數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件 第6章6.2

6.2線性方程組求解

線性方程組包括齊次線性方程組和非齊次線性方程組.非齊次線性方程組的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解.

在MATLAB中，可以用null(A)得到齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系；可以用inv、rank、null、左除(\)等命令求解非齊次線性方程組.例6.6

求解齊次線性方程組

.解方法1先求出系數(shù)矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>formatrat>>B=rref(A)B=10-2-5/30124/30000即得與原方程組同解的方程組由此即得寫(xiě)出向量形式，得到通解方法2先求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>null(A,'r')ans=25/3-2-4/31001即得方程組的基礎(chǔ)解系得到方程組的通解例6.7

求解方程組.解首先計(jì)算系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，判斷方程組解的結(jié)構(gòu)，>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>r1=rank(a)%系數(shù)矩陣的秩2>>r2=rank([a,b])

%增廣矩陣的秩2計(jì)算表明，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都為2，小于變量的個(gè)數(shù)4，說(shuō)明原方程組有無(wú)窮組解.有幾種方法求原方程組的通解.方法1用rref命令化為行最簡(jiǎn)形式求解.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>rref([a,b])ans=

1

-1

0

0

0

0

0

1

-1

1

0

0

0

0

0由上述行最簡(jiǎn)形式得到方程組

，即可知原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).

方法2

由于非齊次方程的通解等于齊次方程的通解加非齊次方程的一個(gè)特解，可以用null命令求對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>x0=a\b

%非齊次方程的一個(gè)特解>>x1=null(a,’r’)

%齊次方程的通解結(jié)果為x0=

0

0

1

0x1=101001

01原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).例6.8

求解線性方程組

.

解該方程組的系數(shù)矩陣A是方陣，可以先計(jì)算|A|，>>A=[1-1-1;2-1-3;32-5]；>>D=det(A)D=3.0000

可得系數(shù)行列式|A|=3，由克拉默法則可知方程組由唯一解；也可利用逆矩陣求解.方法1克拉默法則法>>formatrat>>b=[2;1;1];>>A1=[b,A(:,[23])];%b代替A中第1列>>A2=[A(:,1),b,A(:,3)];%b代替A中第2列>>A3=[A(:,[12]),b];%b代替A中第3列>>x1=det(A1)/Dx1=17/3>>x2=det(A2)/Dx2=1/3>>x3=det(A3)/Dx3=10/3