北師大版初二(下)數(shù)學(xué)第30講：勾股定理(學(xué)生版)

勾股定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解勾股定理的推理過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理；2、從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理解決，滲透建模思想和數(shù)形結(jié)合思想；3、通過研究一系列富有探究性的問題，培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力．1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于_____的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在___三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的變形有：a2=c2﹣b2，b2=c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2.直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角___．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的___等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的___；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于___．3．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．4．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，_________．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．1.勾股定理．【例1】（2014?臨沂蒙陰中學(xué)期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長為（）A．21 B．15C．6 D．以上答案都不對．練1.（2014秋?綏化六中質(zhì)檢）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84練2.（2014春?江西贛州中學(xué)期末）如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）A．1 B． C． D．22.等腰直角三角形．【例2】（2014?鷹潭中學(xué)校級模擬）已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的面積是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1練3.將一等腰直角三角形紙片對折后再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是（）A． B． C． D．3.等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理．【例3】（2014?福建泉州中學(xué)一模）以邊長為2厘米的正三角形的高為邊長作第二個正三角形，以第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形，以此類推，則第十個正三角形的邊長是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米 C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米練4.等邊三角形ABC的邊長是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB邊的中點為原點，建立直角坐標系，則頂點C的坐標為．4．勾股定理的應(yīng)用．【例4】（2014?福建晉江中學(xué)月考）工人師傅從一根長90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長分別為60cm、100cm的鋼條一起焊接成一個直角三角形鋼架，則截取下來的鋼條長應(yīng)為（）A．80cm B．C．80cm或 D．60cm練5.現(xiàn)有兩根鐵棒，它們的長分別為2米和3米，如果想焊一個直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長為（）A．米 B．米 C．米或米 D．米5．平面展開-最短路徑問題．【例5】（2014?貴陽八中期中）如圖A，一圓柱體的底面周長為24cm，高BD為4cm，BC是直徑，一只螞蟻從點D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點C的最短路程大約是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm練6．（2014春?普寧市校級期中）如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內(nèi)壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）m．A．4.8 B． C．5 D．1．已知兩邊的長分別為8，15，若要組成一個直角三角形，則第三邊應(yīng)該為（）A．不能確定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．則a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的兩邊長分別為3厘米，4厘米，則這個直角三角形的周長為（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹米之外才是安全的．5．如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為m．6．在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是米．（精確到0.01米）__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若一個直角三角形的三邊長分別為3，4，x，則滿足此三角形的x值為（）A．5 B． C．5或 D．沒有2．已知直角三角形有兩條邊的長分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三邊長為a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一個等腰三角形的腰長為5，底邊上的高為4，這個等腰三角形的周長是（）A．12 B．13 C．16 D．185．長方體的長、寬、高分別為8cm，4cm，5cm．一只螞蟻沿著長方體的表面從點A爬到點B．則螞蟻爬行的最短路徑的長是cm．6．如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形．其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側(cè)面的B點，最少要用秒鐘．7．如圖，一個長方體盒子，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子的表面上爬到點C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，則這只螞蟻爬行的最短路程是cm．8．如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米．9．如圖所示的長方體是某種飲料