2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一個(gè)是符合題意的.

1.(2分)已知NA為銳角，且sinA=工，那么/A等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

2.(2分)已知3a=4。則下列各式正確的是（）

A.包二AB.包駕C.包四D.包二

b3b4343b

3.(2分)拋物線y=?-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,0)

4.(2分)已知反比例函數(shù)〉=乜（左W0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）,則k的值為（）

X

A.3B.4C.5D.6

5.(2分)如圖，A0是△A3C的外接圓。。的直徑，若N3C4=50°,則N8AO=()

6.（2分）如圖，面積為18的正方形ABC。內(nèi)接于O。，則OO的半徑為（）

7.（2分）關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-2）2+3,以下說法正確的是（）

A.當(dāng)天＞-2時(shí)，y隨尤增大而減小

B.當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x增大而增大

C.當(dāng)尤＞2時(shí)，＞隨彳增大而減小

D.當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x增大而增大

8.（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為2,與x軸，y軸的正半軸分別

交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)、C（1,c）,D（V2，d）,E（e,1）,PCm,n）均為窟上的點(diǎn)（點(diǎn)P

不與點(diǎn)A,8重合），若，相，則點(diǎn)尸的位置為（）

D

\E

A.在BC上B.在CD上C.在DE上D.在EA上

二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.（2分）寫出一個(gè)開口向下，與y軸交于點(diǎn)（0,1）的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：.

10.（2分）已知。。的半徑為5c",圓心。到直線/的距離為4cm,那么直線/與O。的位

置關(guān)系是.

11.（2分）若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長(zhǎng)是（結(jié)果保留TT）.

12.（2分）點(diǎn)A（-1,yi）,B（4,”）是二次函數(shù)y=（尤-1）2圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則yi

”（填或“=

13.（2分）如圖，A8為。。的直徑，弦COLAB于點(diǎn)"，若AB=10,CD=8,則的

長(zhǎng)度為____.

14.（2分）已知反比例函數(shù)尸的圖象分布在第二、四象限，則機(jī)的取值范圍是.

x

15.（2分）如圖，PA,分別與。。相切于A,8兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

ZP=50°,則NAC8=°.

c

o.p

B

16.(2分)點(diǎn)A(xi,yi),B(%2,?)(xi?x220)是y=oy2(〃=0)圖象上的點(diǎn)，存在|xi

-%2|=1時(shí)，|竺-"|=1成立，寫出一個(gè)滿足條件〃的值.

三、解答題(本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第

27、28題，每小題5分，共68分)

17.(5分)計(jì)算：2sin600+tan45°-cos30°tan60°.

18.(5分)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,點(diǎn)。在AC上且AD=3,DE

_LA5于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

19.(5分)已知：二次函數(shù)y=W-4x+3.

(1)求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與入軸交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出yVO時(shí)，自變量x的取值范圍.

L一十一r

」_▲_」_______L一?_____J____i___

-6-4-6-2-11。

L_±JL

r2

3

__i__

20.（5分）如圖，在△ABC中，ZB=30°，AB=4,AO_LBC于點(diǎn)。且tan/CAD=』,

2

求BC的長(zhǎng).

21.（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB=AC.

求作：一點(diǎn)P,使得/APC=NA4C.

作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓；

②以點(diǎn)8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)C,。兩點(diǎn);

③連接DA并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)P.

點(diǎn)尸即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接PC,BD.

'：AB=AC,

...點(diǎn)C在OA上.

"：BC=BD,

Z=Z.

/.ZBAC^^-ZCAD.

2

:點(diǎn)。，P在04上，

：.ZCPD=^ZCAD.（）（填推理的依據(jù)）

2

ZAPC=ZBAC.

22.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（〃，2）是一次函數(shù)y=x-1的圖象與反比

例函數(shù)y=Kl（無#0）的圖象的交點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)y=K(kWO)的表達(dá)式；

x

(2)過點(diǎn)尸(％0)且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別

為M,N,當(dāng)SAOPM>&OPN時(shí)，直接寫出”的取值范圍.

23.(6分)居庸關(guān)位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內(nèi)，是京北長(zhǎng)城沿線上的著名古

關(guān)城，有“天下第一雄關(guān)”的美譽(yù).某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和測(cè)角儀等工具，

測(cè)量南關(guān)主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強(qiáng)填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容:

請(qǐng)你幫他計(jì)算出城樓的高度AD(結(jié)果精確到0.1m,sin35°?0.574,cos35°-0.819,

tan35°-0.700)

題測(cè)量城樓頂端到地面的高度

目

思

圖

相BM=L6m,BC=13m,ZABC=35°,ZAC￡=45°

關(guān)

數(shù)

據(jù)

24.（6分）如圖，。。是△ABC的外接圓，是。。的直徑，ABLCZ）于點(diǎn)E,P是AB

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NBCP=NBCD.

（1）求證：CP是O。的切線；

（2）連接。。并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)h交。。于點(diǎn)G,連接GC.若。。的半徑為5,OE

=3,求GC和。尸的長(zhǎng).

25.（6分）隨著冬季的到來，干果是這個(gè)季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進(jìn)一批干果，

分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y

（袋）與銷售單價(jià)無（元）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)：y=-2x+80（20WxW40）,

設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為卬（元）.

（1）求出vv與尤的關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)（1,相）和點(diǎn)（3,n）在二次函數(shù)y=/+Zzx的圖

象上.

（1）當(dāng)m=-3時(shí).

①求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②若點(diǎn)（-1,yi）,（a,>2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2>yi,則a的取值范圍是；

（2）當(dāng)相“<0時(shí)，求b的取值范圍.

27.（7分）已知/2。。=120°,點(diǎn)A,8分別在OP,OQ±,OA<OB,連接AB,在A8

上方作等邊△ABC,點(diǎn)。是80延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且連接AD

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)連接。C,求證：/COP=/COQ；

(3)連接CD,CD交OP于點(diǎn)F,請(qǐng)你寫出一個(gè)的值，使CD=OB+OC一定成

立，并證明.

且POW2,我們稱點(diǎn)P是線段。。的“潛力點(diǎn)”.已知點(diǎn)。(0,0),Q(1,0).

(1)在P1(0,-1),P2(-1,微)，P3(-1,1)中是線段0。的“潛力點(diǎn)”是

(2)若點(diǎn)P在直線y=x上，且為線段。。的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)直線＞=2尤+匕與工軸交于點(diǎn)",與y軸交于點(diǎn)N,當(dāng)線段MN上存在線段。。的“潛

力點(diǎn)”時(shí)，直接寫出6的取值范圍.

4-4-

3

2

1

3工

-4-3-2-1°1234

-1

-2

2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有

一個(gè)是符合題意的.

1.（2分）已知/A為銳角，且sinA=上，那么NA等于（）

2

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.

【解答】解：：sinA=工，NA為銳角，

2

AZA=30°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函

數(shù)值.

2.（2分）已知3a=46（成/0）,則下列各式正確的是（）

A.包lB.包衛(wèi)C.包2D.包』

b3b4343b

【分析】比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，依此即可求解.

【解答】解：A、由曳=匹可得3°=46,故選項(xiàng)正確；

b3

B、由包=2可得4a=36,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

b4

C、由_A=也可得4d=36,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

34

D、由」_=9可得滴=3X4=12,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3b

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2分）拋物線y=f-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,-2）B.（-2,0）C.（0,2）D.（2,0）

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即對(duì)稱軸.

【解答】解：拋物線y=f-2是頂點(diǎn)式，

根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a(x-/z)2+々的頂點(diǎn)坐標(biāo)為"，k),

對(duì)稱軸為X=/7.

4.(2分)已知反比例函數(shù)y=K"W0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),則左的值為()

X

A.3B.4C.5D.6

【分析】把A點(diǎn)坐標(biāo)代y=K(%#0)中即可求出左的值.

X

【解答】解：???反比例函數(shù)y=K(人力0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),

X

?2—k

??J—,

2

.,.k=6,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一

定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.

5.(2分)如圖，是△ABC的外接圓O。的直徑，若N2CA=50°,則NA4Z)=()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對(duì)圓周角為直角、同圓中等弧所對(duì)圓周角相等即

可得到結(jié)論.

【解答】解：是△ABC的外接圓O。的直徑，

.?.點(diǎn)A,B,C,。在OO上，

VZBCA=50°,

/.ZADB=ZBCA=50°,

,：AD是△ABC的外接圓O。的直徑，

AZABD=90°,

：.ZBAD=90°-50°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到NAO8=

50°,ZABD=9Qa是解題的關(guān)鍵.

6.（2分）如圖，面積為18的正方形ABC。內(nèi)接于。0,則。。的半徑為（）

D.372

B.我

【分析】連接04、0B,則△OAB為等腰直角三角形，由正方形面積為18,可求邊長(zhǎng)為

3我，進(jìn)而可得半徑為3.

【解答】解：如圖，連接OA,OB,貝I]04=08,

/左

?..四邊形ABC。是正方形,

.?.408=90°,

AOAB是等腰直角三角形,

?.?正方形ABC。的面積是18,

：.0A=0B=^~AB=3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)、構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

7.（2分）關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-2）2+3,以下說法正確的是（）

A.當(dāng)x>-2時(shí)，y隨尤增大而減小

B.當(dāng)尤>-2時(shí)，y隨x增大而增大

C.當(dāng)尤>2時(shí)，y隨x增大而減小

D.當(dāng)x>2時(shí)，y隨x增大而增大

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可以得出圖象的對(duì)稱軸和開口方向，從而確定函數(shù)的增

減性.

【解答】解：：拋物線的解析式為y=-(x-2)2+3,

該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,開口向下，

...當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)尤>2時(shí)，y隨x增大而減小，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記頂點(diǎn)式與圖象的關(guān)系.

8.(2分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，O。的半徑為2,與x軸，y軸的正半軸分別

交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C(1,c),D(近,d),E(e,1),P(m,ri')均為窟上的點(diǎn)(點(diǎn)P

A.在前上B.在加上C.在廉上D.在面上

【分析】如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)D作DGLx軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EF

軸于點(diǎn)凡利用勾股定理求出c、d、e的值，觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律即可得出答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CHLx軸于點(diǎn)X,過點(diǎn)。作。G,無軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作

EFLx軸于點(diǎn);R

VC(1,c),D(V2，d),E(e,1),

1,0G=&,EF=1,

\"OC=OD=OE=2,ZCHO=ZDGO=ZEFO=90°,

22

c=CH=A/OC-OH=d?2-12,

d=DG=VOD2-OG2=62_(&)2=&'

e=OF=7oE2-EF2=V22-l2=M，

：.C(1,?),D(我,&),E(6，1),

由圖可知：隨著/COH--ZDOG--/EOP角度逐漸變小，點(diǎn)C、D、E的橫坐標(biāo)逐

漸增大，縱坐標(biāo)逐漸減小,

*/m<n<V3m,

二點(diǎn)尸在而上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，運(yùn)用勾股定理求出C、D.

E的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.（2分）寫出一個(gè)開口向下，與y軸交于點(diǎn)（0,1）的拋物線的函數(shù)表達(dá)式：y=-/+l.

【分析】開口向下可確定二次項(xiàng)系數(shù)小于0,與y軸交于點(diǎn)（0,1）可確定常數(shù)項(xiàng)為1.

【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為〉=內(nèi)2+公+,,

:該函數(shù)的圖象開口向下，

.,.a<0,可以取cz=-l,

,當(dāng)尤=0,y=l,

滿足條件的一個(gè)函數(shù)為y=-/+i,

故答案為：y=-7+l,（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是要牢記系數(shù)和圖象開

口，頂點(diǎn)，對(duì)稱軸，坐標(biāo)軸交點(diǎn)之間的關(guān)系.

10.（2分）已知。。的半徑為5。相，圓心。到直線/的距離為4cm,那么直線/與OO的位

置關(guān)系是相交.

【分析】由題意得出d<r,根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的判定方法判斷即可.

【解答】解：的半徑為5c7",如果圓心。到直線/的距離為4"7,

；.4<5,

即d<r,

，直線/與OO的位置關(guān)系是相交.

故答案為：相交.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用；注意：已知。。的半徑為廣，如果圓心

。到直線/的距離是d,當(dāng)?時(shí)，直線和圓相離，當(dāng)d=r時(shí)，直線和圓相切，當(dāng)

時(shí)，直線和圓相交.

11.（2分）若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長(zhǎng)是Zu（結(jié)果保留it）.

一3一

【分析】利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：?.?扇形的圓心角為60°,半徑為2,

扇形的弧長(zhǎng)=6°兀*2=27T.

1803

故答案為：2Tl.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題考查弧長(zhǎng)公式：/=史曳，關(guān)鍵是記住弧長(zhǎng)公式，屬于中考基礎(chǔ)題.

180

12.（2分）點(diǎn)A（-1,竺），8（4,*）是二次函數(shù)y=（x-1）2圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則yi

<V2（填“〈”或“=

【分析】由于知道二次函數(shù)的解析式，且知道A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故可將兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分

別代入二次函數(shù)解析式求出yi、”的值，再比較即可.

【解答】解：把A（-1,yi）、2（4,*）代入二次函數(shù)y=（尤-1）2得，

yi=（-1-1）2=4；yi=（4-1）2=9,

所以y\<yi.

故答案為<.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要明確：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)

符合函數(shù)解析式.

13.（2分）如圖，為。。的直徑，弦COJ_AB于點(diǎn)H,若A8=10,CD=S,則OH■的

長(zhǎng)度為3.

【分析】根據(jù)垂徑定理由得到。/=上8=4,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出08=3.

【解答】解：連接0C,

'：CD±AB,

.".CH=DH=1-CD=AX8=4,

22

?.,直徑AB=10,

OC=5,

在中，

RtZXOCHO//=^QC2_CH2=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

14.（2分）已知反比例函數(shù)〉=成的圖象分布在第二、四象限，則機(jī)的取值范圍是」1

X

<1.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由m-1V0即可解得答案.

【解答】解：..?反比例函數(shù)y=QL的圖象分布在第二、四象限，

X

.*.m-K0.

解得m<1.

故答案是：m<l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當(dāng)左>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；

當(dāng)ZVO時(shí)，圖象分別位于第二、四象限.

15.（2分）如圖，PA,總分別與。。相切于A,B兩點(diǎn),C是優(yōu)弧A5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若

ZP=50°,則NAC5=65°.

【分析】連接。4、0B,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0ALB4,OB±PB,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和

定理求出/AO8,再根據(jù)圓周角定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：連接。4、OB,

,：PA,尸8分別與。。相切于A,8兩點(diǎn)，

J.OALPA,OBLPB,

VZP=50°,

：.ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

：.ZACB=AZAOB=^X130°=65°,

22

故答案為：65.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

是解題的關(guān)鍵.

16.(2分)點(diǎn)A(xi,yi),B(x2,>2)(xi?x220)是>=奴2(〃W0)圖象上的點(diǎn)，存在陽

-％2|=1時(shí)，|山-泗=1成立，寫出一個(gè)滿足條件〃的值1(答案不唯一).

【分析】根據(jù)題意當(dāng)％1>我=0時(shí)，則X1=L由Iyi-y2|=l,得到〃-0=1,解得〃=1.

【解答】解：(。70),

???對(duì)稱軸為y軸，

，X1、X2不在對(duì)稱軸的異側(cè)，

?\x\-X2|=1,

當(dāng)％1>%2=0時(shí)，則Xl=l,

??yi=〃，y2=0,

.\a-0=1,

??Q=1,

故答案為：1(答案不唯一).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意設(shè)出XI、X2的值，代入解

析式即可求得。的值.

三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第

27、28題，每小題5分，共68分）

17.（5分）計(jì)算：2sin60°+tan45°-cos30°tan60°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：2sin60°+tan45°-cos30°tan60°

=V3+1

2

=V3-y-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=4,A8=5,點(diǎn)。在AC上且AO=3,DE

于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng).

【分析】由DELAB得到NOEA=/C=90°,然后得到△。瓦Is△Bd,再利用相似三

角形的性質(zhì)求得AE的長(zhǎng).

【解答】解：??,OEL48于點(diǎn)E,ZC=90°,

AZA￡D=ZC=90°，

'：ZA=ZA,

AADEsLABC,

???AD-AE,

ABAC

\'AB=5,AD=3,AC=4,

?.?-3--A-E-,

54

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義得到NAED

=NC=90°.

19.（5分）已知：二次函數(shù)y=/-4x+3.

（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出y<0時(shí)，自變量x的取值范圍.

【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0求圖象與無軸交點(diǎn)坐標(biāo).

（2）通過觀察拋物線在x軸下方的無取值范圍求解.

【解答】（1）解：'.'y—x1-4x+3=（x-2）2-1,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）.

令y=0,則JC-4無+3=0.

解得尤1=1,X2—3.

，圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）（3,0）.

（2）如圖，

當(dāng)y<0時(shí)，自變量x的取值范圍為l<x<3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的

關(guān)系.

20.（5分）如圖，在△ABC中，ZB=30°,AB=4,于點(diǎn)。且tan/CA￡）=工，

求BC的長(zhǎng).

【分析】在RdAB。和RtAWC中，分別求出A。、BD、CD,再利用線段的和差關(guān)系

求出BC.

【解答】解：于點(diǎn)。，

：.AABD,△ADC為直角三角形.

?.?RtZVIDB中,ZB=30°,48=4,

：.AD=2,

「RtZXADC中，tan/CAD=L,A￡>=2,

2

.?.tanZCAD=^5_=A.

AD2

：.CD=1.

:.BC=2^3+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

21.（5分）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB=AC.

求作：一點(diǎn)P,使得/APC=/8AC.

作法：①以點(diǎn)A為圓心，A8長(zhǎng)為半徑畫圓；

②以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交。A于點(diǎn)C,。兩點(diǎn)；

③連接DA并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)P.

點(diǎn)P即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接PC,BD.

'：AB=AC,

.?.點(diǎn)C在OA上.

"：BC=BD,

：.ZBAC=ZBAD.

：.ZBAC=AZCA￡）.

2

:點(diǎn)。，P在OA上，

；./CPD=L/CAD（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）（填推理的

2

依據(jù)）

NAPC=ZBAC.

【分析】（1）根據(jù)要求作圖即可;

（2）根據(jù)圓周角定理求解即可.

【解答】解：（1）如圖所示.

（2）證明：連接尸C,BD.

'：AB^AC,

...點(diǎn)C在OA上.

?：BC=BD,

：.ZBAC=ZBAD.

：.ZBAC=^ZCAD.

2

:點(diǎn)。，P在OA上，

（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半），

2

ZAPC=ZBAC.

故答案為：BAC,BAD,一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖一復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理.

22.（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（〃，2）是一次函數(shù)y=x-1的圖象與反比

例函數(shù)y=K（左W0）的圖象的交點(diǎn).

x

（1）求反比例函數(shù)y=X（女W0）的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)尸（小0）且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別

為M,N,當(dāng)SZ0PM>S^OPN時(shí)，直接寫出〃的取值范圍.

【分析】（1）把A（4,2）代入y=x-l,求出①得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反

比例函數(shù)解析式即可求得k的值；

（2）先畫出兩函數(shù)的圖象，再根據(jù)SAOPM>S^OPN時(shí)即可得出〃的取值范圍.

【解答】解：（1）把A（〃，2）代入y=x-1,

得，a-1=2,解得〃=3,

???點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,2）.

把A（3,2）代入y=K（k卉0），

x

得，2=*,解得左=6.

3

所以反比例函數(shù)表達(dá)式為了??.；

X

（2）一次函數(shù)y=x-1的圖象與丫=殳的圖象相交于點(diǎn)（3,2）和（-2,-3）.

x

觀察函數(shù)圖象可知：過點(diǎn)P（小0）且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)

圖象的交點(diǎn)分別為M,N,當(dāng)SAOPMASAOPN時(shí)，PM>PN,

則n的取值范圍是〃<-2或n>3.

環(huán)

T6--

?**

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

23.（6分）居庸關(guān)位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內(nèi)，是京北長(zhǎng)城沿線上的著名古

關(guān)城，有“天下第一雄關(guān)”的美譽(yù).某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和測(cè)角儀等工具，

測(cè)量南關(guān)主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強(qiáng)填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容:

請(qǐng)你幫他計(jì)算出城樓的高度AD（結(jié)果精確到0.1加，sin35°七0.574,cos35°-0.819,

tan35°打0.700)

據(jù)

【分析】設(shè)AE為切:，根據(jù)三角函數(shù)列方程求得AE的值，進(jìn)而求出即可.

【解答】解：根據(jù)題意，得BM=ED=L6m,ZAEC=90°,

設(shè)AE為在RtAACE中，

VZAC￡=45°,

.?.ZCAE=45°,

：.AE=CE,

在RtAABE中,

■anNAB「幽，

BE

又?.?/ABE=35°,

解得了N30.3,

：.AD=AE+ED^30.3+1.6^3l.9Qm）,

答：城樓頂端距地面約為319〃.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，熟練利用三角函數(shù)求值是解題的關(guān)鍵.

24.（6分）如圖，。。是△ABC的外接圓，A2是。。的直徑，ABLCD于點(diǎn)E,尸是AB

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且N8CP=N8C。.

（1）求證：CP是。。的切線；

（2）連接。。并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)尸，交。。于點(diǎn)G,連接GC.若。。的半徑為5,OE

=3,求GC和。尸的長(zhǎng).

A

【分析】（1）連接0C.根據(jù)圓周角定理和同角的余角相等可得/OC8+NBCD=90°.然

后由切線的判定方法可得結(jié)論；

（2）由垂徑定理及三角形的中位線定理可得GC=2OE=6,OE//GC.然后根據(jù)相似三

角形的判定與性質(zhì)可得答案.

【解答】(1)證明：連接。C.

"：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

于點(diǎn)E,

：.ZCEB=90°.

：.ZOBC+ZBCD=90°.

：.ZOCB+ZBCD=9Q°.

?：/BCP=NBCD,

：.ZOCB+ZBCP^90°.

：.OCLCP.

OC是半徑，

；.CP是。。的切線.

(2)于點(diǎn)￡,

為CO中點(diǎn).

為GO中點(diǎn)，

：.OE為ADCG的中位線.

；.GC=2OE=6,OE//GC.

'：AO//GC

.,.△GCF^AOAF.

.GC_GF_6_GF

*'OA=OF

'：GF+OF=5,

：.OF=—.

11

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑

定理及圓周角定理，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵.

25.（6分）隨著冬季的到來，干果是這個(gè)季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進(jìn)一批干果，

分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y

（袋）與銷售單價(jià)無（元）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)：y=-2x+80（20WxW40）,

設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為卬（元）.

（1）求出w與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】（1）由利潤(rùn)=每袋利潤(rùn)X銷量求解.

（2）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解.

【解答】解：（1）由題意可得vv=（x-20）y

=（尤-20）（-2尤+80）

=-2/+120x-1600.

二卬與龍的關(guān)系式為w=-2X2+120X-1600.

（2）：w=-2?+120x-1600=-2（x-30）2+200,

'."20WxW40,且。=-2<0,

，當(dāng)x=30時(shí)，y最大值=200.

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為每袋30元時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是200元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是通過題意列出等式，掌握求二次函數(shù)求

最值的方法.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,相）和點(diǎn)（3,n）在二次函數(shù)y=/+6x的圖

象上.

（1）當(dāng)m=-3時(shí).

①求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②若點(diǎn)（-1,ji）,（a,”）在二次函數(shù)的圖象上，且yi>yi,則a的取值范圍是_a

<7或a>5；

（2）當(dāng)優(yōu)w<0時(shí)，求6的取值范圍.

【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐

標(biāo)；②根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性即可得到a的取值范圍；

（2）分兩種情況討論，根據(jù)題意得到關(guān)于6的不等式組，解不等式組即可求得.

【解答】解：（1）當(dāng)m=-3時(shí).

①把點(diǎn)（1,-3）代入y=W+/?x,得b=-4,

二次函數(shù)表達(dá)式為y=—-4x=（x-2）2-4,

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-4）；

②,??拋物線y=7-4x=（x-2）2-4.

??.開口向上，對(duì)稱軸為直線x=2,

???點(diǎn)（-1,yi）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)為（5,戶），

..?點(diǎn)（-1,#）,（〃，”）在二次函數(shù)的圖象上，且y2>yi,

.?.“V-1或。>5,

故答案為：-1或。>5；

（2）將點(diǎn)（1,m）,（3,n）代入可得m=1+。，n=9+3b.

當(dāng)m〃V0時(shí)，有兩種情況：

①若卜I"把片1+兒〃=9+3。代入可得（此時(shí)不等式組無解.

n<0.[9+3b<0.

②若卜把片1+4〃=9+3b代入可得解得-3V0V-1.

n>0.[9+3b>0.

所以-3<b<-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類

討論是解題的關(guān)鍵.

27.（7分）已知/尸。。=120°,點(diǎn)A,8分別在OP,。。上，OA<OB,連接A2,在A2

上方作等邊△A2C,點(diǎn)。是8。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且A3=A。，連接AD

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）連接OC,求證：NCOP=/COQ；

（3）連接CD,CD交OP于點(diǎn)F,請(qǐng)你寫出一個(gè)的值，使CD=OB+OC一定成

立，并證明.

p

p

oQ

備用圖

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

(2)在8。上截取BE=A。，連接CE,證明△CA。絲△CBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

至1JCO=CE,NCOA=NCEB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義證明即可；

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理得到。B=DC,再證明。O=OC,結(jié)合圖形證明

結(jié)論.

【解答】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖1所示；

(2)證明：如圖2,在3。上截取BE=A。，連接CE,

：△ABC為等邊三角形，

：.CA=CB,ZACB=6Q°,

；NPO0=12O°,

：.ZCAO+ZCBO=180°,

VZCBO+ZCBE=180°,

：.ZCAO=ZCBE,

在△CAO和△C8E中，

rCA=CB

"ZCA0=ZCBE)

kAO=BE

.?.△CAO^ACB￡(SAS),

：.CO=CE,ZCOA=ZCEB,

：.ZCOE=ZCEB,

J.ZCOP^ZCOQ；

(3)解：ZDAB=150°時(shí)，CD=OB+OC,

證明如下：VZZ)AB=150°,DA^AB,

：.ZADB=ZABD=15°.

：△ABC為等邊三角形,

：.ZCAB=ZCBA=ZACB=60°,

AZCAD=150°,

,

：AD=AB=ACf

：.ZADC=ZACD=15°,

：.ZDBC=ZDCB=75°,

：.DB=DC,

*：ZPOQ=120°,/BDC=30°,

AZDFO=90°,

VAZ)=AC,

：.DF=FC.

：.DO=OC,

：.DB=DO+OB=CO+OB,

圖3

圖2