2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題十一概率與統(tǒng)計　離散型隨機變量及其分布列、均值、方差

2025版新高考版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)11.2離散型隨機變量及其分布列、均值、方差五年高考考點離散型隨機變量及其分布列、均值與方差1.(2020課標Ⅲ理,3,5分,易)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且i=14pi=1,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是(A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案B2.(2019浙江,7,4分,中)設(shè)0<a<1,隨機變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(X)增大B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大答案D3.(2017浙江,8,4分,中)已知隨機變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12,則()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A4.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=,E(ξ)=答案1;85.(2022北京,18,13分,中)在校運動會上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績,并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù),估計X的數(shù)學(xué)期望E(X);(3)在校運動會鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大?(結(jié)論不要求證明)解析(1)甲以往參加的10次比賽中,有4次比賽成績達到獲得優(yōu)秀獎的標準.設(shè)A為事件“甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”,則P(A)=410(2)X所有可能的取值為0,1,2,3,設(shè)B為事件“乙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”,C為事件“丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”,則P(B)=36=12,P(C)=24=12,由(1)則P(X=0)=P(A)P(B)P(C)=1?2P(X=1)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)=25P(X=2)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)·P(C)=25P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=25∴E(X)=0×320(3)丙獲得冠軍的可能性最大.(依據(jù):在收集的以往的比賽成績中,丙的最高成績?yōu)?.85m,是三人中最高的)6.(2021新高考Ⅱ,21,12分,難)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,求證:當(dāng)E(X)≤1時,p=1,當(dāng)E(X)>1時,p<1;(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.解析(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)證明:設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由題易知p3+p2+p1+p0=1,故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3,若E(X)≤1,則p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0,因為f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,所以f'(x)有兩個不同零點x1,x2,且x1<0<1≤x2,當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(x1,x2)時,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),若x2=1,因為f(x)在(x2,+∞)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),且f(1)=0,所以f(x)>f(x2)=f(1)=0,故1為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,即p=1,故當(dāng)E(x)≤1時,p=1.若x2>1,因為f(1)=0且f(x)在(0,x2)上為減函數(shù),故1為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根.綜上,若E(X)≤1,則p=1.若E(X)>1,則p1+2p2+3p3>1,則p2+2p3>p0,此時f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有兩個不同零點x3,x4且x3<0<x4<1,故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上為增函數(shù),在(x3,x4)上為減函數(shù),而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一個零點x0,且x0<1,所以x0為關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正根,即p<1,故當(dāng)E(X)>1時,p<1.(3)意義:若一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代后會臨近滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.7.(2023新課標Ⅰ,21,12分,難)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則Ei=1nXi=i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n解析記Ai=“第i次投籃的人是甲”,Bi=“第i次投籃的人是乙”.(1)因為P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6,所以第2次投籃的人是乙的概率為0.6.(2)設(shè)P(Ai)=pi,則P(Bi)=1-pi,所以P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.設(shè)pi+1+λ=25(pi+λ),解得λ=-13,則pi+1-因為p1=12,p1-13=16,所以pi?13是首項為16,公比為25的等比數(shù)列所以第i次投籃的人是甲的概率為16(3)因為pi=16×25i?1+13,所以當(dāng)n∈N*時,E(Y)=p1+p2+…+pn=16故E(Y)=518三年模擬綜合拔高練1.(2024屆山東煙臺蓬萊兩校聯(lián)考,5)在某次考試中,多項選擇題的給分標準如下:在每題給出的四個選項中,正確選項為其中的兩項或三項,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有錯選的得0分.甲、乙、丙三人在完全不會做某個多項選擇題的情況下,分別選了A,AB,ABC,則三人該題得分的數(shù)學(xué)期望分別為()A.1,0.8,0.5B.1.2,0.8,0.6C.1,0.9,0.6D.1.2,0.9,0.5答案D2.(2023廣東汕頭二模,15)某單位有10000名職工,想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者,假設(shè)攜帶病毒的人占5%,如果對每個人的血樣逐一化驗,就需要化驗10000次.統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法:隨機地按5人一組分組,然后將各組5個人的血樣混合再化驗,如果混合血樣呈陰性,說明這5個人全部陰性;如果混合血樣呈陽性,說明其中至少有一人的血樣呈陽性,就需要對每個人再分別化驗一次.按照這種化驗方法,平均每個人需要化驗次.(結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.735,0.957≈0.6983).

答案0.42623.(2023湖北十堰四調(diào),19)現(xiàn)有4個紅球和4個黃球,將其分配到甲、乙兩個盒子中,每個盒子中4個球.(1)求甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率;(2)已知甲盒子中有3個紅球和1個黃球,若同時從甲、乙兩個盒子中取出i(i=1,2,3)個球進行交換,記交換后甲盒子中的紅球個數(shù)為X,X的數(shù)學(xué)期望為Ei(X).證明:E1(X)+E3(X)=4.解析(1)由題意可知,甲盒子中有2個紅球和2個黃球的概率P=C4(2)證明:當(dāng)i=1時,X的可能取值是2,3,4,P(X=2)=C31C31C41C41=916,P(X=3)=2C31C當(dāng)i=3時,X的取值可能是0,1,2,P(X=0)=C33C33C43CP(X=2)=C3則E3(X)=0×116故E1(X)+E3(X)=4.4.(2024屆廣東佛山順德質(zhì)檢(一),20)在十一黃金周期間,某商場規(guī)定單次消費超過500元的顧客可參與如下的游戲.活動規(guī)則如下:現(xiàn)有甲,乙,丙三個游戲,每位參與者從中隨機選擇一個游戲,若不通過,則游戲結(jié)束,若通過,則從剩下的兩個游戲中隨機選擇一個游戲,若不通過,則游戲結(jié)束,若通過,則進行最后一個游戲,最后一個游戲無論是否通過都結(jié)束游戲.每通過一個游戲都可獲得對應(yīng)的獎金,且參與游戲的順序由顧客確定,顧客是否通過每個游戲相互獨立,已知通過游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎金如表所示.游戲甲乙丙通過的概率0.80.60.4獲得的獎金金額/元100200300(1)求參與游戲的顧客沒有獲得獎金的概率;(2)現(xiàn)有王先生、李先生兩名顧客分別以甲→乙→丙、丙→乙→甲的順序進行游戲,請問哪位顧客獲得獎金的期望值較大?解析(1)設(shè)顧客選擇甲,乙,丙作為第一個游戲分別為事件A1,B1,C1,顧客通過游戲甲,乙,丙分別為事件A,B,C.顧客沒有獲得獎金等價于顧客一個游戲也沒有通過,設(shè)此事件為事件M,由已知得P(A1)=P(B1)=P(C1)=13,P(A|A1)=0.8,P(B|B1)=0.6,P(C|C1)=0.4由全概率公式得:P(M)=P(A1)P(A|A1)+P(B1)P(B|B1)+P(C1)P(C|C1)=13×(1-0.8)+13×(1-0.6)+13×(1-0.4)=0(2)設(shè)王先生獲得獎金總額為X(單位:元),按甲→乙→丙的順序進行,則X的可能取值為0,100,300,600,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=100)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=300)=0.8×0.6×(1-0.4)=0.288,P(X=600)=0.8×0.6×0.4=0.192,X的分布列為X0100300600P0.20.320.2880.192E(X)=0×0.2+100×0.32+300×0.288+600×0.192=233.6元