空間角的計(jì)算方法-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)期末人教A版2019必修第二冊

2/2空間角的計(jì)算方法1．空間直線與平面所成的角有三類,分別為異面直線所成的角、直線與平面所成的角與二面角，通常稱為“線線角”、“線面角”與“面面角”，統(tǒng)稱為“空間角”，其中異面直線所成角的范圍為（思考為什么取不到0？），直線與平面所成角的范圍為，二面角的范圍為，在求前兩類“空間角”的余弦值時(shí)，若求得負(fù)值，應(yīng)把負(fù)號舍去．2.求“空間角”的一般步驟如下：“一作、二證、三求”

第一步，在圖形中根據(jù)定義作出所求的角；

第二步，(做解答題時(shí)，用規(guī)范的語言說明該角即為所求的角；

第三步，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)計(jì)算所求角的三角函數(shù)值（一般前兩步最難）.1.異面直線【例1】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．思考如何通過平移等效出合適的線段？答案注意觀察所給的異面直線相關(guān)的公共區(qū)域（往往是某條線段），以此為方向?qū)惷嬷本€進(jìn)行平移，至于平移后是向外補(bǔ)出圖形還是向內(nèi)等效線段，完全看個(gè)人喜好和方便程度.（注意平移之后，線段容易形成平行四邊形或梯形，可以借此特點(diǎn)判斷自己思路是否方便后續(xù)計(jì)算）

【解析】連，相交于點(diǎn)，連、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設(shè)正方形中，，則，由平面，可得，則，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，．【練習(xí)1】如圖，在三棱錐

A-BCD

中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N

分別為

AD,BC

的中點(diǎn)，則異面直線

AN與CM

所成角的余弦值是____________．【提示】平移

AN

至與CM

相交，從而作出異面直線所成的角是解決本題的關(guān)鍵.通常，平移直線需要一條“軌道”，即AN

要沿著另一條直線平行“滑動(dòng)”至與CM相交.

【例2】在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A．B．- C．2 D．思考如何避免向外延伸（偷懶），又使得異面直線同在一個(gè)三角形？答案經(jīng)典物理學(xué)相對運(yùn)動(dòng)的思路告訴你可以嘗試“雙向奔赴”【解析】如圖所示，分別取，，，的中點(diǎn)，，，，則，，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角．設(shè)，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．【練習(xí)2-1】如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（）A．B． C． D．

【練習(xí)2-2】在正方體中，和分別為，和的中點(diǎn)．，那么直線與所成角的余弦值是（）

A． B． C． D．2.線面角【例3】如圖，在三棱錐P-ABC中,底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC,PA=3,則直線AC與平面PBC所成角的正弦值為____________．思考作“線面角”的關(guān)鍵是找到直線

AC在平面PBC

內(nèi)的射影，而找射影的關(guān)鍵是過點(diǎn)A作平面PBC的垂線，又該如何作垂線呢？答案作平面的垂線通常運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理,即需要找到一個(gè)過點(diǎn)A且垂直于平面PBC

的平面，通常用平面PBC內(nèi)的一條直線垂直于兩條相交直線來得到這樣的平面.【練習(xí)3】如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．則直線CE與平面PBC所成角的正弦值為____________．同樣的練習(xí)，倘若改成如下格式，閣下又會(huì)覺得有怎樣的不同？如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．【提示】增強(qiáng)基本功的訓(xùn)練（刷題且總結(jié)），不僅提升了對知識點(diǎn)的熟練程度，還可以提高自身對立體圖形的“敏感性”，也就是很多教輔資料解析中的“注意到”、“顯然”、“易證”、“不妨設(shè)”、“不難看出”.【例4】如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．求直線BD與CDE所成角的正弦值.【提示】作“線面角”時(shí)，若直接作平面的垂線較為困難，可以先在容易作垂線的位置作出一條垂線，再將之平移到需要的位置.【練習(xí)4】如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為，，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成線面角的正弦值.

3.面面角【例5】如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1．求二面角C-BE-D的平面角的正切值.【提示】作二面角的一般方式是作出一個(gè)三角形,該三角形的兩條邊所在直線均與二面角的棱垂直，則其第三條邊所在的直線也與二面角的棱垂直.

【練習(xí)5】如圖所示，在三棱錐中，平面，，且，，是的中點(diǎn).求二面角的正切值.【解析】由題可知二面角A-BE-在平面BCD內(nèi)作直線DG⊥BE于G，連接∵AD⊥平面BCD，BE?平面BCD，∴∵BE⊥DG，AD∩DG=D∵AG?平面ADG，∴AG⊥BE，所以，二面角在△DBE中，由余弦定理得BE=由等面積法可得S△∴DG=在Rt△ADG∴二面角A-BE-

【例6】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，求二面角C-PB-D的大小.【提示】有時(shí)候根據(jù)題目中的暗示不妨大膽一些，先畫后證（作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.）證明：如圖，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.因?yàn)閭?cè)棱平面，平面，所以，又，，所以平面，，由可得，又，所以平面，，因?yàn)?，DE∩EF=E所以平面；由（2）知，所以為二面角的平面角，不妨設(shè)，則，，，在△DEF中，由余弦定理得，所以二面角的大小為60.

【例7】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AD.若E為PD的中點(diǎn),則平面EAC與平面PBC所成銳二面角的余弦值為____________．【提示】延伸幾何體作二面角的作出平面EAC與平面PBC的交線，是進(jìn)一步作出二面角的平面角的關(guān)鍵.思考可否不對幾何體做延伸呢？答案構(gòu)造面面平行，使得二面角轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的平面角.

反思感悟：求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角.(2)證：證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出.求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影).(1)尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線.（即構(gòu)造線面垂直）(2)連接垂足和斜足，進(jìn)一步得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角.（中間證明過程不充分容易造成扣分）(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形（結(jié)合正余弦定理），求出該角.有關(guān)概念斜線一條直線與平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO二面角的平面角的作法常有三種：定義法：在二面角棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線（或者線段），即兩射線夾角為所求二面角的平面角.（推理過程一定要伴隨相應(yīng)的證明過程！）三垂線法：三垂線法則利用三垂線定理，通過構(gòu)造與射影垂直的線來找到平面角.③垂面法：垂面法直接構(gòu)造一個(gè)垂直于棱的平面，通過該平面與二面角兩個(gè)面的交線來確定平面角.鞏固練習(xí)1(越秀區(qū)2021-2022學(xué)年高一下T22)如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，O是的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC⊥平面POB（2）點(diǎn)M在棱PC上，滿足PM=λPC(0<λ>1)，且三棱錐P-ABM的體積為33，求λ的值及二面角M-AB-D的正切值．【答案】

2(廣州市三校聯(lián)考2021-2022學(xué)年高一下T8)如圖（1）所示，已知球的體積為，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示．則在圖（1）所示的幾何體中，下列結(jié)論中正確的是（

）A.CD與BE是異面直線B.異面直線AB與CD所成角的大小為45°C.由A、B、C三點(diǎn)確定的平面截球所得的截面面積為D.球面上的點(diǎn)到底座底面DEF的最大距離為【答案】C(2023邯鄲市高三開學(xué)考)棱長為3的正方體的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，三條棱AB、AC、AD都在平面α的同側(cè).若頂點(diǎn)B,C到平面α的距離分別為2、3，則平面ABC與平面α所成銳二面角的余弦值為．【答案】2

4(廣州市三校聯(lián)考2021-2022學(xué)年高一下T21)如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，A1B（1）求證：平面A1BC⊥（2）直線A1B與底面ABC所成的角的大小θ為多少時(shí)，二面角A1（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)C到平面A1【答案】（2）θ=π3；（3）

5(華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下T21)已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：BP⊥平面ACD(2)若M為CD的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求二面角P-【答案】(2)；(3).

6(越秀區(qū)2021學(xué)年高一下T22)在如圖所示的圓臺中，ABCD是圓臺的軸截面，O1，O分別是上、下底面圓的圓心，E是下底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，設(shè)圓臺的上、下底而圓的半徑分別為r與RR>r，高為h，體積為（1）若M，N外別是AD與CE的中點(diǎn)，試判斷直線MN與平面ABE的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若∠ABE=∠BAC=30（3）在估測圓臺的體積時(shí)，常用近似公式V估=S中截面?h來計(jì)算，其中圓臺的中截面是指與上、下兩個(gè)底而平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截而，試判斷與V估【答案】（2）E-AC-B的正切值為23.

7(荔灣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下T21)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為CD的中點(diǎn)，PA=PB=2（1）證明：平面POE⊥平面ABCD（2）當(dāng)點(diǎn)A到平面PCD的距離最大時(shí)，求側(cè)面PAB與底面ABCD所成二面角的大?。敬鸢浮浚?）π3

8(白云區(qū)2022-2023學(xué)年高一下T21)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1（1）求證：BC⊥平面AB（2）若直線AC與平面A1BC所成角為α，二面角A1-BC-A的大小為β，試判斷α

9(番禺區(qū)2022-2023學(xué)年高一下T12)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1A.EF//平面B.直線PM與EF所成的角是πC.點(diǎn)E到平面PMN距離是23D.存在過點(diǎn)E,F且與平面PMN平行的平面α，平面α截該正方體得到的截面面積為31