四川省瀘州市合江縣馬街中學(xué)校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題

馬街中學(xué)高2021級(jí)高三上期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則的虛部為()A.1 B. C.－1 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算出z，然后找出虛部．【詳解】，則虛部是，選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先進(jìn)行乘法運(yùn)算將其化成形式，其中實(shí)部為,虛部為，屬于簡單題.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合間的關(guān)系及交集的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：比如，即，對任意，則，∵，則，即，∴，且，B正確，D錯(cuò)誤；又∵，令，解得，即，∴，且不是的子集，A、C錯(cuò)誤；故選：B.3.已知，，則A.7 B. C.7 D.【答案】D【解析】【分析】依題意，可求得tanα的值，利用兩角和的正切公式即可求得tan（α）的值．【詳解】解：∵，sinα，∴cosα，∴tanα．∴tan（α）．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，求得tanα的值是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)公比為q，且q＞0，由題意可得關(guān)于q的式子，解得q，而所求的式子等于q2，計(jì)算可得．【詳解】設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，（q＞0）由題意可得2＝+，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，故q2＝9．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公比是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.已知平面向量的夾角為，且，則（）A.64 B.36 C.8 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的公式，直接計(jì)算出的值.【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊AD的中點(diǎn)，在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則滿足的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何概型計(jì)算公式求得相應(yīng)的面積的數(shù)值，然后求解概率值即可.【詳解】如圖所示，以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，可拆為一個(gè)扇形與兩個(gè)直角三角形，其中扇形的半徑為，圓心角為，兩個(gè)直角三角形都是直角邊為1的等腰直角三角形，其面積為，正方形面積，概率為，故選A.【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，據(jù)此求解幾何概型即可.7.設(shè)函數(shù)，則＝（）A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分別求出，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，，，則；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問題，分別代入求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.8.若函數(shù)為常數(shù)，）的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于點(diǎn)對稱 D.關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的對稱性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入選項(xiàng)，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝asinx+cosx（a為常數(shù)，x∈R）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函數(shù)g（x）＝sinx+acosx＝sinx+cosx＝sin（x+），當(dāng)x＝﹣時(shí)，g（x）＝，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x＝﹣對稱，故A錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，故B錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝≠0，故C錯(cuò)誤，當(dāng)x＝時(shí)，g（x）＝0，故D正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形以及正弦類函數(shù)的對稱性，是三角函數(shù)中綜合性比較強(qiáng)的題目，比較全面地考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．9.設(shè)，有下面兩個(gè)命題：，；：，，則下面命題中真命題是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式組畫出可行域得到兩個(gè)命題均為真，可得到答案.【詳解】根據(jù)不等式組，和命題pq表示的不等式畫出可行域，根據(jù)題意得到滿足不等式組的區(qū)域，均在，所表示的區(qū)域內(nèi)；故p和q命題均為真命題.故為真，為假，其它選項(xiàng)均為假.故答案為A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了用區(qū)域來表示二次不等式所表示的范圍，考查了命題真假的判斷，以及或且非命題的真假判斷；當(dāng)兩個(gè)命題均為真時(shí)，為真，當(dāng)其中至少一個(gè)是真命題時(shí)為真命題.10.已知?jiǎng)又本€與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且滿足，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先利用圓的方程和弦長判定為等邊三角形，設(shè)出符合條件的一條直線，再利用平面向量共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】動(dòng)直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且滿足，則為等邊三角形，所以不妨設(shè)動(dòng)直線為，根據(jù)題意可得，，∵是線段的中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故選：A．11.已知，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用三角形知識(shí)得到，轉(zhuǎn)化成，令，將轉(zhuǎn)化成，問題得解．【詳解】設(shè)，由拋物線方程可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線定義得：又,所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)（F點(diǎn)在PQ中間），等號(hào)成立，令，可化為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即：時(shí)，等號(hào)成立．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及換元法、基本不等式的應(yīng)用，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．12.函數(shù)在（一∞，十∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的范圍是A.{1} B.(－1，1) C.(0.1) D.{－1，1}【答案】A【解析】【分析】根據(jù)f′（x），結(jié)合結(jié)論，即進(jìn)行放縮求解，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】f′（x）=恒成立，即恒成立，由課本習(xí)題知：，即，只需要x，即(a1)(x1)恒成立，所以a＝1故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)的問題，屬于中檔題．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13若，則__________．【答案】80【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到所對應(yīng)的應(yīng)該是的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到所對應(yīng)的應(yīng)該是的系數(shù)，由展開式的公式可得到含有的展開項(xiàng)為.故答案為80.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可；(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).14.若函數(shù)的定義域和值域都是，則______．【答案】【解析】【分析】對的范圍分類，由函數(shù)的定義域和值域都是列方程即可求出，問題得解．【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，又函數(shù)定義域和值域都是，則：，此不等式組無解．當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，又函數(shù)的定義域和值域都是，則：，解得：，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)運(yùn)算知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.四邊形中，，，，，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β，在△ABC中，由余弦定理得AC2,由正弦定理得sinβ＝,在△BCD中，由余弦定理得BD2然后由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得最大值.【詳解】設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β，則在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10﹣6cosα．由正弦定理得，即sinβ＝,∵,，∴CD=在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC?CD?cos（900+β），即DB2＝9++2×3××＝2cosα+2sinα＝+4sin（）∴當(dāng)α＝時(shí)，對角線BD最大，最大值為，則的最大值為,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角形中正余弦定理的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16.已知數(shù)列共16項(xiàng)，且，記關(guān)于x的函數(shù)，，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為15，則滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)_____.【答案】1176【解析】【分析】對求導(dǎo)，由題意可知,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得或，分類討論,根據(jù)分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù).【詳解】由可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以所以即，，又，故七項(xiàng)中必有兩項(xiàng)取1,五項(xiàng)取，即種方法，又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，即，所以即，所以或，（或），故八項(xiàng)中必有兩項(xiàng)取,六項(xiàng)取1，（這八項(xiàng)中必有六項(xiàng)取,兩項(xiàng)取1），故滿足條件的數(shù)列共有或種方法，所以方法總數(shù)為個(gè)故答案為：1176【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵是利用，根據(jù)和（或），得到每一項(xiàng)取值的可能，然后通過計(jì)數(shù)原理進(jìn)行討論三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，由時(shí)，可得的遞推式，得其為等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）得，再用裂項(xiàng)相消法求解即可．【小問1詳解】解：∵，①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，②由①②得：∴∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列∴【小問2詳解】解：由（1）得∴18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面平行四邊形，，,，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.(1)求證：；(2)試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先證明，，從而平面，然后可得；（2）以為原點(diǎn)，直線，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，然后求出平面的法向量為、平面的法向量為及的坐標(biāo)，由已知得，即，化簡可得的值，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】(1)證明:如圖，在平行四邊形中，連接，因?yàn)?，，，由余弦定理得，，得，所以，所以，?又，所以，因?yàn)?，，所以，所以，又，所以平面，所?(2)解:因?yàn)閭?cè)面底面，，所以底面，所以直線，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，直線，，為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，,，，，所以，，.設(shè)，則，，所以，易得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，由得，令，得.因?yàn)橹本€與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，所以，即，所以，解得，所以.即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等.【點(diǎn)睛】本題第一問通過線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明線線垂直，第二問主要通過建立空間直角坐標(biāo)系并分別求出平面的法向量為、平面的法向量為及的坐標(biāo)，把直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等的問題轉(zhuǎn)化為的問題，綜合性強(qiáng)，對運(yùn)算能力要求高，屬中等難度題.19.劍門關(guān)華僑城2018首屆新春燈會(huì)在劍門關(guān)高鐵站廣場舉行.在高鐵站廣場上有一排成直線型的4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機(jī)地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是，出現(xiàn)綠燈的概率是，現(xiàn)將這4盞燈依次記為，，，.并令，設(shè)，當(dāng)這些裝飾燈閃爍一次時(shí).（Ⅰ）求的概率.（Ⅱ）求的概率分布列及的數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率計(jì)算公式能求出的概率；（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，4，而，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（Ⅰ）由題意得.（Ⅱ）的可能取值為0,1,2,3,4，而，∴的概率分布列為01234∴=.20.已知點(diǎn)為圓的圓心，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足.(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)的軌跡是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率為的直線與圓相切，與(Ⅰ)中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【解析】【詳解】試題分析：（1）中線段的垂直平分線，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦距為2，長軸為的橢圓，從而可得橢圓方程；（2）設(shè)直線，直線與圓相切，可得直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得：，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系及其即可解出的范圍.試題解析：（1）由題意知中線段的垂直平分線，所以所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦距為2，長軸為的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程式（2）設(shè)直線直線與圓相切聯(lián)立所以或?yàn)樗?21.已知函數(shù)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，）．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：對任意正整數(shù)，都有．【答案】（1）的極小值為，無極大值；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，可求出函數(shù)極值；（2）分類討論，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性可知不符合題意；當(dāng)時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，由解之得，即可得結(jié)果；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)恒成立，即亦即，令（）得，求和放縮得，即可證結(jié)論．小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，函數(shù)無極大值．【小問2詳解】由，則，若，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于負(fù)無窮大時(shí)，趨近于負(fù)無窮大；當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，故函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故不滿足條件；若，恒成立，滿足條件；若，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，由得，解得．綜上，滿足恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，即，所以，令（），得，則，所以，則，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，根據(jù)第二問結(jié)論得到，進(jìn)而得到為關(guān)鍵.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為