矩陣至少存在一個不為0的階主子式.證明設是秩為的反對稱矩陣因為，故的所有階子式皆為0，進而的全部階主子式皆等于0.因此的所有階主子式全等于0，即.與矛盾，所以至少存在一個不為0的階主子式.性質(zhì)2.13[3]如果是階反對稱矩陣，中存在一個階主子式，含的階主子式皆為0，則.證明若中存在，那么必為偶數(shù)，進而的所有階主子式全為0.如果位于的左上角，記對加中第行和第列元素組成的行列式.考慮階主子式.是含的一個階主子式.由已知得，進而知，從而的2階主子式.與均是的含的階主子式，即；又因為.故.綜上所述，.性質(zhì)2.14反對稱實矩陣的特征值為零或純虛數(shù).證明設是實反對稱矩陣，有.為特征向量，則有，從而.故.綜上為純虛數(shù)或0.性質(zhì)2.15若實矩陣為反對稱矩陣，則可逆.證明由性質(zhì)2.14可知不是的特征值，所以.故可逆.性質(zhì)2.16設是反對稱矩陣的特征值，則也是的特征值.證明因為是反對稱矩陣的特征值，所以有，.從而.故也是的特征值.性質(zhì)2.17若有階可逆反對稱矩陣，那么必為偶數(shù).證明因為，所以.故由性質(zhì)2.4得為偶數(shù).性質(zhì)2.18若反對稱矩陣可逆，則也是反對稱矩陣.證明設為反對稱矩陣，則.故也是反對稱矩陣.性質(zhì)2.19反對稱矩陣的合同矩陣也是反對稱矩陣.證明存在可逆，使.故.即為反對稱矩陣.性質(zhì)2.20上兩個階反對稱矩陣與合同，當且僅當.證明充分性若，則存在可逆矩陣和，使，.又有，因此和主對角線上的分塊矩陣具有的塊數(shù)一樣.即.故與合同，與合同，根據(jù)合同的傳遞性可知與合同.必要性若與合同，則有與合同，故有.性質(zhì)2.21如果對實反對稱矩陣和實對稱矩陣可逆，有，那么可逆.證明因為可逆且，所以.故.即是實反對稱矩陣.又因為的特征值是或純虛數(shù).顯然不是的特征值.故.即.因此是可逆矩陣.3.反對稱矩陣的應用3.1反對稱矩陣在判定矩陣可逆中的應用根據(jù)上面的討論，可以總結(jié)在判定一個矩陣可逆時有兩條途徑：只有零解或；在求解與反對稱矩陣相關(guān)的題目時，性質(zhì)2.7使用頻率較高.例1如果反對稱矩陣可逆，為維列向量，則可逆當且僅當.證明由已知也是反對稱矩陣，故，又因為是可逆的，故有，即.故可逆，即，.例2設且為反對稱矩陣，求證：可逆，且為正交陣.證明若，則齊次線性方程組必有非零解.即，于是有.因為是實反對稱矩陣，所以.由可知.與之矛盾，故必可逆.故為正交陣.3.2反對稱矩陣在求矩陣的秩中的應用對于涉及到反對稱矩陣求矩陣的秩的題目，我們應該首先考慮反對稱對陣的秩的相關(guān)性質(zhì)，得到的部分加邊矩陣的秩也為.例3如果有反對稱矩陣可逆，維實列向量，那么.證明由于，因為可逆，所以也是反對稱矩陣，故，從而.即.例4若實反對稱矩陣可逆，元實列向量，那么.證明因為為實可逆反對稱矩陣，故為偶數(shù)且.因此是階反對稱矩陣.因為為奇數(shù)，所以.又因為，，故由性質(zhì)2.12可知.3.3反對稱矩陣在線性變換上的應用如果想要判定一個線性變換為反對稱變換時，那么可以將問題轉(zhuǎn)化為證明它在下的矩陣是反對稱矩陣即可.例5假設是歐氏空間中的反對稱變換，那么是反對稱變換在一組標準正交基的矩陣為反對稱矩陣.證明因為是中的反對稱變換，所以有，.記是一組標準正交基.充分性令是在下的矩陣，則是反對稱矩陣，即.記，，則，.即.故為反對稱變換.必要性令是反對稱變換，并有，其中矩陣，是的標準正交基，則，，故，，所以.即是反對稱矩陣.結(jié)束語本文從反對稱矩陣的概念、反對稱矩陣的秩和特征值等方面出發(fā)，結(jié)合有關(guān)定理歸納了反對稱矩陣的21條性質(zhì)，并介紹了反對稱矩陣在判定矩陣可逆、利用反對稱矩陣求矩陣的秩以及反對稱矩陣在線性變換中的應用.通過本文，我們可以對反對稱矩陣有了更深一步的了解，并且可以注意到如果我們多去留心這些性質(zhì)及應用，有時會給我們的解題帶來許多方便.當然，本文只是概括出了反對稱矩陣的部分簡單性質(zhì)及應用，還有很多特殊的性質(zhì)和應用等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn).

參考文獻[1]北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出社，1998：180-319.[2]賈周，上官靈喜