2025屆江蘇省無錫市普通高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆江蘇省無錫市普通高中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（）A． B．5 C．2 D．102．已知直線，，若，則（）A．2 B． C． D．13．已知，且，則（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，則（）A．81 B． C． D．2436．若關(guān)于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,7．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A．出租車車費(fèi)與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量D．人的身高與體重8．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，則的值為()A． B． C． D．9．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)．在一批棉花中抽測了根棉花的纖維長度（單位：），將樣本數(shù)據(jù)作成如下的頻率分布直方圖：下列關(guān)于這批棉花質(zhì)量狀況的分析，不合理的是（）A．這批棉花的纖維長度不是特別均勻B．有一部分棉花的纖維長度比較短C．有超過一半的棉花纖維長度能達(dá)到以上D．這批棉花有可能混進(jìn)了一些次品10．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為______.12．已知空間中的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則BC邊上的中線的長度為________．13．如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，，則．14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________．15．函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為____.16．_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，為的中點(diǎn)，且所在的直線方程為.(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)且在軸、軸上的截距相等的直線的方程.18．已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，的定義域?yàn)锽．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的值及實(shí)數(shù)的取值范圍．19．如圖，在三棱錐中，垂直于平面，.求證：平面.20．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21．如圖是某地某公司名員工的月收入后的直方圖．根據(jù)直方圖估計：（1）該公司月收入在元到元之間的人數(shù)；（2）該公司員工的月平均收入.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以圓心坐標(biāo)為半徑，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長，所以直線過圓的圓心，把代入直線得；即，在直線上，是點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)榈街本€的距離，所以的最小值為，故選B.考點(diǎn)：1、圓的方程及幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式及最值問題的應(yīng)用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用幾何意義，將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離解答的.2、D【解析】

當(dāng)為,為,若,則,由此求解即可【詳解】由題,因?yàn)?所以,即,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知直線垂直求參數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì),一一分析選擇正誤即可.【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì),當(dāng)時,對于A,若,則,故A錯誤;對于B,若,則,故B錯誤;對于C,若,則,故C錯誤;對于D,當(dāng)時,總有成立,故D正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結(jié)果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.5、A【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列中，則，選A6、D【解析】x-1-x-2=x-1-∵關(guān)于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,-2∪7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的概念來進(jìn)行判斷?！驹斀狻繉τ贏選項(xiàng)，出租車車費(fèi)實(shí)行分段收費(fèi)，與出租車行駛里程成分段函數(shù)關(guān)系；對于B選項(xiàng)，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數(shù)關(guān)系；對于C選項(xiàng)，鐵塊的質(zhì)量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質(zhì)量是一次函數(shù)關(guān)系；對于D選項(xiàng)，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯(lián)系，因人而異，D選項(xiàng)中兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學(xué)生對這些概念的理解，屬于基礎(chǔ)題。8、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角的函數(shù)的定義，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖計算纖維長度超過的頻率，可知不超過一半，從而得到結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可知，纖維長度超過的頻率為：棉花纖維長度達(dá)到以上的不超過一半不合理本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計總體數(shù)據(jù)的分布特征，關(guān)鍵是能夠熟練掌握利用頻率分布直方圖計算頻率的方法.10、D【解析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將正三棱柱的側(cè)面沿棱展開成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時的點(diǎn)，可知點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，即可計算出沿著螞蟻?zhàn)哌^的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比.【詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點(diǎn)即為滿足最小時的點(diǎn).由于，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得，一只螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)出發(fā)經(jīng)過線段上的一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，為的中點(diǎn)，因?yàn)槿庵钦庵?，所以?dāng)沿螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱柱側(cè)面最短路徑問題，涉及棱柱側(cè)面展開圖的應(yīng)用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．12、【解析】

先求出BC的中點(diǎn)，由此能求出BC邊上的中線的長度.【詳解】解：因?yàn)榭臻g中的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以BC的中點(diǎn)為，所以BC邊上的中線的長度為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中中線長的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離的求法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

由圖及題意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.14、17【解析】

根據(jù)所給的通項(xiàng)公式，代入求得，并由代入求得.即可求得的值.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，而，，所以，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，遞推法求數(shù)列的項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

將函數(shù)進(jìn)行化簡為，求出其單調(diào)增區(qū)間再結(jié)合，可得結(jié)論.【詳解】解：，遞增區(qū)間為：，可得，在范圍內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間為。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題。16、【解析】,故填.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】

（1）首先確定直線的斜率，從而得到直線的方程；因?yàn)辄c(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，聯(lián)立兩條直線可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出；根據(jù)在直線上，在直線上，可構(gòu)造方程組，求得點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)截距相等，可分為截距為和不為兩種情況來分別求解出直線方程.【詳解】（1）由已知得：直線的方程為：，即：由，解得：的坐標(biāo)為（2）設(shè)，則則，解得：直線在軸、軸上的截距相等當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時直線的方程為：當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為把點(diǎn)代入，得：，解得：此時直線的方程為直線的方程為：或【點(diǎn)睛】本題考查直線交點(diǎn)、直線方程的求解問題，易錯點(diǎn)是在已知截距相等的情況下，忽略截距為零的情況，造成丟根.18、(1);(2).【解析】

（1）因?yàn)楹愠闪?，時，不恒成立；時，由解得，綜上，．（2）因?yàn)?，所以，所以所以，即的解集為，所以有，即；因?yàn)榍?，所以，設(shè)方程的兩根分別為，則，令，則應(yīng)有，所以的取值范圍是．19、證明見解析【解析】

分析：由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得平面.詳解：∵面，在面內(nèi)，∴，又∵，，∴面.點(diǎn)睛：證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.20、（1）（2）在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立，詳見解析【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時，設(shè)方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時設(shè)交點(diǎn)為由韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)其為，由求得，再驗(yàn)證所作直線斜率不存在時，點(diǎn)也滿足題意．【詳解】（1）的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點(diǎn)為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則過點(diǎn)的直線方程為，故由，整理得，設(shè)，設(shè)，則，，，即，當(dāng)斜率不存在時，成立，∴在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可先求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后得標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心一定在弦的中垂線上．定點(diǎn)問題，通常用設(shè)而不求思想，即設(shè)直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由韋達(dá)定理得，然后設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點(diǎn)不存在，如能求出值，注意驗(yàn)證直線斜率不存在時，此定點(diǎn)也滿足題意．21