2019年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年四川省綿陽市中考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分.每個小題只有一個選項符合題

目要求.

1.（3分）（2019?綿陽）若4=2,則a的值為（）

A.-4B.4C.-2D.加

【考點】22：算術平方根.

【專題】511：實數(shù)；66：運算能力.

【分析】根據(jù)算術平方根的概念可得.

【解答】解：若4=2,則a=4,

故選：B.

【點評】本題主要考查算術平方根，解題的關鍵是掌握算術平方根的定義.

2.（3分）（2019?綿陽）據(jù)生物學可知，卵細胞是人體細胞中最大的細胞，其直徑約為0.0002

米.將數(shù)0.0002用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.2X10-3B.0.2X10-4C.2X103D.2X10-4

【考點】1J：科學記數(shù)法一表示較小的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值>1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，”是負數(shù).

【解答】解：將數(shù)0.0002用科學記數(shù)法表示為2X10-4,

故選：D.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.（3分）（2019?綿陽）對如圖的對稱性表述，正確的是（）

A.軸對稱圖形

B.中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：如圖所示：是中心對稱圖形.

故選：B.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，正確把握定義是解題關鍵.

4.（3分）（2019?綿陽）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）

【專題】55F：投影與視圖；63：空間觀念.

【分析】主視圖是從找到從正面看所得到的圖形，注意要把所看到的棱都表示到圖中.

【解答】解：4正方體的主視圖是正方形，故此選項錯誤；

2、圓柱的主視圖是長方形，故此選項錯誤；

C、圓錐的主視圖是三角形，故此選項正確；

。、六棱柱的主視圖是長方形，中間還有兩條豎線，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了幾何體的三視圖，關鍵是掌握主視圖所看的位置.

5.（3分）（2019?綿陽）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形0ABe為菱形，0（0,0）,A

（4,0）,NAOC=60°,則對角線交點E的坐標為（

A.（2,通B.（J5，2）C.（A/3-3）D.（3,小

【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】11：計算題；556：矩形菱形正方形.

【分析】過點E作EFLx軸于點F,由直角三角形的性質(zhì)求出跖長和。尸長即可.

【解答】解：過點E作EfU無軸于點R

:四邊形0ABe為菱形，ZAOC=6Q°,

???NA0E=〃NA0C=30°，/曲E=60°，

VA（4,0）,

：.OA=4,

.11i

,?AE互"AO而Xq—2,

尸=AO-AF=4-1=3,

.-.E（3,V3）.

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及含30°直角三角形的性質(zhì).正確作出輔助

線是解題的關鍵.

6.（3分）（2019?綿陽）已知x是整數(shù)，當|x-J前取最小值時，x的值是（）

A.5B.6C.7D.8

【考點】22：算術平方根；28：實數(shù)的性質(zhì).

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)絕對值的意義，由與憫最接近的整數(shù)是5,可得結(jié)論.

［解答］解：vV25<V30<V36.

；.5<倔〈6,

且與憫最接近的整數(shù)是5,

當|尤-、質(zhì)|取最小值時，x的值是5,

故選：A.

【點評】本題考查了算術平方根的估算和絕對值的意義，熟練掌握平方數(shù)是關鍵.

7.(3分)(2019?綿陽)帥帥收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(單

位：噸)，整理并繪制成如下折線統(tǒng)計圖.下列結(jié)論正確的是()

A.極差是6B.眾數(shù)是7C.中位數(shù)是5D.方差是8

【考點】VD：折線統(tǒng)計圖；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W6：極差；W7：方差.

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】根據(jù)極差、眾數(shù)、中位數(shù)及方差的定義，依次計算各選項即可作出判斷.

【解答】解：由圖可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5,7,11,3,9.

A.極差=11-3=8,結(jié)論錯誤，故A不符合題意；

B.眾數(shù)為5,7,11,3,9,結(jié)論錯誤，故8不符合題意；

C.這5個數(shù)按從小到大的順序排列為：3,5,7,9,11,中位數(shù)為7,結(jié)論錯誤，故C

不符合題意；

D.平均數(shù)是(5+7+11+3+9)+5=7,

方差群=工［(5-7)2+(7-7)2+(11-7)2+(3-7)2+(9-7)2］=8.

5

結(jié)論正確，故。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖，主要利用了極差、眾數(shù)、中位數(shù)及方差的定義，根據(jù)

圖表準確獲取信息是解題的關鍵.

8.（3分）（2019?綿陽）已知4"=a,8n=b,其中機，”為正整數(shù),則22*6"=（）

A.ab2B.a+b2C.a2b3D.a2+Z>3

【考點】46：同底數(shù)暴的乘法；47：幕的乘方與積的乘方.

【專題】512：整式.

【分析】將已知等式代入2226〃=22"X26”=（22）m?（23）2〃=4，"?82”=4心（8〃）2可得.

【解答】解：???4"=小8"=6,

?2^m+^n_X2^n

(22),n?(23)2n

=*?(8〃)2

=ab2,

故選：A.

【點評】本題主要考查累的運算，解題的關鍵是熟練掌握哥的乘方與積的乘方的運算法

則.

9.（3分）（2019?綿陽）紅星商店計劃用不超過4200元的資金，購進甲、乙兩種單價分別

為60元、100元的商品共50件，據(jù)市場行情，銷售甲、乙商品各一件分別可獲利10元、

20元，兩種商品均售完.若所獲利潤大于750元，則該店進貨方案有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【考點】CE：一元一次不等式組的應用.

【專題】12：應用題；524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】設該店購進甲種商品尤件，則購進乙種商品（50-x）件，根據(jù)“購進甲乙商品

不超過4200元的資金、兩種商品均售完所獲利潤大于750元”列出關于x的不等式組，

解之求得整數(shù)x的值即可得出答案.

【解答】解：設該店購進甲種商品x件，則購進乙種商品（50-x）件,

f60x+100(50-x)<420C

根據(jù)題意，得:tl0x+20(50-x)>750，

解得：204V25,

：尤為整數(shù),

，x=20、21、22、23、24,

該店進貨方案有5種，

故選：C.

【點評】本題主要考查一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊

含的不等關系，并據(jù)此列出不等式組.

10.(3分)(2019?綿陽)公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的

“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大

正方形.如果大正方形的面積是125,小正方形面積是25,則(sin0-cos0)1=()

A.LB.返C.3&D..1

5555

【考點】10：數(shù)學常識；KR：勾股定理的證明；T8：解直角三角形的應用.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】根據(jù)正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5泥，小正方形的邊長為5,再

根據(jù)直角三角形的邊角關系列式即可求解.

【解答】解：???大正方形的面積是125,小正方形面積是25,

大正方形的邊長為5泥，小正方形的邊長為5,

.".sVScosO-5-\[^smQ=5,

cos0-sin8=返

5

(sin0-cos0)2=—.

5

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理的證明，正方形的面積，難度適中.

11.(3分)(2019?綿陽)如圖，二次函數(shù)y=o?+/zx+c(〃>0)的圖象與％軸交于兩點(xi,

0),(2,0),其中OVxiVl.下列四個結(jié)論：@abc<0；②2〃-c>0；③〃+2/?+4c>0；

④也+且<-4,正確的個數(shù)是()

ba

o|My2x

A.1B.2C.3D.4

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；HA：拋物線與x軸的交點.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】二次函數(shù)〉=辦2+灰+。QWO）①二次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向和大小.

當。>0時，拋物線向上開口；當。<0時，拋物線向下開口；還可以決定開口大小，\a\

越大開口就越小.

②一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即湖>0）,

對稱軸在y軸左；當。與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）

③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

【解答】解：①???拋物線開口向上，

:拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，

：.b<0,

:拋物線與y軸的交點在無軸上方，

/.c>0,

.".abc<0,所以①正確；

②：圖象與x軸交于兩點（xi,0）,（2,0）,其中0<尤1<1,

-2+0<_b々2+1

,?虧2Z元'

.?.1<--L<3,

2a2

當一時，b>-3a,

2a2

*.*當x=2時,y=4〃+20+c=0,

:.b=-la-L7,

2

-2a-A_c>-3a,

2

.'.2a-c>0,故②正確；

③當x=工時，y的值為Lz+L+c,

242

給Lz+L+C乘以4,即可化為a+26+4c,

42

:拋物線的對稱軸在1<-

2a2

???x=L關于對稱軸對稱點的橫坐標在3和8之間，

222

由圖象可知在和2之間y為負值，2和■之間y為正值，

...〃+2。+4c與0的關系不能確定，

故③錯誤；

④???-2>1,

2a

2。+/?<0,

???(2(7+/?)2>0,

4。2+廿+4〃》>0,

4tz2+/?2>-4ab,

9：a>0,b<0,

ab<3

量+卜2<一4,

ab

即蛆B<_4，

ba

故④正確.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的

關鍵.

12.(3分)(2019?綿陽)如圖，在四邊形ABCZ)中，AB//DC,ZADC=90°,A3=5,CD

=AD=3,點E是線段8的三等分點，且靠近點C,/PEG的兩邊與線段分別交于

點F、G,連接AC分別交EF、EG于點H、K.若BG=±,/FEG=45°,則HK=()

2

DEC

c.警

【考點】KQ：勾股定理.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；55D：圖形的相似；64：幾何直觀；67：推理

能力.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=3加，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到型=

AK

里=2,求得CK=W”過E作EM±AB于M,則四邊形ADEM是矩形，得至!JEM

KG73

=A￡>=3,AM=DE=2,由勾股定理得到￡6=在不彳1=當叵，求得EK=^^~,根

23

據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到膽=4=設HE=3x,HK=8,再由相似三角形的

HK店巡

3

性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：,：ZADC=90°,CD=AD=3,

；.AC=3加,

：AB=5,BG=芻，

2

2

■:AB//DC,

.?.△CEKSAAGK,

.CE=CK=EK

"AGAK而，

?1,=CK=EK

"LAKKG)

2

.CK=EK=2_

"AKKGT

;CK+AK=3版

：.CK=^^-,

3

過￡作EM±AB于M,

則四邊形4DEM是矩形，

：.EM=AD^3,AM=DE=2,

2

■-￡G=VEM2+MG2=

???EK-=，2

KG7

:.EK=?,

3

?：NHEK=/KCE=45°,ZEHK=ZCHE,

：./\HEK^/\HCE,

?HE=L=3

..IT返一西

3

.?.設HE=3尤，HK=-,[s>c,

'：/\HEK^/\HCE,

.EH=HK

,.而EH，

.3xVRX

丁而一虧'

解得：尸叵，

6

:.HK=W2,

6

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分，將答案填寫在答題卡相應的橫線

上.

13.（3分）（2019?綿陽）因式分解：加2幾+2加〃〈+，3=冒（9+幾）2.

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】512：整式.

【分析】首先提取公因式小再利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解：irrn+2mn2+n3

—n（祖2+2加〃+/）

=n（m+n）2.

故答案為：〃Cm+n）2.

【點評】此題主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

14.（3分）（2019?綿陽）如圖，AB//CD,的平分線與28OC的平分線交于點E,

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/A3D+/a）2=180。，再根據(jù)角平分線的定義可得N1

^LZABD,N2=L/CDB,進而可得結(jié)論.

22

【解答】解：

ZABD+ZCDB^180°,

；BE是/ABD的平分線，

：.Z1=^ZABD,

2

：2萬是/2。。的平分線，

：.Z2^kzCDB,

2

.?.Zl+Z2=90°,

故答案為：90°.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

15.（3分）（2019?綿陽）單項式與是同類項，則■=1.

【考點】34：同類項.

【專題】512：整式.

【分析】根據(jù)同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）列出方程，結(jié)合二

次根式的性質(zhì)可求出。，6的值，再代入代數(shù)式計算即可.

【解答】解：由題意知-|a-l|=Vb-1^0>

.?.a=l,b=l,

則/=⑴1=1,

故答案為：1.

【點評】此題考查了同類項的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握同類項的定義，

難度一般.

16.（3分）（2019?綿陽）■艘輪船在靜水中的最大航速為30初1//?,它以最大航速沿江順流

航行120加1所用時間，與以最大航速逆流航行60加1所用時間相同，則江水的流速為10

km/h.

【考點】B7：分式方程的應用.

【專題】522：分式方程及應用.

【分析】直接利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速-水速，進而得出等式求出答

案.

【解答】解：設江水的流速為以M/z,根據(jù)題意可得：

120=60

30+x30-x

解得：x=10,

經(jīng)檢驗得：x=10是原方程的根，

答：江水的流速為10km/h.

故答案為：10.

【點評】此題主要考查了分式方程的應用，正確得出等量關系是解題關鍵.

17.（3分）（2019?綿陽）在△ABC中，若NB=45°,AB=10近,AC=5述，貝!IZ\ABC

的面積是75或25.

【考點】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形.

【專題】55E：解直角三角形及其應用.

【分析】過點A作垂足為。，通過解直角三角形及勾股定理可求出4。，BD,

C。的長，進而可得出8C的長，再利用三角形的面積公式可求出AABC的面積.

【解答】解：過點A作垂足為。，如圖所示.

在中，AD=AB-smB=\Q,BD=AB?cosB=10；

在RtZvlC。中，AO=10,AC=5“，

AC￡,=VAC2-AD2=5,

.*.8C=BO+CO=15或BC=8。-CD=5,

SAABC=^-BC'AD=75或25.

2

故答案為：75或25.

【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面積，通過解直角三角形及

勾股定理，求出A。，8C的長度是解題的關鍵.

18.（3分）（2019?綿陽）如圖，△ABC、都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,

AC=4,DE=242-將△3DE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得△2。'E',當點￡’恰好落

在線段上時，則CE'=_亞班_.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】如圖，連接CE',根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A8=8C=2&,BD=BE=2,

根據(jù)性質(zhì)的性質(zhì)得到。'B=BE'=BD=2,ZD'BE'=90',ZD'BD=/ABE',

由全等三角形的性質(zhì)得到N。'=ZCE'B=45°,過B作BHLCE'于"，解直角三角

形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接CE,,

「△ABC、都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=2E

：.AB=BC=2-/2>BD=BE=2,

:將△BOE繞點8逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得△8。'E',

：.D'B=BE'=BD=2,ZD'BE'=90',ZD'BD=/ABE',

:./ABD'=ZCBE',

AAABD'名ACBE'(SAS),

：.ZD'=ZCE'8=45°,

過8作28_LCE'于H,

在RtABHE'中，BH=E'H=^BE，=&,

2

在RtZXBCH中，CH=JBC2_BH2=A/6>

:.CE'

故答案為：V2+V6-

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì),

解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

三、解答題：本大題共7個小題，共86分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

19.(16分)(2019?綿陽)(1)計算：2聲+|(-A-)-1|-2V2tan30°-(TT-2019)0；

(2)先化簡，再求值：(_5_-」_)其中。=&,b=2-版.

a2,b2a+bb-a

【考點】2C：實數(shù)的運算；6D：分式的化簡求值；6E：零指數(shù)鼎；6F：負整數(shù)指數(shù)累;

T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】511：實數(shù)；513：分式.

【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)塞、零指數(shù)塞的運算法則、特殊角的三

角函數(shù)值計算；

(2)根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，代入計算即可.

【解答】解：(1)2爐+1(--j-)」-2近an30°-(TT-2019)0

=+2-2-./2x--1

33

=2V6_+2_2A/6__J

33

=1；

(2)原式=_____5______義上也=

(a+b)(a-b)ba+bb

=-a-b-a

b(a+b)b(a+b)

=_b

b(a+b)

=_1

a+b

當?=V2>b=2-&時，原式=-—_—=--.

72+2^22

【點評】本題考查的是分式的化簡求值、實數(shù)的運算，掌握分式的混合運算法則、分式

的通分、約分法則、實數(shù)的混合運算法則是解題的關鍵.

20.(11分)(2019?綿陽)勝利中學為豐富同學們的校園生活，舉行“校園電視臺主待人“選

拔賽，現(xiàn)將36名參賽選手的成績(單位：分)統(tǒng)計并繪制成頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計

圖，部分信息如下：

7580859095100成績(分)7--------

請根據(jù)統(tǒng)計圖的信息，解答下列問題：

(1)補全頻數(shù)分布直方圖，并求扇形統(tǒng)計圖中扇形。對應的圓心角度數(shù)；

(2)成績在。區(qū)域的選手，男生比女生多一人，從中隨機抽取兩人臨時擔任該校藝術節(jié)

的主持人，求恰好選中一名男生和一名女生的概率.

【考點】V8：頻數(shù)(率)分布直方圖；VB：扇形統(tǒng)計圖；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】(1)由8組百分比求得其人數(shù)，據(jù)此可得80?85的頻數(shù)，再根據(jù)各組頻數(shù)之和

等于總?cè)藬?shù)可得最后一組頻數(shù)，從而補全圖形，再用3600乘以對應比例可得答案；

(2)畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，找出抽取的學生恰好是一名男生和一名

女生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：（1）80?90的頻數(shù)為36X50%=18,

則80?85的頻數(shù)為18-11=7,

95?100的頻數(shù)為36-（4+18+9）=5,

補全圖形如下：

扇形統(tǒng)計圖中扇形。對應的圓心角度數(shù)為360°X_"=50°；

36

（2）畫樹狀圖為:

男男

男男女女男男女女

女

ZIV.

男男男女

共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取的學生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)為12,

所以抽取的學生恰好是一名男生和一名女生的概率為22=上.

205

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求

出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件

B的概率.

21.（H分）（2019?綿陽）辰星旅游度假村有甲種風格客房15間，乙種風格客房20間.按

現(xiàn)有定價：若全部入住，一天營業(yè)額為8500元；若甲、乙兩種風格客房均有10間入住，

一天營業(yè)額為5000元.

（1）求甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是多少元？

（2）度假村以乙種風格客房為例，市場情況調(diào)研發(fā)現(xiàn)：若每個房間每天按現(xiàn)有定價，房

間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加20元時，就會有兩個房間空閑.如果游客

居住房間，度假村需對每個房間每天支出80元的各種費用.當每間房間定價為多少元時，

乙種風格客房每天的利潤m最大，最大利潤是多少元？

【考點】9A：二元一次方程組的應用；HE：二次函數(shù)的應用.

【專題】536：二次函數(shù)的應用.

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應的二元一次方程組，從而可以解答本題；

(2)根據(jù)題意可以得到，〃關于乙種房價的函數(shù)關系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解

答本題.

【解答】解：設甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是x元、y元，

根據(jù)題意，得：(15x+20尸8500,

ll0x+10y=5000

解得卜=300,

I尸200

答：甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價分別是300元、200元；

(2)設每天的定價增加了。個20元，則有2a個房間空閑，

根據(jù)題意有：m=(20-2。)(200+20〃-80)=-40ci2+160a+2400=-40(a-2)2+2560,

：-40<0,

...當a=2時，根取得最大值，最大值為2560,此時房間的定價為200+2X20=240元.

答：當每間房間定價為240元時，乙種風格客房每天的利潤w最大，最大利潤是2560

元.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題

意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

22.(11分)(2019?綿陽)如圖，一次函數(shù)〉=b+6(.kWO)的圖象與反比例函數(shù)>=3_二51

x

(機W0且加孚3)的圖象在第一象限交于點A、B,且該一次函數(shù)的圖象與y軸正半軸交

于點C,過A、8分別作y軸的垂線，垂足分別為E、D.已知A(4,1),CE=4CD.

(1)求相的值和反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點M為一次函數(shù)圖象上的動點，求OM長度的最小值.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】(1)將點A(4,1)代入y=N-3iq,即可求出機的值，進一步可求出反比例

x

函數(shù)解析式；

(2)先證△C￡>BsZ\C￡A,由CE=4C￡>可求出2。的長度，可進一步求出點2的坐標,

以及直線AC的解析式，直線AC與坐標軸交點的坐標，可證直線AC與坐標軸所圍成和

三角形為等腰直角三角形，利用垂線段最短可求出。加長度的最小值.

【解答】解：(1)將點A(4,1)代入網(wǎng),

X

得,m2-3加=4,

解得，mi=4,m2=-L

，加的值為4或-1；反比例函數(shù)解析式為：y=—;

x

(2),.,8D_Ly軸，AELLy軸,

：.ZCDB=ZCEA=90°,

J.ACDB^ACEA,

?CDBD

，，CE^AE，

■:CE=4CD,

：.AE=4BDf

VA(4,1),

：.AE=4,

：.BD=1,

??XB=1,

.\yB——=4,

X

：.B(1,4),

將A(4,1),B(1,4)代入

得，fk+b=l,

lk+b=4

解得，k=-1,b=5,

??yAB-%+5,

設直線AB與x軸交點為F,

當x=0時，y—5；當y=0時尤=5,

：.C(0,5),F(5,0),

則OC=OF=5,

...AOCF為等腰直角三角形，

:.CF=4^pC=5&,

則當OM垂直CV于M時，由垂線段最知可知，0M有最小值,

即OM=LCF=^^.

22

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，垂線段最短等定理，解題

關鍵是能夠熟練運用反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì).

23.(11分)(2019?綿陽)如圖，48是。。的直徑，點C為面的中點，CF為。O的弦，

>CF±AB,垂足為E,連接8。交CP于點G,連接CD,AD,BF.

(1)求證：ABFG冬ACDG；

(2)若Ar>=BE=2,求BP的長.

C

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；M4：圓心角、

弧、弦的關系.

【專題】559：圓的有關概念及性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)44S證明：ABFG沿ACDG；

(2)解法一：連接OF,設的半徑為T,由CF=BD列出關于r的勾股方程就能求解;

解法二：如圖，作輔助線，構建角平分線和全等三角形，證明Rt^AXC之RtaAEC(HL),

得AE=AH,再證明Rt/XCDHgRtZXCBE（也），得DH=BE=2,計算AE和A8的長，

證明△BECS/^BCA,列比例式可得2C的長，就是的長.

解法三：連接OC,根據(jù)垂徑定理和三角形的中位線定理可得OH=1,證明△COEgA

BOH,并利用勾股定理可得結(jié)論.

【解答】證明：（1）；C是筋的中點，

???CD=BC-

是。。的直徑，且CFLAB,

.??BC=BF）

?,.CD=BF>

：.CD=BF,

在△BFG和△COG中，

'NF=/CDG

NFGB=/DGC，

BF=CD

:ABFG學ACDG（AAS）；

（2）解法一：如圖，連接OR設。。的半徑為r,

RtAWB中,BD2=AB1-AD2,即8。2=⑵)2-22,

RtZXOEF中，0尸=0爐+所2,即石尸二/-(「2)2,

VCD=BC=BF)

???BD=CF)

：.BD=CF,

...B￡)2=c尸2=(2EF)2=4￡F2,

即(2r)2-22=4[r-(r-2)2],

解得：r=l(舍)或3,

：.BF1=EF1+BE^=31-(3-2)2+22=12,

：.BF=2y/3；

解法二：如圖，過。作CHLAO于H,連接AC、BC,

VCD=BC，

：.ZHAC=ZBACf

9

：CE±ABf

:?CH=CE,

VAC=AC,

ARtAAHC^RtAAEC(HL),

：.AE^AH,

?；CH=CE,CD=CB,

RtACDH^RtACBE(HL),

:?DH=BE=2,

???AE=A"=2+2=4,

.'.AB=4+2=6,

「AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

AZACB=ZBEC=90°,

■:NEBC=NABC,

:?△BECS^BCA,

?BCBE

**AB^BC，

.?.BC2=AB-BE=6X2=12,

：.BF=BC=2-/3.

解法三：如圖，連接OC,交BD于H,

：c是命的中點，

：.OC±BD,

：.DH=BH,

'：OA=OB,

:.OH=1AD=I,

2

?：OC=OB,ZCOE^ZBOH,NOHB=/OEC=90°,

:.△COE冬ABOHCAAS）,

；.OH=OE=1,

：.CE=EF=J32_12=2近,

22=

BF=VBE+EF步+時&）2=273.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的

性質(zhì)和判定以及勾股定理.第二問有難度，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合

思想的應用.

24.（12分）（2019?綿陽）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=a/（a>0）的圖象向右平

移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與無軸交于點A、

8（點A在點8的左側(cè)），OA=\,經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=fcc+6*W0）的圖象與y軸

正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為，△A3。的面積為5.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求△ACE面積的最大值，并求出此時點

E的坐標；

（3）若點P為無軸上任意一點，在（2）的結(jié)論下，求的最小值.

5

【專題】15：綜合題；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】(1)先寫出平移后的拋物線解析式，經(jīng)過點A(-1,0),可求得。的值，由4

A3。的面積為5可求出點。的縱坐標，代入拋物線解析式求出橫坐標，由A、。的坐標

可求出一次函數(shù)解析式；

(2)作EM//y軸交于如圖，利用三角形面積公式，由S^ACE^S^AME-S^CME

構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(3)作E關于x軸的對稱點F,過點F作FH1.AE于點H,交無軸于點P,則/BAE=

ZHAP=ZHFE,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出EP+曷!尸=尸尸+8尸，此時切最小，

5

求出最小值即可.

【解答】解：(1)將二次函數(shù)y=a/(a>0)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2

個單位，得到的拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,

.,.點A的坐標為(-1,0),代入拋物線的解析式得，4a-2=0,

-1

??a至，

2

，拋物線的解析式為尸,(X-1產(chǎn)一2，BPy=l-x_x^|..

令y=0,解得xi=-l,X2=3,

：.B(3,0),

???A8=OA+O8=4,

「△AB。的面積為5,

,1

.?.加=5,代入拋物線解析式得，1J^X23,

2222

解得尤1=-2,X2=4,

/.￡)(4,a)，

2

設直線AZ)的解析式為y=kx+b,

5

4k+b/，解得：，

-k+b=O

直線AD的解析式為y=L

2

2

(2)過點E作EM〃y軸交AD于如圖，設E(a,^a_a衛(wèi)），則M（a,X

222

9319

a+^&+2）乂1=二（&-3aY），

==殳得)2喂，

當。=2■時，AACE的面積有最大值，最大值是空，止匕時E點坐標為(W,工_).

21628

(3)作E關于x軸的對稱點F連接EF交x軸于點G,過點尸作“LAE于點H,交

X軸于點P,

；.AG=l+』=$，

228

_5

.AG_~2-_4

,,EG=TT^3

v

?."ZAGE=ZAHP=90°

sin/EAG二PH=EG=3,

APAE5

PH《AP，

■:E、尸關于無軸對稱，

：.PE=PF,

：.PE+XP=FP+HP=FH,止匕時FH最小,

5

?：EF=1^-X2=^-'/AEG=/HEF,

?AGFHd

,,sinNAEG=sinNHEF\^=_^_=_^

AEEF5

???FH《X牛=3?

：.PE+^-PA的最小值是3.

5

【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要

會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長

度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題.

25.（14分）（2019?綿陽）如圖，在以點。為中心的正方形A8C。中，AD=4,連接AC,

動點E從點。出發(fā)沿O-C以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點C停止.在運

動過程中，△ADE的外接圓交AB于點足連接。尸交AC于點G,連接EF,將

沿斯翻折，得到△EFH.

（1）求證：是等腰直角三角形；

（2）當點X恰好落在線段BC上時，求E71的長；

（3）設點E運動的時間為f秒，△￡人?的面積為S,求S關于時間/的關系式.

第（2）問圖備用圖

【考點】L0：四邊形綜合題.

【專題】15：綜合題；556：矩形菱形正方形；559：圓的有關概念及性質(zhì).

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得NZMC=NCAB=45°,根據(jù)圓周角定理得N_F￡）E=

ZDFE=45°,則結(jié)論得證；

（2）設OE=f,連接0。，證明△OOES/VJA尸可得4尸=&上證明△AE/S/VIDG

可得AG=矩t,可表示EG的長，由A尸〃8得比例線段電求出/的值，代

2V2+tDGCD

入EG的表達式可求EH的值；

2

（3）由（2）知EG：,寶*過點尸作尸K,AC于點K,根據(jù)SAEFG=^EG-FK即可

求解.

【解答】（1）證明：:四邊形A8CO是正方形,

：.ZDAC=ZCAB=45°,

；?/FDE=NCAB,NDFE=NDAC,

：.ZFDE=ZDFE=45

：.ZDEF=9Q°,

ADEF是等腰直角三角形;

(2)設OE=f,連接0。，

：.ZDOE=ZDAF=90°,

,：ZOED^ZDFA,

:.△DOEs^DAF,

-0E二0D二加

"AF^AD^2'

AF=V2^

又,?ZAEF=ZADG,/EAF=ZDAG,

：.^AEF^AADG,

?AEAF

"AD^AG，

.'.AG-AE=AD-AF=V21，

又,/AE=OA+OE=2'匠t,

?…?啦弋

.?AG^T

：.EG=AE-AG=,

272+t

當點、H恰好落在線段BC上NDFH=NDFE+NHFE=45°+45°=90°

AADF^ABFH,

.FHJB=4st

'"ro=AD=~4~，

VAF//CD,

?FG二AF=&t

"'DG=CD=4

-FG_V2t

"DF-4+V21'

.4->/2t_V2t

4-4+V21'

解得：M—VTO~V2-V10+V2（舍去），

t2+8_(V10W2)2+8

：?EG=EH=;

2V2+t=2V2+V10-V2=3V10-5V2

（3）過點/作FKLAC于點K,

由⑵得EG=t,

2加+t

；DE=EF,NOE尸=90°,

：.ZDEO=ZEFK,

:ADOE沿AEKF(A4S),

：.FK=OE=t,

FEFG李G?FK=喘冷

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問

題，屬于中考常考題型.

考點卡片

1.科學記數(shù)法一表示較小的數(shù)

用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aXl(T”,其中1(閱<10,〃為由原數(shù)左邊起第

一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【規(guī)律方法】用科學記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律

X的取值范圍表示方法a的取值n的取值

國210aX10〃lW|a|整數(shù)的位數(shù)-1

M<1aX10'n<10第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)(含小數(shù)點前的0)

2.數(shù)學常識

數(shù)學常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

3.算術平方根

(1)算術平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即/=a,那么這個正數(shù)

x叫做a的算術平方根.記為a.

(2)非負數(shù)a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)。是非負數(shù)；②算術平方根a本

身是非負數(shù).

(3)求一個非負數(shù)的算術平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

4.實數(shù)的性質(zhì)

(1)在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實數(shù)。的絕對值就是在數(shù)軸上這

個數(shù)對應的點與原點的距離.

(2)實數(shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕

對值是0.

(3)實數(shù)a的絕對值可表示為|a|={a(a20)-a(a<0),就是說實數(shù)。的絕對值一定是

一個非負數(shù)，即|a|N0.并且有若|x|=a(a>0),則x=±a.

實數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與6互為倒數(shù)，則浦=1；反之，若漏=1,則a與

6互為倒數(shù)，這里應特別注意的是0沒有倒數(shù).

5.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”