幾何證明選講復習教案

第一節(jié)相似三角形的判定及有關性質(zhì)考綱下載1．了解平行線截割定理．2．會證明并應用直角三角形射影定理．1．平行線的截割定理(1)平行線等分線段定理定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰．(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似．(2)判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．(3)判定定理3：三邊對應成比例，兩三角形相似．3．相似三角形的性質(zhì)定理(1)性質(zhì)定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．(2)推論：相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似．(2)判定定理2：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似．(3)判定定理3：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項．考點一平行線截割定理的應用[例1](2014·廣東高考節(jié)選)如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，求eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)的值．[聽前試做]由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是eq\f(△CDF的面積,△AEF的面積)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AE)))eq\s\up12(2)＝9.方法規(guī)律平行線截割定理的作用平行線截割定理一方面可以判定線段成比例；另一方面，當不能直接證明要證的比例成立時，常用這個定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE與梯形EFCD的面積比．解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位線，則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設為h，則S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.考點二相似三角形的判定與性質(zhì)[例2](2015·沈陽模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.[聽前試做](1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2)，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.方法規(guī)律與相似三角形的定理和性質(zhì)有關的問題的常見類型及解題策略(1)證明線段成比例(或線段之積相等)．利用已知條件證明三角形相似，即可得出結論．(2)證明角相等．先確定兩個角所在的三角形，然后證明三角形相似，進而得出角相等．(3)求線段長．可轉(zhuǎn)化成(1)，再利用已知條件求線段長．(2015·長春模擬)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC的延長線于點D.(1)求證：eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD)；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．證明：(1)因為∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC，所以△DPC∽△DBA，所以eq\f(PC,AB)＝eq\f(PD,BD).又AB＝AC，所以eq\f(PC,AC)＝eq\f(PD,BD).(2)因為∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，∠ABC＝∠ACB，所以∠ACD＝∠APC.又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以eq\f(AP,AC)＝eq\f(AC,AD)，所以AP·AD＝AC2＝9.考點三射影定理及其應用[例3](2015·太原模擬)如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點F，求證：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).[聽前試做]∵BE是∠ABC的角平分線，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).方法規(guī)律巧用射影定理解題已知條件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜邊上的高時，應首先考慮射影定理，注意射影定理與斜邊的對應法則，根據(jù)題目中的結論分析并選擇射影定理中的等式，并分清比例中項．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：AE·AB＝AF·AC.證明：∵AD⊥BC，∴△ADB為直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.———————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)個注意點——運用平行線分線段成比例定理的注意點(1)平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例，在運用平行線分線段成比例定理時要注意平行線的不同位置，以及在三角形與四邊形中的靈活應用．(2)證明線段成比例，若已知條件中沒有平行線，但有三角形相似的條件(如角相等，有相等的比例式等)，常考慮相似三角形的性質(zhì)構造比例或利用中間比求解．eq\a\vs4\al(1)個技巧——等積式證明方法證明等積式，化成比例式，用分子、分母四個字母構造三角形，或等號同側(cè)四個字母構造三角形，證此兩三角形相似．不能構成三角形或三角形不相似需轉(zhuǎn)化．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，DE∥AC，EF⊥BC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6，求FC的長．解：由DE∥AC，eq\f(BE,EA)＝eq\f(3,2)，BD＝6，知DC＝4.又EF∥AD，故eq\f(6－FD,FD)＝eq\f(3,2)，解得FD＝eq\f(12,5)，故FC＝FD＋DC＝eq\f(32,5).2.(2015·南陽模擬)如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝eq\f(1,3)AC，BD＝eq\f(1,3)AB，點F在BC上，且CF＝eq\f(1,3)BC.求證：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.證明：設AB＝AC＝3a，則AE＝BD＝a，CF＝eq\r(2)a.(1)eq\f(CE,CB)＝eq\f(2a,3\r(2)a)＝eq\f(\r(2),3)，eq\f(CF,CA)＝eq\f(\r(2)a,3a)＝eq\f(\r(2),3).又∠C為公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝eq\r(2)a，故eq\f(AE,EF)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(AD,FB)＝eq\f(2a,2\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AE,EF)＝eq\f(AD,FB)，∵∠DAE＝∠BFE＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.3．(2015·哈爾濱模擬)如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于F.求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C.∴△ABD∽△CAD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,AD).又∵E是AC的中點，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C，∴∠1＝∠4.又∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴eq\f(BD,AD)＝eq\f(DF,AF)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).4.在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊的垂直平分線EM和AB以及CA的延長線分別交于D、E，連接AM，求證：AM2＝DM·EM.證明：∵∠BAC＝90°，M是BC邊的中點，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C，又∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°，又∵∠BAM＋∠MAC＝90°，∴∠E＝∠BAM.又∵∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA.∴eq\f(AM,DM)＝eq\f(EM,AM)，∴AM2＝DM·EM.5.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點，DE＝eq\f(1,2)CD，BE與AD交于點F.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAF＝∠BCD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,CE)))eq\s\up12(2)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2).又DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,CE)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴平行四邊形ABCD的面積S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.第二節(jié)直線與圓的位置關系考綱下載1．會證明并應用圓周角定理，圓的切線的判定定理與性質(zhì)定理．2．會證明并應用相交弦定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理．1．圓周角(1)定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角一半．(2)推論1：①同弧或等弧所對的圓周角相等．②同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．(3)推論2：①半圓(或直徑)所對的圓周角是直角．②90°的圓周角所對的弦是直徑．2．圓的切線(1)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．(3)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．3．弦切角定理及其推論(1)定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半．(2)推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．4．圓中的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，每條弦被交點分成的兩條線段長的積相等．(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.eq\a\vs4\al(?)eq\a\vs4\al(對應學生用書P213)考點一圓周角及弦切角的性質(zhì)[例1](1)(2014·湖北高考節(jié)選)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點．若QC＝1，CD＝3，求PB的長．(2)(2014·重慶高考節(jié)選)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC分別交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的長．[聽前試做](1)由切割線定理，得QA2＝QC·QD＝4?QA＝2，則PB＝PA＝2QA＝4.(2)如圖所示，由切割線定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(負值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，則eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.方法規(guī)律圓周角、弦切角定理的作用圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關系，從而證明三角形全等或相似，也可用于求線段長或角的大小及與圓的切線有關的問題．如圖，已知圓上的弧eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．求證：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.證明：(1)因為eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，根據(jù)弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECA等于eq\o(AC,\s\up8(︵))上的圓周角，∠ACB等于eq\o(AB,\s\up8(︵))上的圓周角，所以∠ECB等于eq\o(CAB,\s\up8(︵))上的圓周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.考點二圓內(nèi)接四邊形的判定及性質(zhì)[例2](2015·臨汾模擬)如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點．(1)證明：A，P，O，M四點共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大?。甗聽前試做](1)如圖所示，連接OP，OM.因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP.因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由于圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓．(2)由(1)得A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.方法規(guī)律證明四點共圓的常用方法(1)利用圓內(nèi)接四邊形的判定定理，證明四點組成的四邊形的對角互補；(2)證明它的一個外角等于它的內(nèi)對角；(3)證明四點到同一點的距離相等．當證明四點共圓以后，圓的各種性質(zhì)都可以得到應用．已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根．(1)證明：C，B，D，E四點共圓；(2)若∠BAC＝90°，且m＝4，n＝6，求點C，B，D，E所在圓的半徑．解：(1)證明：如圖所示，連接DE，根據(jù)題意，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mn＝AE·AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)，又∠DAE＝∠CAB，從而△ADE∽△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四點共圓．(2)當m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于點H，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠BAC＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)×(12－2)＝5，DH＝eq\r(HF2＋DF2)＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)，故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5eq\r(2).考點三與圓有關的比例線段問題[例3](2014·湖南高考節(jié)選)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝eq\r(3)，BC＝2eq\r(2)，求⊙O的半徑．[聽前試做]設AO，BC的交點為D，由已知可得D為BC的中點，則在直角三角形ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝1，設圓的半徑為r，延長AO交圓O于點E，由圓的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(eq\r(2))2＝2r－1，解得r＝eq\f(3,2).方法規(guī)律與圓有關的比例線段問題的常見類型及解題策略(1)證明比例線段(或線段乘積)．利用相交弦定理或切割線定理證明．(2)求線段的長度．可依題已知條件、相交弦定理或切割線定理找到比例線段，進而求線段長度．(3)證明三角形相似．可依題設及相交弦定理、切割線定理找到三角形相似的條件即可證明．(2013·天津模擬)如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，求圓O的半徑R.解：由切割線定理可得：PA2＝PB·PC，即PC＝eq\f(PA2,PB)＝eq\f(4,1)＝4，所以BC＝PC－PB＝3，因為AC是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°，所以AB2＝BC·PB＝3.AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，即AC＝2R＝2eq\r(3)，所以R＝eq\r(3).—————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————eq\a\vs4\al(2)個結論——直線與圓位置關系的兩個相關結論(1)切點與圓心的連線與圓的切線垂直；過切點且與圓的切線垂直的直線過圓心；(2)相離兩圓的內(nèi)公切線夾在外公切線間的線段長等于兩圓外公切線的長．eq\a\vs4\al(2)種思路——解決與圓有關的成比例線段問題的兩種思路(1)直接應用相交弦、切割線定理及其推論；(2)當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”．在證明中有時還要借助中間比來代換．1.(2013·江蘇高考)如圖所示，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連接OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.2.(2014·遼寧高考)如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.證明：(1)因為PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直徑．(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因為∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角．于是ED為直徑．由(1)得