高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)64模擬方法-概率的應(yīng)用文北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)64模擬方法——概率的應(yīng)用建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)B[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故選B.]2．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)D[x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))時(shí)，sinx≤eq\f(1,2)，故概率為eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3).]3．已知函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)x0，使f(x0)≤0的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)C[由f(x0)≤0可得－1≤x0≤2，所以D＝3－(－3)＝6，d＝2－(－1)＝3，故由幾何概型的計(jì)算公式可得所求概率為P＝eq\f(d,D)＝eq\f(1,2)，故選C.]4．如圖，圓O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，OM⊥AB，交AB于點(diǎn)N，向圓O內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，若圓周率π按3計(jì)算，則該點(diǎn)恰好落在陰影部分的概率約為()A.eq\f(12,25) B.eq\f(1,15)C.eq\f(4,25) D.eq\f(4,15)C[由題意得OA＝5，AN＝eq\f(1,2)AB＝4，∴ON＝3，∴陰影部分的面積S1＝eq\f(1,2)×8×3＝12，又圓的面積S＝πr2＝25π，所以該點(diǎn)落在陰影部分的概率為P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(12,25π)≈eq\f(4,25)，故選C.]5．如圖是一邊長(zhǎng)為8的正方形苗圃圖案，中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍．若在正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黑色區(qū)域的概率為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,16)C．1－eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,16)C[設(shè)黑色小圓半徑為r，則黑色大圓半徑為2r，由題意知8r＝8，所以r＝1，又正方形內(nèi)切圓的半徑為4，則陰影部分的面積為S陰影＝82－16π＋4×π×12＋π×22＝64－8π，因此所求概率為P＝eq\f(64－8π,64)＝1－eq\f(π,8)，故選C.]6．有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)B[設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3).故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]7．在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1,1≤y≤2}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤2x的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)A[依題意作出圖像如圖，則P(y≤2x)＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,2)×1,12)＝eq\f(1,4).]二、填空題8．在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則使函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋a無零點(diǎn)的概率為________．eq\f(1,8)[∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋a無零點(diǎn)，∴Δ＝42－4a＜0，即a＞4.即a∈(4,5)，區(qū)間長(zhǎng)度為1.∵在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，且區(qū)間[－3,5]的長(zhǎng)度為8，∴所求事件的概率為eq\f(1,8).]9．一只蜜蜂在一個(gè)半徑為3的球O內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與球的表面的距離大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為________．eq\f(8,27)[由題意得蜜蜂“安全飛行”的空間是以O(shè)為球心，2為半徑的球，則由幾何概型的概率公式，得蜜蜂“安全飛行”的概率P＝eq\f(\f(4,3)×π×23,\f(4,3)×π×33)＝eq\f(8,27).]10．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB內(nèi)作射線AM，則使∠CAM＜30°的概率為________．eq\f(2,3)[如圖，在∠CAB內(nèi)作射線AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝eq\f(∠CAM0的度數(shù),∠CAB的度數(shù))＝eq\f(30°,45°)＝eq\f(2,3).]1．(2019·濟(jì)南模擬)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，三角形內(nèi)的空白部分由三個(gè)半徑均為1的扇形構(gòu)成，向△ABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為()A.eq\f(π,6) B．1－eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,4)B[SRt△ABC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S空白＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，所求概率P＝1－eq\f(\f(π,2),3)＝1－eq\f(π,6)，故選B.]2．在面積為S的平行四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則△PBD的面積大于eq\f(S,3)的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(4,9)A[如圖，平行四邊形ABCD的面積為S，則△BCD的面積為eq\f(S,2)，當(dāng)△PBD的面積大于eq\f(S,3)時(shí)，eq\f(DE,DC)＝eq\f(2,3)，則eq\f(EC,DC)＝eq\f(1,3).∴eq\f(S△EFC,S△DBC)＝eq\f(1,9).∴在面積為S的平行四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則△PBD的面積大于eq\f(S,3)的概率為eq\f(1,9)，故選A.]3．已知以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓以及函數(shù)y＝x3的圖像如圖所示，則向圓內(nèi)任意投擲一粒小米(視為質(zhì)點(diǎn))，該小米落入陰影部分的概率為________．eq\f(1,4)[由圖形的對(duì)稱性知，S陰影＝eq\f(1,4)S圓，從而所求概率P＝eq\f(S陰影,S圓)＝eq\f(1,4).]4．(2019·寧鄉(xiāng)模擬)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1,x－12，x＞1))，且a∈[0,1]，b∈(1,2]，則滿足f(a)≥f(b)的概率是________．eq\f(π,4)[依題意，所有試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閍∈[0,1]，b∈(1,2]的正方形區(qū)域，面積為1，滿足f(a)≥f(b)的區(qū)域即滿足a2＋(b－1)2≤1的區(qū)域?yàn)橐?0,1)為圓心，以1為半徑的圓與正方形的公共區(qū)域，即為eq\f(1,4)個(gè)圓，所以滿足f(a)≥f(b)的概率是：P＝eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq\f(π,4).]1．若a∈[1,6]，則函數(shù)y＝eq\f(x2＋a,x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)C[因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(x2＋a,x)＝x＋eq\f(a,x)在區(qū)間(0，eq\r(a))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，而1≤a≤6，所以1≤eq\r(a)≤eq\r(6).要使函數(shù)y＝eq\f(x2＋a,x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則eq\r(a)≤2，即1≤a≤4，所以P(1≤a≤4)＝eq\f(4－1,6－1)＝eq\f(3,5).故選C.]2．某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．(用數(shù)字作答)．eq\f(9,32)[設(shè)小張到校的時(shí)間為x，小王到校的時(shí)間為y，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|30≤x≤50,30≤y≤50}是一個(gè)矩形區(qū)域，對(duì)應(yīng)的面積S＝20×20＝400，則小張比小王至少早5分鐘到校為事件A＝{x|y－x≥5}，作出符合題意的圖像，則符合題意的區(qū)域?yàn)椤鰽