5-1-定積分的概念與性質(zhì)

第五章

定積分及其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本定理第三節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法第四節(jié)定積分的應(yīng)用舉例第五節(jié)反常積分

定積分是積分學(xué)的又一個(gè)重要概念，它在幾何、物理、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.本章先由典型實(shí)例中引入定積分的概念，然后討論定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，舉例說明定積分在實(shí)際問題中的一些應(yīng)用，最后簡要介紹反常積分的概念和計(jì)算.第一節(jié)

定積分的概念與性質(zhì)

一、定積分問題實(shí)例分析

圖5-1動(dòng)畫演示

二、定積分的概念Oybxa圖5-2yObxa圖5-3圖5-4bOaxy例1

利用定積分的定義計(jì)算定積分10dxxò．

解

因?yàn)楸环e函數(shù)(x)f=x在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，故一定可積，因此定義中的和式的極限，與區(qū)間的分法及點(diǎn)的ix取法無關(guān).為計(jì)算簡便，把區(qū)間[0,1]n等分，取=xi,則，于是有

ix而當(dāng)時(shí)，(因)，所以2O1-33xy圖5-5例2三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì)

按定積分的定義，即通過積分和的極限求定積分是十分困難的，必須尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面介紹的定積分的基本性質(zhì)有助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積分的理解．假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，則有

以上性質(zhì)均可直接由定積分的定義得到.性質(zhì)1

(k為常數(shù)).

性質(zhì)2

如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≡1,那么

性質(zhì)3

若a<b且在[a,b]區(qū)間上，則性質(zhì)5

性質(zhì)4和性質(zhì)5證明從略.對(duì)任意實(shí)數(shù)c,性質(zhì)4

6（定積分估值定理）性質(zhì)8

設(shè)M及m分別是在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則

證因?yàn)楣视尚再|(zhì)6，得而由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得（定積分中值定理）性質(zhì)9

設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，證

或f(x)上有最大值M及最小值m，根據(jù)性質(zhì)8，有

所以性質(zhì)8的結(jié)論成立.圖5-6yxabO例3利用定積分的性質(zhì)，比較定積分和的大小.解因?yàn)樵赱1,e]上有故所以由性質(zhì)6，得例4估計(jì)定積分的值介于哪兩個(gè)數(shù)之間？解因?yàn)閡=x2和eu在和均是單調(diào)增加的，故復(fù)合函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)增加，從而最小值為m=e0=1,最大值為M=e1=e,所以根據(jù)性質(zhì)8，有即內(nèi)容小結(jié)1.