厘清算理 構(gòu)建算法-兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘積的位置如何確定？論文

厘清算理建構(gòu)算法——兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘積的位置如何確定？摘要：從學(xué)生對(duì)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算存在的常見錯(cuò)誤切入，透視背后隱含的算理理解誤區(qū)，即片面強(qiáng)調(diào)位值中“位”的理解而忽略位值中“值”的理解。通過完整的數(shù)、拆分和運(yùn)算律的方法來探尋乘法算理和算法的理解路徑，并重構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)予以佐證。關(guān)鍵詞：兩位數(shù)乘兩位數(shù)；算理；算法；位值；數(shù)學(xué)理解一、問題凝視：兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的常見錯(cuò)誤“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生有兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，在新授時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在列豎式計(jì)算時(shí)會(huì)犯如下的錯(cuò)誤，如圖1，他們往往會(huì)將中間步驟的乘積錯(cuò)誤排列。為何會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？實(shí)際上，現(xiàn)有研究表明這并非由于學(xué)生粗心所導(dǎo)致，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的一個(gè)問題。圖1兩位數(shù)乘兩位數(shù)的進(jìn)位乘法，與兩位數(shù)乘一位數(shù)的進(jìn)位乘法有很大的不同。其筆算（豎式計(jì)算）是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的一個(gè)特殊階段，是一個(gè)質(zhì)變的過程。計(jì)算兩位數(shù)乘一位數(shù)，在豎式中寫積時(shí)，如果需要進(jìn)位，可以先在旁邊作寄存標(biāo)記。但是在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，求第二部分的乘積，由于缺少位置作寄存標(biāo)記，從而對(duì)學(xué)生口算能力及短時(shí)記憶的要求提高，這無疑加大了思維難度。在豎式中第二部分的乘積如何記錄到準(zhǔn)確位置，更是學(xué)生理解的一個(gè)難點(diǎn)。但只要掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，后續(xù)的乘數(shù)是三位、四位數(shù)時(shí)，就只是一個(gè)量變和類推的過程。限于篇幅，本文僅圍繞后一個(gè)問題展開。二、成因透視：關(guān)于乘法筆算中“位值”的理解誤區(qū)部分學(xué)生在筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，出現(xiàn)上述共性錯(cuò)誤，究其原因，主要是對(duì)位值的理解不夠透徹、不夠全面，僅片面強(qiáng)調(diào)對(duì)“位”或“值”的理解。（一）片面強(qiáng)調(diào)位值中“位”的理解這部分學(xué)生的理解更多的是在列豎式計(jì)算時(shí)如何數(shù)位對(duì)齊，往往會(huì)記住計(jì)算的規(guī)則，從過程出發(fā)來理解“位值”，側(cè)重于位值中“位”的理解，將其理解為數(shù)字的位置，強(qiáng)調(diào)數(shù)位。這些同學(xué)的觀點(diǎn)：“看到5，卻忽略了這是十位上的5，算出的結(jié)果120的0應(yīng)該對(duì)齊十位來寫，哪一位與24相乘，積就應(yīng)該寫在哪一位的下面，乘法計(jì)算時(shí)應(yīng)該保證數(shù)位對(duì)齊。”很明顯，這部分學(xué)生對(duì)計(jì)算中位值的理解傾向于程序性的理解，強(qiáng)調(diào)記憶順序，記憶位置。即記住5×24對(duì)齊的是十位，至于為什么要與十位對(duì)齊并不關(guān)注。這往往會(huì)造成記憶出錯(cuò)，從而導(dǎo)致豎式中書寫錯(cuò)誤。（二）片面強(qiáng)調(diào)位值中“值”的理解這部分同學(xué)在理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，往往思考“為什么數(shù)位要對(duì)齊？”他們強(qiáng)調(diào)對(duì)位值概念本質(zhì)的理解，側(cè)重于位值中“值”的理解，也就是在豎式中，每一個(gè)數(shù)字所在位置代表的“值”。這些同學(xué)的觀點(diǎn)：“24乘十位上的5，得到的是120個(gè)十，所以120的0要寫在十位上。表面上看的是計(jì)算24×5，但5在十位上，得到的是120個(gè)‘十’，所以要對(duì)齊十位來寫。”很明顯，出錯(cuò)的同學(xué)是沒明白第二個(gè)因數(shù)中的5表示的是5個(gè)一，還是5個(gè)十，也就是沒明白豎式中的數(shù)位和數(shù)值之間的關(guān)系，因此強(qiáng)調(diào)每一個(gè)數(shù)字表示的數(shù)值是多少很重要。從上述同學(xué)們列豎式計(jì)算的兩種不同觀點(diǎn)，我們能發(fā)現(xiàn)，做正確的同學(xué)一般會(huì)從位值概念的本質(zhì)去理解，為什么5×24的結(jié)果120要移位，而不是對(duì)齊個(gè)位來寫，都強(qiáng)調(diào)5在十位上，表示的是5個(gè)十，5個(gè)十乘24得到120個(gè)十，因此要對(duì)齊十位寫出結(jié)果。學(xué)生只有深刻理解位值才能理解算理，掌握算法。這是教學(xué)中要特別關(guān)注的一點(diǎn)。實(shí)際上，位值教學(xué)是隱含在數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)中的，學(xué)生理解起來并不困難。三、出路審視：探尋兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的本質(zhì)理解（一）完整的數(shù)的方法針對(duì)部分學(xué)生在豎式計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在教學(xué)中可以通過以前學(xué)過的乘法的意義進(jìn)行糾正。將數(shù)看成完整的集合，24×53即53個(gè)24相加，然后從乘法意義角度理解，有50個(gè)24，而不是5個(gè)24。如果學(xué)生對(duì)豎式理解存在困難，可以設(shè)置如下步驟：首先24×53表示什么意思？學(xué)生解釋，是53個(gè)24相加；其次讓學(xué)生寫出加法算式，24+24+……+24，理解50個(gè)24；50個(gè)最后與豎式對(duì)照，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)算的50個(gè)24，不是5個(gè)24，得到十位上的5表示的是50，所以結(jié)果的末尾要和十位對(duì)齊。這種方法適合的是學(xué)困生，他們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中對(duì)乘法意義和位值未能理解清楚，很難直接面對(duì)豎式解釋，所以要返回乘法的原點(diǎn)去理解。（二）拆分的方法拆分的方法是基于學(xué)生口算的一種策略，這是借助學(xué)生已有的整十?dāng)?shù)口算的策略，所有拆分策略都需要依賴分配律的性質(zhì)?？梢栽O(shè)置如下步驟幫助學(xué)生理解：首先引導(dǎo)學(xué)生知悉24×53可以分成兩個(gè)算式，一個(gè)是24×3=72，另一個(gè)是24×50=1200，接著把兩個(gè)積相加72+1200=1272。如圖2。寫成豎式時(shí)，要明確第一個(gè)積是72，7個(gè)十和2個(gè)一分別對(duì)齊十位和個(gè)位，第二個(gè)積是1200，也就是120個(gè)十，可以寫成1200，但為了書寫簡(jiǎn)便，可以省略個(gè)位的0，120個(gè)十要和十位對(duì)齊。如圖3。圖2圖3這種拆分策略是小學(xué)中最基本最適應(yīng)的策略，在三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)乘數(shù)是一位數(shù)的乘法及口算乘法時(shí)一直在使用，基于學(xué)生的運(yùn)算技能很容易進(jìn)行遷移，也易于學(xué)生理解。（三）運(yùn)算律的方法兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，可以通過乘法分配律來理解。就是將幾個(gè)計(jì)算步驟合在一起，成為一個(gè)簡(jiǎn)便的算式，在理解時(shí)可以先拆分再合并（先分后合），這種“分割”要依賴分配律的性質(zhì)。所以說，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理就是乘法分配律的應(yīng)用。可以把其中一個(gè)因數(shù)改寫成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)之和的形式，然后再分別相乘，把積加起來。在豎式中，對(duì)“72”的理解：24×3=72表示有3個(gè)24，也就是3個(gè)20和3個(gè)4；對(duì)“120”的理解：24×50=1200表示有50個(gè)24，也就是50個(gè)20和50個(gè)4。這里最后一個(gè)0省略。這也是學(xué)生困惑之處，為何0可以省略？可以這樣解釋，24乘5個(gè)十是120個(gè)十，通過數(shù)位對(duì)齊這個(gè)0可以省略。一般情況下可以書寫，熟練后可以不寫，這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)潔美。四、片段重構(gòu)：勾連乘法算理和算法的教學(xué)實(shí)錄（一）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法的過程1．研究豎式算法。師：請(qǐng)同學(xué)們先觀看計(jì)算24×53的微課，自學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式算法。播放2遍24×53豎式計(jì)算的微課視頻（無音頻講解）。師：哪位同學(xué)來為這份視頻配音，把24×53的豎式計(jì)算步驟講一講？生1：24×53，先用因數(shù)53個(gè)位上的3去乘24，十位上的1暫時(shí)不看，這和我們以前學(xué)習(xí)的多位數(shù)乘一位數(shù)的方法是相同的，24×3的積是72。然后再用因數(shù)53十位上的5去乘24，5在十位上表示5個(gè)10，因此就是50×24，積為1200。最后將兩次計(jì)算的積相加，就是72+1200=1272。生2：當(dāng)用因數(shù)53十位上的5去乘24時(shí)，得到120個(gè)十，所以1200個(gè)位上的0可以不寫。提示：回顧24×53豎式計(jì)算的過程，發(fā)現(xiàn)它隱含3個(gè)信息。一是它里面含有兩個(gè)乘法計(jì)算，即3×24和50×24；二是它也含有一個(gè)加法計(jì)算，即72+1200；三是0省略不寫，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。2．利用點(diǎn)陣圖將新知轉(zhuǎn)化為舊知。（1）借助點(diǎn)陣圖研究算法。課件出示長為53，寬為24的點(diǎn)陣圖。如圖4。圖4師：同學(xué)們，練習(xí)紙上一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)迷你南瓜，一列24個(gè)正好為1箱的個(gè)數(shù)，53列代表53箱。請(qǐng)小組合作，在圖上分一分，算一算，尋找計(jì)算的道理。（2）學(xué)生用點(diǎn)陣圖展示、解釋。生1：我在點(diǎn)陣圖上是這樣分的，把53拆分為50和3，這樣計(jì)算24×53，就可以寫成24×53=24×（50+3）=24×50+24×3。如圖5。生2：我是拆24的，把24拆分為20和4，這樣計(jì)算24×53，就可以寫成24×53=（20+4）×53=20×53+4×53。如圖6。圖5圖6師：53除了拆分為50加3，還能拆成什么？24呢？生紛紛展示24×30+24×23、24×33+24×20等，并補(bǔ)充發(fā)言。師：同學(xué)們，在這里我們將一個(gè)因數(shù)拆分為兩數(shù)之和，借助點(diǎn)陣圖，很容易將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的結(jié)果表示出來。除了上述拆法，那么這樣的拆法又給你怎樣的啟示呢？課件出示：53×2×12、53×4×6、53×3×8。師：這么多的解答方法都驗(yàn)證了結(jié)果是正確的，這些方法雖各有不同，但它們還有一個(gè)共同特點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？（3）梳理思路。根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，教師幫助學(xué)生梳理方法：53×2×12、53×4×6、53×3×8，都是把24分成了若干份之后進(jìn)行計(jì)算。這里面有份總關(guān)系。24×50+24×3、20×53+4×53、24×30+24×23、24×33+24×20，分別求幾個(gè)幾（份總關(guān)系），最后把積相加（整體部分關(guān)系），既有份總關(guān)系，又有整體部分關(guān)系。不論哪種方式都是先分再合。分的目的就是將大的分成小的，復(fù)雜的變成簡(jiǎn)單的，新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)來解答，實(shí)際上就是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法。（二）算法與豎式相聯(lián)系，明晰算理1．橫式與豎式建立聯(lián)系。師：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在53×2×12、53×4×6、24×50+24×3、20×53+4×53、24×30+24×23等算式中，哪一個(gè)與豎式的計(jì)算方法一樣呢？生：24×50+24×3和豎式有關(guān)系，豎式中第一個(gè)積是24×3，第二個(gè)積是24×50，把兩個(gè)積相加就是1272。2．結(jié)合點(diǎn)陣圖理解豎式計(jì)算的每一步依據(jù)。師：同學(xué)們，結(jié)合點(diǎn)陣圖，請(qǐng)找出豎式中每步計(jì)算的依據(jù)。生：每列有24個(gè)點(diǎn)，有這樣的3列，就是24×3=72。每列有24個(gè)點(diǎn)，有這樣的50列，就是24×50=1200，把它們相加就是72+1200=1272。小結(jié)：回顧剛才學(xué)習(xí)的過程，我們利用點(diǎn)陣圖找到了多種計(jì)算的方式，不僅驗(yàn)證了結(jié)果的正確性，還尋找到計(jì)算方法背后的道理。因此，在教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算時(shí)，教師可以借助點(diǎn)陣圖（乘法的面積模型）來厘清算理，通過先分后合的方式將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)，建構(gòu)算法，從而使學(xué)生真正理解“位值”并能夠正確確定乘積的位置。參考文獻(xiàn)：[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)