第三章 統(tǒng)計(jì)描述

海南大學(xué)應(yīng)用科技學(xué)院(儋州校區(qū))魏宏三章數(shù)據(jù)分布特征描述第一節(jié)統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖第二節(jié)分布的集中趨勢(shì)第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)第四節(jié)分布的偏度和峰度第三章統(tǒng)計(jì)描述1、掌握統(tǒng)計(jì)資料的兩種基本表達(dá)方法：統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖2、理解和領(lǐng)會(huì)平均數(shù)的概念及其特點(diǎn)，掌握平均數(shù)各種計(jì)算方法的概念及計(jì)算公式3、區(qū)分算術(shù)平均數(shù)與強(qiáng)度相對(duì)數(shù)的不同4、離散趨勢(shì)指標(biāo)的計(jì)算是本章的又一重點(diǎn)，應(yīng)該在理解的基礎(chǔ)上掌握標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式５、

掌握標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的意義、計(jì)算及應(yīng)用條件6、分析平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)之間的關(guān)系以及相互之間的推算學(xué)習(xí)目標(biāo)第一節(jié)統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)表的概念：對(duì)統(tǒng)計(jì)調(diào)查所獲得的原始資料進(jìn)行整理，得到的數(shù)據(jù)，把這些數(shù)據(jù)按一定的順序排列在表格上，就形成了統(tǒng)計(jì)表。廣義的統(tǒng)計(jì)表包括統(tǒng)計(jì)工作各個(gè)階段中所用的一切表格，如調(diào)查表、匯總表或整理表等。本節(jié)所講的統(tǒng)計(jì)表是狹義的統(tǒng)計(jì)表，即將匯總結(jié)果按一定順序排列在由橫行、縱列交叉結(jié)合而成的表格中，這種表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)資料的表格稱為統(tǒng)計(jì)表一、統(tǒng)計(jì)表（一）統(tǒng)計(jì)表的定義和結(jié)構(gòu)第三章統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)：

1、從表式上看，統(tǒng)計(jì)表是由縱橫交叉的線條組成的一種表格，包括總標(biāo)題、橫行標(biāo)題、縱欄標(biāo)題和指標(biāo)數(shù)值四個(gè)部分?？倶?biāo)題是統(tǒng)計(jì)表的名稱，它扼要地說明該表的基本內(nèi)容。它置于統(tǒng)計(jì)表格的正上方。橫行標(biāo)題是橫行的名稱，一般位于表格的左方?？v欄標(biāo)題是縱欄的名稱，一般位于表格的上方。指標(biāo)數(shù)值列在橫行和縱欄的交叉處，用來說明總體及其組成部分的數(shù)量特征，它是統(tǒng)計(jì)表格的核心部分。

2、從內(nèi)容上看，統(tǒng)計(jì)表由主詞欄和賓詞欄兩個(gè)部分組成。主詞欄是統(tǒng)計(jì)表所要說明的總體及其組成部分；賓詞欄是統(tǒng)計(jì)表用來說明總體數(shù)量特征的各個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。我國(guó)2002年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值按三次產(chǎn)業(yè)分國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）比上年增長(zhǎng)率(%）

第一產(chǎn)業(yè)

148832.9

第二產(chǎn)業(yè)529829.9

第三產(chǎn)業(yè)34522

7.3

合計(jì)1023988.0縱欄標(biāo)題數(shù)字資料

主詞

賓詞橫行標(biāo)題總標(biāo)題

（3）復(fù)合表：主詞按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)志進(jìn)行分組的統(tǒng)計(jì)表，也稱復(fù)合分組表。

（二）統(tǒng)計(jì)表的分類

1、按主詞的結(jié)構(gòu)分類，根據(jù)主詞是否分組和分組的程度，分為簡(jiǎn)單表、分組表和復(fù)合表。

（1）簡(jiǎn)單表：主詞未經(jīng)任何分組的統(tǒng)計(jì)表稱為簡(jiǎn)單表，也稱一覽表。主詞羅列各單位的名稱。

（2）分組表：主詞只按一個(gè)標(biāo)志進(jìn)行分組形成的統(tǒng)計(jì)表，也稱簡(jiǎn)單分組表。

2、按賓詞設(shè)計(jì)分類，可分為賓詞簡(jiǎn)單排列、分組平行排列和分組層疊排列等。（1）賓詞簡(jiǎn)單排列賓詞不進(jìn)行任何分組，按一定順序排列在統(tǒng)計(jì)表上。（2）賓詞分組平行排列賓詞欄中各分組標(biāo)志彼此分開，平行排列。

（3）賓詞分組層疊排列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)同時(shí)有層次地按兩個(gè)或兩個(gè)以上標(biāo)志分組，各種分組層疊在一起，賓詞的欄數(shù)等于各種分組的組數(shù)連乘積。

（三）統(tǒng)計(jì)表的設(shè)計(jì)

統(tǒng)計(jì)表設(shè)計(jì)總的要求是：簡(jiǎn)練、明確、實(shí)用、美觀、便于比較。

（1）線條的繪制。表的上下端應(yīng)以粗線繪制，表內(nèi)縱橫線以細(xì)線繪制。兩端一般不劃線，采用“開口式”。

（2）合計(jì)欄的設(shè)置。統(tǒng)計(jì)表各縱列若需合計(jì)時(shí)，一般應(yīng)將合計(jì)列在最后一行，各橫行若需要合計(jì)時(shí)，可將合計(jì)列在最前一欄或最后一欄。

（3）標(biāo)題設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)表的總標(biāo)題，橫欄、縱欄標(biāo)題應(yīng)簡(jiǎn)明扼要，以簡(jiǎn)練而又準(zhǔn)確的文字表述統(tǒng)計(jì)資料的內(nèi)容、資料所屬的空間和時(shí)間范圍。

（4）指標(biāo)數(shù)值表中數(shù)字應(yīng)該填寫整齊，對(duì)準(zhǔn)位數(shù)。當(dāng)數(shù)字小且可略而不計(jì)時(shí)，可寫上“0”；當(dāng)缺某項(xiàng)數(shù)字資料時(shí)，可用符號(hào)“

”；不應(yīng)有數(shù)字時(shí)用符號(hào)“－”表示。

（5）計(jì)量單位統(tǒng)計(jì)表必須注明數(shù)字資料的計(jì)量單位。當(dāng)全表只有一種計(jì)量單位時(shí)，可以把它寫在表的右上方。如果表中各格的指標(biāo)數(shù)值計(jì)量單位不同，可在橫行標(biāo)題后添一列計(jì)量單位。

（6）注解或資料來源必要時(shí)，在統(tǒng)計(jì)表下應(yīng)加注解或說明，以便查考。

首先建立直角坐標(biāo)系，橫軸代表分組變量，縱軸表示頻數(shù)或頻率。以各組距為寬，各組的頻數(shù)或頻率為高，繪制代表各組的直方塊，便形成直方圖。1512963105110115120125130135140

統(tǒng)計(jì)圖：統(tǒng)計(jì)圖是借助幾何圖形或具體形象來顯示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的一種形式。（一）直方圖二、統(tǒng)計(jì)圖

（二）折線圖

也稱多邊形圖，是在直方圖的基礎(chǔ)上繪制的。1512963105110115120125130135140頻數(shù)(人)

將每個(gè)直方塊的頂端中點(diǎn)，即組中值畫一個(gè)小圓點(diǎn)，然后將這些小圓點(diǎn)用直線相連，即形成折線圖。起點(diǎn)通常放在距左邊最低組半個(gè)組距的橫軸上，終點(diǎn)通常放在距右邊最高組半個(gè)組距的橫軸上。

（三）曲線圖

當(dāng)變量數(shù)列的組數(shù)無限時(shí)，折線便表現(xiàn)為一條平滑曲線。曲線圖的繪制方法與折線圖基本相同，只是在連接各組次數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)時(shí)應(yīng)當(dāng)用平滑曲線。頻數(shù)(人)1512963

（四）累計(jì)曲線圖

累計(jì)曲線圖的繪制。累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖分為向上累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖和向下累計(jì)頻數(shù)（頻率）分布圖。不論是向上累計(jì)還是向下累計(jì)均以分組變量為橫軸，以累計(jì)頻數(shù)（頻率）為縱軸。在直角坐標(biāo)系上將各組組距的上限與其相應(yīng)的累計(jì)頻數(shù)（頻率）構(gòu)成坐標(biāo)點(diǎn)，依次用折線（或光滑曲線）相連，即是向上累計(jì)曲線。對(duì)于向下累計(jì)頻數(shù)分布圖，在直角坐標(biāo)系上將各組組距下限與其相應(yīng)累計(jì)頻數(shù)（頻率）構(gòu)成坐標(biāo)點(diǎn)，依次用折線（或光滑曲線）相連，即是向下累計(jì)分布曲線圖。圓形圖（餅圖Pie）。環(huán)形圖。環(huán)形圖與餅形圖類似，但又有區(qū)別。A、B城市居民對(duì)住房的滿意度散點(diǎn)圖（Scatter）

第二節(jié)分布的集中趨勢(shì)

（一）平均指標(biāo)含義

一、描述分布集中趨勢(shì)的主要指標(biāo)及其分類

（二）平均指標(biāo)的特點(diǎn)具有代表性和抽象性。

概括地描述統(tǒng)計(jì)分布的一般水平或集中趨勢(shì)的數(shù)值。4、分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。規(guī)模和利潤(rùn)率（三）平均指標(biāo)的作用

統(tǒng)計(jì)平均數(shù)具有重要作用，主要體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：1、反映總體各變量分布的集中趨勢(shì)和一般水平。平均勞動(dòng)生產(chǎn)率2、便于比較同類現(xiàn)象在不同單位間的發(fā)展水平。不同行業(yè)平均工資3、能夠比較同類現(xiàn)象在不同時(shí)間的發(fā)展變化趨勢(shì)或規(guī)律。居民收入平均收入水平（個(gè)體受偶然影響，總體受人數(shù)影響）

位置平均數(shù)根據(jù)標(biāo)志值某一特點(diǎn)位置來確定的平均數(shù)。它不是對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)列中所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算所得的結(jié)果，而是根據(jù)數(shù)列中處于特殊位置上的個(gè)別單位或部分單位的標(biāo)志值來確定的。（四）平均數(shù)的分類

平均數(shù)根據(jù)其具體的代表意義和計(jì)算方式不同，可分為：

數(shù)值平均數(shù)是以統(tǒng)計(jì)數(shù)列的所有各項(xiàng)數(shù)據(jù)來計(jì)算的平均數(shù)。其特點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)數(shù)列中任何一項(xiàng)數(shù)據(jù)的變動(dòng)，都會(huì)在一定程度上影響數(shù)值平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果。眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)冪平均數(shù)二、位置平均數(shù)（一）眾數(shù)

1、眾數(shù)的直觀含義：總體中出現(xiàn)次數(shù)最多、頻率最高的標(biāo)志值。眾數(shù)（Mode）,在統(tǒng)計(jì)分布上具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平（眾數(shù)可以不存在或多于一個(gè)）。修正定義：是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫眾數(shù)，有時(shí)眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個(gè)。用M或Mo表示。按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）2015213022202310

2、確定眾數(shù)的方法。（1）單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)（2）由組距數(shù)列確定眾數(shù)2、計(jì)算公式：比例差值法1、確定眾數(shù)組：等距：次數(shù)最多；異距：頻數(shù)密度最高例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合計(jì)3000農(nóng)戶年人均收入眾數(shù)計(jì)算表眾數(shù)的確定（組距數(shù)列）月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)?！纠磕称髽I(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—中位數(shù)的位次：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。眾數(shù)特點(diǎn)

1、眾數(shù)是以它在所有標(biāo)志值中所處的位置確定的全體單位標(biāo)志值的代表值，它不受分布數(shù)列的極大或極小值的影響，從而增強(qiáng)了眾數(shù)對(duì)分布數(shù)列的代表性。

2、當(dāng)分組數(shù)列沒有任何一組的次數(shù)占多數(shù)，也即分布數(shù)列中沒有明顯的集中趨勢(shì)，而是近似于均勻分布時(shí)，則該次數(shù)分配數(shù)列無眾數(shù)。3、如果與眾數(shù)組相比鄰的上下兩組的次數(shù)相等，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)值；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較多，而下一組的次數(shù)較少，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組下限；如果與眾數(shù)組比鄰的上一組的次數(shù)較少，而下一組的次數(shù)較多，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)會(huì)偏向該組上限。

4、缺乏敏感性。這是由于眾數(shù)的計(jì)算只利用了眾數(shù)組的數(shù)據(jù)信息，不象數(shù)值平均數(shù)那樣利用了全部數(shù)據(jù)信息。（二）中位數(shù)

1、中位數(shù)的含義將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列起來居于中間位置的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)。2、確定中位數(shù)的方法（1）由未分組資料確定中位數(shù)中位數(shù)的作用：不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。

①標(biāo)志值的個(gè)數(shù)是奇數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)

①標(biāo)志值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)【例B】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數(shù)的位次為中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即（2）由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)例：中位數(shù)為第40名和41名日產(chǎn)量的平均值按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f累計(jì)次數(shù)向上累計(jì)向下累計(jì)20101080221525702430555526258025合計(jì)80——（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計(jì)算公式（比例差值法）通過累計(jì)次數(shù)找出中位數(shù)所在組合計(jì)數(shù)向上累計(jì)至中位數(shù)組的前一組例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計(jì)次數(shù)5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合計(jì)3000—(1)計(jì)算累計(jì)次數(shù)(2)確定中位數(shù)組(6—7)(3)根據(jù)中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算中位數(shù)中位數(shù)位次：【課練】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)。其它分位點(diǎn)中位數(shù)是二分位點(diǎn)與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)（quartile）、十分位數(shù)（decile）和百分位數(shù)（percentile）等。它們分別是用3個(gè)點(diǎn)、9個(gè)點(diǎn)和99個(gè)點(diǎn)將數(shù)據(jù)四等分、10等分和100等分后各分位點(diǎn)上的值。這里只介紹四分位數(shù)的計(jì)算，其他分位數(shù)與之類似。一組數(shù)據(jù)排序后處于25％和75％位置上的值，稱為四分位數(shù)，也稱四分位點(diǎn)。1.四分位數(shù)位置的確定設(shè)下四分位數(shù)為QL

，上四分位數(shù)為ＱＵ，對(duì)于未分組的原始數(shù)據(jù)，各四分位數(shù)的位置分別為：（1）未分組數(shù)據(jù)：當(dāng)四分位數(shù)的位置不在某一個(gè)位置上時(shí)，可根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)兩側(cè)的差值。[例3.2]在某城市中隨機(jī)抽取9個(gè)家庭，調(diào)查得到每個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位:元），1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，計(jì)算人均月收入的四分位數(shù)。解：即QL在第2個(gè)數(shù)值（780）和第3個(gè)數(shù)值（850）之間0.5的位置上，因此QL＝（780＋850）÷2＝815（元），即QU在第7個(gè)數(shù)值（1500）和第8個(gè)數(shù)值（1630）之間0.5的位置上，因此QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元）QL和QU之間包含了50%的數(shù)據(jù)，因此，我們可以說有一半的家庭人均月收入在815～1565元之間。（2）組距分組數(shù)據(jù)：上四分位數(shù)下四分位數(shù):

數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(計(jì)算公式略)三、數(shù)值平均數(shù)總體單位數(shù)：

表示的是一個(gè)總體內(nèi)所包含的總體單位數(shù)。在上面計(jì)算公式中，總體標(biāo)志總量必須是總體各單位標(biāo)志值的總和，標(biāo)志值和單位之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

數(shù)值平均數(shù)是對(duì)總體各單位某一標(biāo)志值的平均，表明總體單位標(biāo)志值的一般水平?；居?jì)算公式是：

總體標(biāo)志總量/總體單位數(shù)。總體標(biāo)志總量：

總體各單位某種數(shù)量標(biāo)志值的總和?？傮w平均數(shù)樣本平均數(shù)公式中，（一）算術(shù)平均數(shù)1、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算計(jì)算算術(shù)平均數(shù)有兩種式：（1）簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

適用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值加總得到標(biāo)志總量除以總體單位總量而得。計(jì)算公式為：代表算術(shù)平均數(shù)。

表示各單位標(biāo)志值。

表示總體單位數(shù)。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)分別為：75、91、64、53、82。則平均成績(jī)?yōu)椋?/p>

例

①根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式：

應(yīng)用條件：?jiǎn)雾?xiàng)式分組，各組次數(shù)不同。（2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

例:某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量

xf14228154601681281758518118

合計(jì)20319②根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—301025

25030—407035245040—509045415050—6030551650合計(jì)200—8400例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：

權(quán)數(shù)在平均數(shù)中的權(quán)衡輕重的作用，是直接通過各組單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重，也就是各組的頻率－相對(duì)數(shù)的大小體現(xiàn)出來的。頻率的大

2、權(quán)數(shù)（1）概念

對(duì)平均數(shù)的大小起著權(quán)衡輕重的作用。平均數(shù)總是趨向于出現(xiàn)次數(shù)最多的哪個(gè)標(biāo)志值。（2）權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式絕對(duì)數(shù)形式（次數(shù)）相對(duì)數(shù)形式（比重）（3）權(quán)數(shù)的作用

當(dāng)各組的次數(shù)都相同時(shí)，各標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響都相同時(shí)，那就無所謂權(quán)數(shù)的“權(quán)衡輕重”了。在這種情況下，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等小體現(xiàn)出來的。頻率的大小就直接表明了該組標(biāo)志值在平均數(shù)中占據(jù)的地位，頻率越大，該標(biāo)志值計(jì)入平均數(shù)的份額也越大，對(duì)平均數(shù)的影響就越大；反之，頻率越小，該標(biāo)志值計(jì)入平均數(shù)的份額就越小，對(duì)平均數(shù)的影響就越小，這就是權(quán)數(shù)權(quán)衡輕重作用的實(shí)質(zhì)。（4）權(quán)數(shù)不起作用的場(chǎng)合可以說，簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)實(shí)際上是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例。于簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。即當(dāng)時(shí)，

一般說來，次數(shù)就是權(quán)數(shù)，但在計(jì)算相對(duì)指標(biāo)的平均數(shù)時(shí)，經(jīng)常遇到次數(shù)不是權(quán)數(shù)的情況。故在求相對(duì)指標(biāo)的平均數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)相對(duì)指標(biāo)的含義選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)。（5）權(quán)數(shù)的選擇（6）由比重權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)例按日產(chǎn)量分組（公斤）人數(shù)比重（%）組中值x20—30

52530—40353540—50454550—601555應(yīng)用條件：已知的是比重權(quán)數(shù)（次數(shù)是比重）公式：4、根據(jù)相對(duì)數(shù)（平均數(shù)）計(jì)算的加權(quán)

某局所屬的三個(gè)企業(yè)的資料：

企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成%x計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）f實(shí)際產(chǎn)值（萬元）xf甲95300285乙105900945丙115300345

合計(jì)—？？15001575（1）根據(jù)相對(duì)數(shù)計(jì)算的（2）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算的某企業(yè)各班組工人勞動(dòng)生產(chǎn)率資料:班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)f產(chǎn)品產(chǎn)量(件)xf一101001000二122002400三153004500四203006000五302006000合計(jì)？？

—110019900

3、是非標(biāo)志的平均數(shù)

是非標(biāo)志:也稱交替標(biāo)志，當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)為“是”與“非”或“有”與“無”兩種情況時(shí)，這種品質(zhì)標(biāo)志就稱為是非標(biāo)志。

是非標(biāo)志x單位數(shù)

f比重

1

0

合計(jì)N1

平均數(shù)的計(jì)算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不合格率為5%，求是非標(biāo)志平均數(shù)。4、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（2）各個(gè)變量值與其平均數(shù)離差平方之和為最小值（1）各個(gè)變量值與其平均數(shù)離差之和等于零思考幾何意義（3）給每個(gè)變量值增加或減少一個(gè)任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)增增加或減少這個(gè)任意數(shù)A。（4）給每個(gè)變量值乘以或除以一個(gè)任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)擴(kuò)大或縮小A倍。（二）調(diào)和平均數(shù)（H）

是社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中常用的另一種平均指標(biāo)，它是根據(jù)標(biāo)志值的倒數(shù)計(jì)算的，所以又稱倒數(shù)平均數(shù)。與算術(shù)平均數(shù)一樣，調(diào)和平均數(shù)有簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。例:一個(gè)人步行兩里，走第一里時(shí)速度為每小時(shí)候10里，走第二里時(shí)為每小時(shí)20里，則平均速度為：應(yīng)用條件：資料未分組，各個(gè)變量值次數(shù)都是1。計(jì)算公式:1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)不能為02、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式：速度

x行走里程

m所需時(shí)間201

152103

合計(jì)6

例1：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。例2班組平均勞動(dòng)生產(chǎn)率x實(shí)際工時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)量(件)m一

101001000二12200

2400三15300

4500四203006000五

302006000合計(jì)

—110019900調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。解即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。

是另一種形式的平均數(shù)，是N個(gè)變量值乘積的N次方根。主要用于計(jì)算平均比率和平均速度。幾何平均數(shù)也有簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。

（三）幾何平均數(shù)（G）1、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)車間投入量產(chǎn)出量合格率

%x一100080080

二80072090三72050470例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個(gè)連續(xù)作業(yè)車間才能完成。應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。計(jì)算公式：2、加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算公式：年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率設(shè)本金為應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。本利率x年數(shù)f105%2108%3110%3112%2合計(jì)10平均年利率=8.77%[課練]某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。該流水線產(chǎn)品平均合格率為：解：幾何平均數(shù)的計(jì)算方法思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即【課練】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年末的本利和為：第12年的計(jì)息基礎(chǔ)則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：4冪平均冪平均（powermean）也叫廣義平均（generalizedmean）或赫爾德平均（H?ldermean），是畢達(dá)哥拉斯平均（包含了算術(shù)、幾何、調(diào)和平均）的一種抽象化。K=1,算術(shù)K=-1,調(diào)和K0，趨近于幾何（三）眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對(duì)稱分布左偏分布右偏分布

眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍：第三節(jié)分布的離中趨勢(shì)一、描述分布離中趨勢(shì)的主要變異指標(biāo)及其作用

變異指標(biāo)是用來刻畫總體分布的離散程度或變異狀況，變異指標(biāo)越大，表明總體各單位標(biāo)志值的變異程度越大。它是反映總體各標(biāo)志值間差異程度的,且能衡量總體平均數(shù)的代表性。變異指標(biāo)的含義常見的變異指標(biāo)有：極差四分位差

方差

變異系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差異眾比率

平均差2、反映現(xiàn)象變動(dòng)的均衡性。均勻性變異指標(biāo)的作用1、用于衡量平均指標(biāo)的代表性。變異越大，代表性越低

3、研究總體標(biāo)志值分布離散的情況。二、定類數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的測(cè)度——異眾比率

非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率(variationratio)，稱為異眾比率異眾比率的計(jì)算公式為：式中：為變量值的總頻數(shù)；為眾數(shù)組的頻數(shù)一家市場(chǎng)調(diào)查公司為研究不同品牌飲料的市場(chǎng)占有率，對(duì)隨機(jī)抽取的一家超市進(jìn)行了調(diào)查。調(diào)查員在某天對(duì)50名顧客購(gòu)買飲料的品牌進(jìn)行了紀(jì)錄。整理得不同品牌飲料的頻數(shù)分布資料，要求根據(jù)資料計(jì)算異眾比率。極差也稱全距，用R表示三、極差與四分位差極差公式：

R=最大值—最小值【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則【例】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便，易懂缺點(diǎn)：易受極端數(shù)值的影響，不能全面反映所有標(biāo)志值差異大小及分布狀況，準(zhǔn)確程度差往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中四分位差用Q1代表第一個(gè)四分位數(shù)（下四分位數(shù)），Q3代表第三個(gè)四分位數(shù)（上四分位數(shù)）

四分位數(shù)通過三個(gè)點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)分為四個(gè)部分，每部分包含25%的數(shù)據(jù)，處在分位點(diǎn)上的數(shù)值就是四分位數(shù)。很顯然中間的四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說的四分位數(shù)是指第一個(gè)四分位數(shù)（下四分位數(shù)）和第三個(gè)四分位數(shù)（上四分位數(shù)）。也稱內(nèi)距或四分間距，它是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，用Q.D表示

四分位差Q.D=Q3-Q1四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度,其數(shù)值越小,說明中間的數(shù)據(jù)越集中,數(shù)值越大,說明中間的數(shù)據(jù)越分散。四分位差不受極值的影響，主要用于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的離散程度。四平均差(Meandeviation)平均差是各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對(duì)值的平均數(shù)。根據(jù)掌握資料的不同，平均差有以下兩種計(jì)算方法：1.簡(jiǎn)單平均法對(duì)于未分組資料，采用簡(jiǎn)單平均法。其計(jì)算公式為：

MD=某廠甲、乙兩組工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量資料

==加權(quán)平均法在資料分組的情況下，應(yīng)采用加權(quán)平均式：

=某企業(yè)100名工人的月工資資料

平均差計(jì)算簡(jiǎn)便，意義明確，而且平均差是根據(jù)所有變量值計(jì)算的，因此它能夠準(zhǔn)確地、全面地反映一組數(shù)值的變異程度。但是，由于平均差是用絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算的，它不適宜于代數(shù)形式處理，所以在實(shí)際應(yīng)用上受到很大的限制。五、方差與標(biāo)準(zhǔn)差是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；它是測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。標(biāo)準(zhǔn)差的平方標(biāo)準(zhǔn)差方差：計(jì)算公式資料未分組資料已分組例1

某車間5名工人生產(chǎn)零件的日產(chǎn)量（件）分別為20、22、23、24、26，試計(jì)算其方差及標(biāo)準(zhǔn)差，日產(chǎn)量（件）209221230241269合計(jì)20某車間5名工人日產(chǎn)量例2日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合計(jì)200—12190某企業(yè)加工車間200名工人日產(chǎn)量（件）資料如下表所示，某加工車間200名工人日產(chǎn)量【課練】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元?！菊n練】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000解：即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)捷計(jì)算避免離差平方和計(jì)算過程的出現(xiàn)目的變量值平方的平均數(shù)變量值平均數(shù)的平方簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差總方差、組間方差和組內(nèi)方差。

組內(nèi)方差反映組內(nèi)標(biāo)志值對(duì)組平均數(shù)的方差，組間方差反映組平均數(shù)對(duì)總平均數(shù)的方差。它們之間的關(guān)系為

變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)

變量對(duì)算術(shù)平均數(shù)的方差小于對(duì)任何常數(shù)的方差。

n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的1/n。

變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。

n個(gè)同性質(zhì)獨(dú)立變量和的方差等于各個(gè)變量方差的和是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差如前是非標(biāo)志的平均數(shù)為P標(biāo)志值x單位數(shù)f10合計(jì)N___由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，相比較而言，它的應(yīng)用最為廣泛。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求是非標(biāo)志的方差及標(biāo)準(zhǔn)差。

上面介紹的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差等都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)指標(biāo)，而且一般都是帶有計(jì)量單位的有名數(shù)。這些標(biāo)志變異指標(biāo)的大小不僅受總體各單位標(biāo)志值離散程度的影響，而且還受到標(biāo)志值自身水平高低的影響。因此在比較不同總體的標(biāo)志變異程度及其平均指標(biāo)代表性大小時(shí)，不能直接用上述各種標(biāo)志變異指標(biāo)來比較，而必須采用反映標(biāo)志變異程度的相對(duì)指標(biāo)，即標(biāo)志變異系數(shù)（也稱標(biāo)志變動(dòng)系數(shù)或離散系數(shù)）來比較。

標(biāo)志變異系數(shù)計(jì)算公式為例如，將極差與其平均數(shù)對(duì)比，得到極差系數(shù)；將標(biāo)準(zhǔn)差與其平均數(shù)對(duì)比，得到標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。最常用的標(biāo)志變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。各種變異指標(biāo)與其算術(shù)平均數(shù)之比。一般用V表示。用來對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小:——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:變異系數(shù)指標(biāo)身高的差異水平：cm用變異系數(shù)可以進(jìn)行比較體重的差異水平：kg不可比

某地區(qū)工薪階層人員的月平均收入為1000元，標(biāo)準(zhǔn)差為2