2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2022-2023學(xué)年陜西省寶雞市金臺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若4左=20,則m等于（）

A.4B.5C.6D.7

2.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的動漫書，第3層放有2本不同

的地理書，從書架上任取1本書，不同的取法總數(shù)為（）

A.10B.24C.9D.12

4432

3.若Q—I）=a4x+a3x+a2x+a1x+a0,則44—a3+a2—+a0—（）

A.-1B.1C.15D.16

4.如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種

顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)

為（）

A.84B.72C.64D.56

5.若0-3"的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

6.設(shè)隨機變量X的分布列為P（X=今=ak（k=1,2,3,4）,a為常數(shù)，貝心）

11711

A.a=|B.P（X〉3=4C.P（X<4a）=：D.E（X）=

（-）2

7.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)仇（無）=金屋號（尤6氏/=1,2,3）的圖象如圖所示，則

()

C.〃1=〃2<〃3，D.41V〃2=〃3，=。2<。3

8.某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是我擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為

隨機變量，則期望E(X)=()

A.yB.1C.|D.|

9.教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉(xiāng)村支教，

某校選派了5名教師到4、B、C三個鄉(xiāng)村學(xué)校去支教，每個學(xué)校至少去1人，每名教師只能去

一個學(xué)校，不同的選派方法數(shù)有種()

A.25B.60C.90D.150

10.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的群解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可

見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯誤的是()

第一行11

第二行121

第三行1331

第四行14641

第五行15101051

第六行1615201561

A.由“與首末兩端'等距離’的兩個二項式系數(shù)相等"猜想：制=鏟

B.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上'兩個數(shù)的和“猜想：C"i=

C.由“第n行所有數(shù)之和為2小‘猜想：得+礙+鬣+…+印=2幾

D.由“111=11,II2=121,113=1331”猜想：II5=15101051

11.甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是看和

在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率為（）

A.2B.共C.9D.亮

12.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取

1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是

2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和

是7”,則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.將（a[+<22）（^1+B++。2+。3+C4）展開后有項.

14.某企業(yè)生產(chǎn)的8個產(chǎn)品中有5個一等品、3個二等品，現(xiàn)從這些產(chǎn)品中任意抽取4個，則其

中恰好有1個二等品的概率為.

15.從1,2,3,4,7,9六個數(shù)中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可

得到個不同的對數(shù)值.

16.下列四個命題中為真命題的是.（寫出所有真命題的序號）

①若隨機變量f服從二項分布8（4,J）,則其方差。（9=,；

②若隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,d）,且P（X<4）=0.64,貝葉（2<X<3）=0.07；

③已知一組數(shù)據(jù)*1，龍2，*3，…，*10的方差是3，則的+2,x2+2,x3+2,■■■,*10+2的

方差也是3；

④對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量％,y,其線性回歸方程為y=o.3x-巾，若樣本點的中心為

（m,2.8）,則實數(shù)ni的值是4.

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

袋中裝有2個紅球和4個黑球，這些球除顏色外完全相同.

（1）現(xiàn)在有放回地摸3次，每次摸出一個，求“恰好摸出1次紅球”的概率；

（2）現(xiàn)在不放回地摸3次，每次摸出一個，求“至少兩次摸出紅球”的概率.

18.（本小題12.0分）

已知（C-三廠的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和等于512.求：

(l)n的值；

(2)展開式中第3項；

(3)展開式中的常數(shù)項.

19.(本小題12.0分)

某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽

獎勵規(guī)則如下：得分在［70,80)內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在［80,90)內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在

［90,100］內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取

100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.

(1)估計這100名學(xué)生的競賽成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布

其中。a14,〃為樣本平均數(shù)的估計值，試估計參賽學(xué)生中成績超過78分的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四

舍五入到整數(shù)).

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布NO，/),貝-a<X<fi+a)0.6827,P^-2a<X<

〃+2a)與0.9545,PQi—3a<X<+3。)?0.9973.

20.(本小題12.0分)

甲盒中有3個黑球，3個白球，乙盒中有4個黑球，2個白球，丙盒中有4個黑球，2個白球，三

個盒中的球只有顏色不同，其它均相同，從這三個盒中各取一球.

(1)求“三球中至少有一個為白球”的概率；

(2)設(shè)f表示所取白球的個數(shù)，求f的分布列.

21.(本小題12.0分)

隨著人們生活水平的提高，健康越來越成為當(dāng)下人們關(guān)心的話題，因此，健身也成了廣大市

民的一項必修課.某健身機構(gòu)統(tǒng)計了2022年1?5月份某初級私人健身教練課程的月報名人數(shù)

y（單位：人）與該初級私人健身教練價格久（單位：元/小時）的情況，如表所示.

月份12345

初級私人健身教練價格x（元/小時）210200190170150

初級私人健身教練課程的月報名人數(shù)y（人）587911

（1）求（和％）（i=1,2,3,4,5）的相關(guān)系數(shù)r,并判斷月報名人數(shù)y與價格》是否有很強的線性相關(guān)

性？（當(dāng)|r|€[0.75,1]時，可以認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性；否則，沒有很強的線性相

關(guān)性）（精確到0.001）

（2）請建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（精確到0.001）

（3）當(dāng)價格為每小時230元時，估計該課程的月報名人數(shù)為多少人？（結(jié)果保留整數(shù)）

E之式陽一%）（%—y）

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（久"%）。=1,2,3,…,①，相關(guān)系數(shù)「=/一二2/一￡，其

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

y=bx+ab=J器1(折*'a=

考數(shù)據(jù)：7~29~5.385.

22.（本小題12.0分）

某條街邊有4B兩個生意火爆的早餐店，4店主賣胡辣湯、油條等，B店主賣煎餅果子、豆

漿等，小明為了解附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡的關(guān)系，隨機調(diào)查了200名到這兩個早餐

店就餐的顧客，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:

4店B店

年齡50歲及以上4060

年齡50歲以下1090

（1）判斷是否有99%的把握認(rèn)為附近群眾的早餐飲食習(xí)慣與年齡有關(guān).

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，某天有3名顧客到這兩個早餐

店就餐（每人只選一家），且他們的選擇相互獨立.設(shè)3人中到4店就餐的人數(shù)為X,求X的分布列

和期望.

7

附：%2n^ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PW>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由4蔡=20,可得-1)=20,解得加=5,機=一4(舍).

故選：B.

直接利用排列數(shù)公式，得到方程求解小即可.

本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，是基本知識的考查.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得從書架上任取1本書，有4+3+2=9種不同的取法.

故選：C.

根據(jù)分類加法計算原理即可求解.

本題主要考查簡單的計數(shù)問題，利用分類計數(shù)原理是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

4432

【解析】解：因為(%—I)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,

令X——1可得CI4一43+。2—1—I)，=16.

故選：D.

利用賦值法進行計算即可.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，利用賦值法進行計算是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

分類要全要細(xì).每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，4、C不同色；4、

C同色兩大類.

【解答】

解：先涂4有4種顏色可選，再涂B有3種顏色可選，

剩下的分兩種情況：

(1)4、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與4、C同色，所以D可以從剩余的2中

顏色中任意取一色)：有4x3x2x2=48種；

(2)4、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與力、C同色，所以D可以從剩余的3中

顏色中任意取一色)：有4x3x1x3=36種，

共有48+36=84種.

故選A.

5.【答案】C

nrrrn2r

【解析】解：。-；產(chǎn)的展開式通項公式為：Tr+1=C^x-(-i)=(-l)C^x-,

???的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，

.?.(―1)2叱=(—1)84，解得71=10,

故展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6項.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，即可求解.

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可得：a(l+2+3+4)=1,解得a=

所以p(x>}=K+A=2.

P(X<4a)=P(X=》=奈

「八八11,22,33.443

E^=4XW+4XW+4XW+4XW=4-

故選：B.

利用分布列的性質(zhì)列出方程，求出a,然后求解概率，判斷選項的正誤即可.

本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查密度函數(shù)中兩個特征數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差對

曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎(chǔ)題.

正態(tài)曲線關(guān)于久=〃對稱，且4越大圖象越靠近右邊，又有。越小圖象越瘦長，從而得到正確的結(jié)

果.

【解答】

解：???正態(tài)曲線關(guān)于x=〃對稱，且4越大圖象越靠近右邊，

???第一個曲線的均值比第二和第三個圖象的均值小，且第二個曲線和第三個曲線的均值相等，

即“1<42=43,

???C越小圖象越瘦長，

得到第二個曲線的?比第三個曲線的內(nèi)要小，即q=%<內(nèi)

故選D

8.【答案】A

【解析】解：由題意得隨機變量X的可能取值有1,2,3,

則P(x=1)=|,p(x=2)=/xq=余P(X=3)/x(x1=熱

??.隨機變量X的分布列為：

X123

22

P1

399

.?.E(X)=lx2|+2x^2+3xi1^^13.

故選：A.

由題意得隨機變量X的可能取值有1,2,3,可得P(X=1)=|,P(x=2)=1x|=|,P(X=3)=

1x|xl=i,可得X的分布列，即可得出答案.

本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中

檔題.

9.【答案】D

【解析】解：由題意可得5名教師分為1,2,2或1,1,3組，

cgc

當(dāng)分為1,2,2組時共有的選派方法數(shù)為專1,4|=go種，

c\c

當(dāng)分為1,1,3組時共有的選派方法數(shù)為坐I.&3=60種，

及3

所以共有90+60=150種.

故選：D.

由題意可得5名教師分為1,2,2或1,1,3組，然后根據(jù)排列組合的計數(shù)性質(zhì)分別求出方法數(shù)，

最后根據(jù)分類加法原理計數(shù)即可求解.

本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，考查了學(xué)生的分類思想，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于a：(a+b)n的展開式中的各項系數(shù)依次對應(yīng)楊輝三角的第n行每一項，”與首末兩端’等距離

’的兩個二項式系數(shù)相等"，即第n行第爪+1項，則其二項式系數(shù)為C鏟，后面對稱的是第n-m+1

項，其二項式系數(shù)為c7r叱

則有Cr=。/機，所以A正確.

對于B：“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上'兩個數(shù)的和"，第Ti+l行第r+1

項，其二項式系數(shù)為墨+i.其“肩上”兩個數(shù)為第九行的r和r+1項，二項式系數(shù)分別為C廠1,加，

所以B正確.

對于C：(a+6產(chǎn)的展開式中的各項系數(shù)依次對應(yīng)楊輝三角的第九行每一項，由組合數(shù)的性質(zhì)：禺+

禺+%+…+謂=2",則有第n行所有數(shù)之和為2%C正確；

對于D：計算可得1爐=161051,錯誤.

故選：D.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案.

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及楊輝三角與二項式定理的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】D

【解析】解：設(shè)事件4表示“甲能回答該問題”，事件B表示“乙能回答該問題”，事件C表示“這

個問題被解答”，

貝”⑷=|,P(B)=I，故P(C)=P(AB)+PQ4B)+P(48)=|x(l-1)+(l-|)xi+|x|=

11

元，

所以在這個問題已被解答的條件下，

31

甲乙兩位同學(xué)都能正確回答該問題的概率為：P=鏘=4r=rr.

()15

故選：D.

利用獨立事件及互斥事件的概率求法求解該問題被解答的概率，再利用條件概率計算公式求解即

可.

本題考查概率的求法，考查條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查相互獨立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，屬于中檔題.

分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨立事件的定義判斷即可.

【解答】

解：由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和是8的所有可能為：(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

兩次取出的球的數(shù)字之和是7的所有可能為(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

P(甲)4,P(乙)4,P(丙)=短=*PCT)=/。,

x：P(甲丙)=04P(甲)P(丙)，

B：P(甲丁)=2=P(甲)「(丁)，

C：P(乙丙)(乙)P(丙)，

D：P(丙丁)=0大P(丙)P(丁)，

故選：B.

13.【答案】24

【解析】解：展開式一共有2x3x4=24項，

故答案為：24.

利用二項式定理展開式，即可解出.

本題考查了二項式定理的展開式項數(shù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：恰好有1個二等品的概率p=A=3.

~cl~7

故答案為：宗

利用古典概型的概率公式求解.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】17

【解析】

【分析】

本題考查其它排列問題、排列與排列數(shù)公式、對數(shù)換底公式，屬于較易題.

根據(jù)所取得兩個數(shù)中是否含有1分為兩類,利用排列數(shù)公式和對數(shù)換底公式即可求出不同的對數(shù)值

個數(shù).

【解答】

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①當(dāng)取得兩個數(shù)中有一個是1時，貝只能作真數(shù)，此時logal=0，a=2或3或4或7或9,

②所取的兩個數(shù)不含有1時，即從2,3,4,7,9中任取兩個，分別作為底數(shù)與真數(shù)可有&=20個

對數(shù)，

其中l(wèi)og23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=logg3,

綜上可知：共可以得到20+1-4=17個不同的對數(shù)值.

故答案為：17.

16?【答案】①③

【解析】解：若隨機變量f服從二項分布B(4,J),

則其方差D(f)=4x；x(1-：)故①正確；

若隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,M),且P(Xw4)=0.64,

則P(2<X<3)=P(3<X<4)=P(X<4)-P(X<3)=0.14,故②錯誤；

已知一組數(shù)據(jù)方「%2,久3，…，%10的方差是3,

則修+2,尤2+2，X3+2，…，+2的方差也是12x3=3,故③正確；

對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X，y，其線性回歸方程為y=0.3久_巾，若樣本點的中心為(叫2.8),

則0.3m-m=2.8,解得m=-4,故④錯誤.

故選：①③.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的方差公式，正態(tài)分布的對稱性，方差的線性公式，線性回歸方程

的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查二項分布的方差公式，正態(tài)分布的對稱性，方差的線性公式，線性回歸方程的性質(zhì)，

屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)因為袋中裝有2個紅球和4個黑球，

所以有放回地每次摸出紅球的概率為P=

所以有放回地摸3次，每次摸出一個，求“恰好摸出1次紅球”的概率為：

P=程3(|)2

(2)由不放回地摸球，則至少兩次摸出紅球，即為一次摸出2個紅球，

所以不放回地摸3次，每次摸出一個，求“至少兩次摸出紅球”的概率為；

C初

P_2±__4__1.

_扇_20_5

【解析】(1)易得有放回地每次摸出紅球的概率為P=$再利用獨立重復(fù)試驗求解；

(2)利用古典概型的概率求解.

本題考查獨立重復(fù)試驗、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由題意可知，2n=512,解得71=9；

(2)(，/_a)9的二項展開式通項為?；+]=砥0*(—分r=(_l)rCrx^,

乙“LXZ

,,123

故&=(-2)2XCg%3=9%2；

(3)令等=0,解得r=3,

故展開式中的常數(shù)項為A=(一護俏=-y.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，列出等式，即可求解；

(2)先求出該二項展開式的通項公式，令r=2,即可求解；

(3)結(jié)合該二項展開式的通項公式，即可求解.

本題主要考查二項式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)樣本平均數(shù)的估計值：%=35x0,006x10+45x0.012x10+55x0.018x

10+65x0.034x10+75x0.016x10+85x0.008x10+95x0.006x10=64；

(2)由題意可知，X?N(64,142),

〃+。=78,

則P(X>78)?1一°詈7=0.15865,

故參賽學(xué)生中成績超過78分的學(xué)生人數(shù)為：0.15865x10000?1587.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)公式，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)根據(jù)題意，記甲、乙、丙盒中取一球為白球事件分別為4、B、C,三球中至

少有一球為白球記為事件M,

則P(4)=右P⑻=與P(C)=,

P(M)=l-P(XB一C)=l-(l-11)X(l-i1)X(l-i1)=7^；

(2)由題意可知，隨機變量，的可能取值為0,1,2,3.

P(f=0)=(1—今x(l-扔號，

P鉉=1)=P(ABC+BAC+CAB}

=1X(1,1)2+2X(1_1)X1X(1,1)=4)

P(BCA+ACB+ABC)

=|xlx(l-|)+|x(l-|)x|+(l-|)x|xj=A;

P(f=3)士呼/?

所以，隨機變量f的分布列如下：

0123

2451

P

991818

【解析】(1)由題意，分別求出甲、乙、丙盒中取一球為白球事件的概率，再用間接法即可求得“三

球中至少有一個為白球”的概率；

(2)由題意可得f的可能取值為0,1,2,3,分別求出各個取值的概率，從而可列出離散型隨機變量

的分布列.

本題考查隨機變量的分布列，涉及互斥事件的概率計算，屬于基礎(chǔ)題.

“、-210+200+190+170+150-5+8+7+9+11

21.【答案】解:(l)x=-----------------------------=184,y=----------------=8o,

22222222

5X1(陽一x)=26+16+6+(-14)+(—34)2=2320,—y)=(-3)+(-1)+

。2+I?+3=20,—%)(%—y)=26X(-3)+16X0+6X(-1)+(-14)x