2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知常數(shù)a6R,直線k：x+ay—2=0,l2：ax+y+1=0,則a=1是11〃/2的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.己知常數(shù)如果函數(shù)丫=85（2%+缶的圖像關(guān)于點(diǎn)弓,0）中心對(duì)稱，那么|初的最

小值為（）

A-R-r-n-

A.3D-4。6U'2

3.若直線ax+by=1與圓C：M+y2=i相交，則點(diǎn)p（a,b）與圓C的位置關(guān)系是（）

A.在圓內(nèi)B.在圓上C.在圓外D.以上都有可能

4.在平面直角坐標(biāo)系中，△48C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為/（1,一2）,8（—7,0）,點(diǎn)C在直線y=5上

運(yùn)動(dòng)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，G為的重心，則布?耐、OGOB，而.元中正數(shù)的個(gè)數(shù)為幾，

貝Un的值的集合為（）

A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.[1,2,3}

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.半徑為2,弧長(zhǎng)為2的扇形的圓心角為弧度.

6.函數(shù)y=tanx的最小正周期是.

7.向量3=（3,4）的單位向量睨為.

8.若角a的終邊過點(diǎn)P（4,-3）,則sin有+a）的值為.

9.如果復(fù)數(shù)z=1+2i（其中i為虛數(shù)單位），則z-z=.

10.己知直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)PM-1,1）、P2（2,3）,若P滿足可戶=2兩，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

11.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為Q,b,c,若Q=4,b=6,c=9,則角C=.

12.直線，:y=2x-1繞著點(diǎn)4（1,1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)壓與直線。重合，則，i的斜截式方程是.

13.已知函數(shù)y=1-sinx-cosx的最大值為.

14.直角三角形ABC中，AB=3,4c=4,BC=5,點(diǎn)M是三角形A8C外接圓上任意一點(diǎn),

則荏?福的最大值為.

15.已知常數(shù)me/?,若關(guān)于x的方程x+/七正=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范

圍是.

16.已知常數(shù)teR,集合S={z\\z-1|<3,zEC},T={z\z=竽1+t,weS},若SUS=S,

則t的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知直線，：x—2y+1=0.

(1)若直線小2x+y+l=0,求直線I與直線I1的夾角；

(2)若直線％與直線/的距離等于1，求直線％的一般式方程.

18.(本小題14.0分)

設(shè)常數(shù)p6R,已知關(guān)于x的方程/+px+2=0.

(1)若p=2,求該方程的復(fù)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a、0,且|a-0|=1,求p的值.

19.(本小題14.0分)

記/"(X)=2sin2x+4sin2x.

(1)求關(guān)于x的方程/"(%)=0的解集；

(2)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)減區(qū)間.

20.(本小題18.0分)

如圖，設(shè)力BCDEF是半徑為1的圓。的內(nèi)接正六邊形，M是圓。上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求|南+能—宿|的最大值；

(2)求證：拓相+祈52為定值；

(3)對(duì)于平面中的點(diǎn)P,存在實(shí)數(shù)x與y,使得而=x而+y/，若點(diǎn)P是正六邊形4BCDEF內(nèi)

的動(dòng)點(diǎn)(包含邊界)，求％-y的最小值.

21.(本小題20.0分)

設(shè)f(z)是一個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)z的表達(dá)式，若+yi)=/+y/(其中》,y,x19y1€R,i為虛數(shù)

單位)，就稱/將點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Qdyi).例如：/(z)=:將點(diǎn)(0,1)“/對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)

(0,-1).

⑴若/(z)=z+l(zeC),點(diǎn)Pi(l,l)“f對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Qi，點(diǎn)P2“對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)<?2(1，1)，求點(diǎn)Qi、

P?的坐標(biāo).

(2)設(shè)常數(shù)k,teR,若直線，：y=kx+t,/(z)=z2(zeC)，是否存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(匕t)，

使得直線，上的任意一點(diǎn)P(x,y)“/對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q(xi，yj后，點(diǎn)Q仍在直線I上？若存在，試求

出所有的有序?qū)崝?shù)對(duì)(k,t);若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)設(shè)常數(shù)a,b€R,集合。{z|z6C且Rez>0}和4={w|weC且|w|<1},若/(z)=察滿

足：①對(duì)于集合。中的任意一個(gè)元素z,都有f(z)ea；②對(duì)于集合4中的任意一個(gè)元素w,

都存在集合。中的元素z使得w=/"(z).請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b),并論證此時(shí)

的f(z)滿足條件.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：a=1,則直線"：%+y—2=0,12：%+y4-1=0,

這兩條直線的斜率都為-1,且不重合，則匕〃。，

反之,若I"/%，則a=+1,

當(dāng)a=-1時(shí)直線4：x—y-2=0,-%+y+1=0,

此時(shí)兩條直線的斜率都為-1,且不重合，則，“〃2，

則a=1是的充分不必要條件.

故選：A.

兩條不重合的直線，若斜率相等，則平行，由此可判斷.

本題考查兩條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：?.?函數(shù)y=cos(2%+0)的圖像關(guān)于點(diǎn)得,0)中心對(duì)稱，

2xy+(p=^+kn9kEZ,

即9=/CTT—號(hào)，fc6Z,

o

當(dāng)k=1,9=7T—￥=￡

oo

即Wl的最小值為看

故選：c.

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，求出w的表達(dá)式，然后進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

先求圓心到直線ax+by=1的距離，通過關(guān)系判斷點(diǎn)P(a,b)與圓的位置關(guān)系.

【解答】

解：??,直線ax+by=1與圓C：/+y2=i相交，

.??圓心到直線距離d=T=<丁=1,得+人2>1,

Ja2+6

則點(diǎn)P(a,b)到圓心距離為Va?+爐>1=r-

???點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系為：P在圓外.

故選：C.

4.【答案】A

【解析】解：設(shè)C(m,5),G(x,y),

1-7+mr,m

X=-z—=-2+—

_l.3,即G(—2+日,1),

{7n+

令赤.瓦?=(-2+9-2=-4+3>0,則巾>12：

令否-08=-7(-2+/)+0=14-與>0,則m<6；

令而-OC=m(-2+y)+5=1m2-2m+5>0恒成立，

所以當(dāng)m<6或m>12時(shí)，n=2；當(dāng)6SmW12時(shí)，n—1,

綜上，n的值的集合為{1,2}.

故選：A.

利用重心坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并解不等式，分

類討論，即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重心坐標(biāo)公式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

5.【答案】1

【解析】解：因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?,弧長(zhǎng)為2,

所以扇形的圓心角a=|=1弧度.

故答案為：1.

利用扇形的弧長(zhǎng)公式即可求解.

本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】兀

【解析】解：函數(shù)y=tanx的最小正周期是兀，

故答案為：n.

由題意，利用正切函數(shù)的周期性，得出結(jié)論.

本題主要考查正切函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】(|2)

【解析】解：?.,方=(3,4)，

???向=5，

???%=號(hào)》

故答案為：(1,1).

可求出|11=5,從而得出瓦=塔，代入坐標(biāo)即可.

本題考查了單位向量的定義及求法，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算,

考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】七

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)

鍵.

【解答】

解：sin(當(dāng)+a)=—sin(^+a)=—cosa,

???角a的終邊過點(diǎn)P(4,-3),

44

???cosa==-

J42+(_3)25，

則sin怎+a)=—cosa=-"

故答案為：一/

9.【答案】5

【解析】解：?.?復(fù)數(shù)z=1+2i(其中i為虛數(shù)單位)，

二z?2=(1+2i)(l-2i)=I2+22=5.

故答案為:5.

利用共規(guī)復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】(1,勺

【解析】解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),

???Pi(—1,1)、P2(2,3),

???第=(x+l,y—1)，恒=(2-%3-y)，

P^P=2兩，

(x+l=2(2—x)

解得

ly-l=2(3-y)

???P(l，).

故答案為：

設(shè)點(diǎn)P(x,y),求出不，河的坐標(biāo)，再結(jié)合第=2A及，求出x,y的值即可.

本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】n-arccos—

48

【解析】解：△ABC^,a=4,b=6,c=9,

由余弦定理得cose="6&=_空，

2x4x648

有CG(0,兀)，

7Q

所以C=n—arccos—.

故答案為：71-arccos

48

利用余弦定理求出cosC,再根據(jù)反余弦函數(shù)求出C的值.

本題考查了余弦定理和反余弦函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】y=-3x+4

【解析】解：直線I：y=2x-1繞著點(diǎn)4(1,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)今與

直線k重合，

設(shè)直線k的斜率為卜，則tanj=(^=l,解得化=一3,

所以直線Z1的點(diǎn)斜式方程為：y-l=-3(x-l),

化為斜截式方程是y=—3x+4.

故答案為：y=—3%4-4.

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直線，到直線。的角正切公

式tan。=磊點(diǎn)求出直線。的斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程，化為斜截式方程.

本題考查了直線的方程與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】1+

【解析】解：y=1—sinx-cosx=1—(sinx+cosx)=1—V^sinfx+；),

yG[l-<^,l+<7],

所以函數(shù)的最大值為：1+。.

故答案為：i+

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，利用輔助角公式，即可求出答案.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】12

［解析］解:如圖建立平面直角坐標(biāo)系,4(0,0),S(3,0),C(0.4),

三角形4BC外接圓Q-1)2+(y-2)2=備

設(shè)M(|+?cosa,2+|sina)>貝UAM=(|+1cosa,2+

|sina),AB=(3,0)，

AB-AM^^+^-cosa<12,

故答案為：12.

建立坐標(biāo)系，設(shè)M(|+|cosa,2+|s譏a),則AM=(|+|cosa,2+|sina),AB=(3,0).AB-AM=

￡+cosa<12

本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題。

15.【答案】［一2,2)U{2V_2}

【解析】解：由4一/20,可得一2WXW2,

由題意可得>/4—%2=—X+m>

即直線y=-x+m與曲線y=74一%2只有一個(gè)交點(diǎn),

又因?yàn)榍€y=54-％2表示以原點(diǎn)為圓心,2為半徑且位于x軸上及上方的半圓,

如圖所示：

當(dāng)直線y=-x+m過(一2,0)時(shí)，m=-2,此時(shí)直線y=-x+m與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線過點(diǎn)(2,0)時(shí)，m-2,此時(shí)直線y=-x+zn與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合圖象，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，rn=2，N，

綜上所述，m的取值范圍是［-2,2)U{24攵}.

故答案為：［-2,2)U{2，至}.

將問題轉(zhuǎn)化為直線y=-%+m與曲線y=，七百只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象,結(jié)合圖象求解即可.

本題考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

若SUT=S,則兩圓內(nèi)含或內(nèi)切，

y](t-I)2+1W2>

???(t-I)2<3

|t-1|<解得1一<3wtw1+G，

即t的取值范圍是[1一q,1+一司.

故答案為：[1—1+，司.

從復(fù)數(shù)模的幾何意義進(jìn)行分析，將sur=s的集合關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓的內(nèi)切或內(nèi)含問題，利用半徑關(guān)

系即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓與圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)橹本€心x-2y+l=0,斜率為k=g,

直線匕：2x+y+1=0,k1=—2,

計(jì)算kki=—1,所以

即直線I與直線，i的夾角為余

(2)若直線%與直線，的距離等于1，則，〃[2,

設(shè)直線的一般式方程為％~2y+m=0,則斤不?=1

解得TH=1±A/-5,

所以直線%的一般式方程為％-2y+1±4虧=0.

【解析】(1)求出直線I的斜率，利用斜率判斷兩直線垂直，從而得出兩直線的夾角;

(2)根據(jù)題意判斷兩直線平行，利用兩平行直線間的距離公式求解即可.

本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)若p=2,

則/+2%+2=0,即(％+1)2+1=0,解得％=-1±i；

(2)方程%2+p%+2=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為a、0,

則Q+/?=-p,a,B=2,

v|a-/?|=1,

?,?4a2+夕2_2aB—J(Q+0)2_4a0=yjp2—8=1，解得p=±3.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(l)/(x)=2sin2x+4sin2x,

令/(x)=0，即2sin2x+4sin2x=0,

EP4sinx(cosx+sinx)=0,

Wfl4y/~2sinx-sin(x+^)=0,

解得％=/czr或％=/CTT—pkEZ,

故關(guān)于％的方程f(%)=0的解集是{%|%=kn?或％=Mr—ak6Z}.

(2)1/(%)=2sin2x+4sin2x=4sinx^cosx+sinx),

/'(%)=4[cosx(cosx+sinx)+sinx(—sinx+cosx)

=4(cos2%—sin2%+2sinxcosx)

=4(cos2x4-sin2x)

=4V-2sin(2x+-),

令f(x)<0,即2/CTT+TTV2久+，V2kn+2zr,

解得：/C7T4--<X</C7T+—,fcGZ,

oo

故/⑶的遞減區(qū)間是(/OT+：,/OT+S(keZ).

【解析】(1)解方程，求出方程的解集即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出

函數(shù)的遞減區(qū)間即可.

本題考查了三角函數(shù)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，方程的解，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

20.【答案】解：(1)因?yàn)镸,。均在圓上運(yùn)動(dòng)，

貝1J|南+旅一祠|

=|/iC-AM|=|MC|<|FC|=2.(圓上兩點(diǎn)間直徑最長(zhǎng));

(2)證明：因?yàn)?、。為圓直徑的兩端，M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，

所以M42+M￡)2=AD2=4,

故西?2+砸2

=\MA\2+|MD|2

=MA2+MD2=4.

即加2+而2為定值公

(3)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則以?,一3,F(?W)，

則由赤=%笳+丫赤=x(?,一方+y(?W)

=(?(%+y),"(y—x))，即P(?(x+y)W(y-x))，

要使x-y最小，只需使y-x最大，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大，

由點(diǎn)P在正六邊形上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，

1

則5(y-x)max=1，二y-xW2,從而x-yN-2,

即x-y的最小值為-2.

【解析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算及圓上兩點(diǎn)直徑最短可求得;

(2)由4、。在直徑兩端點(diǎn)上，M在圓上運(yùn)動(dòng)，可知所證式等于直徑的平方，為定值;

(3)建立坐標(biāo)系，將x-y的幾何意義找出來，從而求得最小值.

本題考查平面向量的基本運(yùn)算，坐標(biāo)法解決平面向量相關(guān)問題，屬中檔題.

21.【答案】解：(1)由知z=l+P則，(z)=z+l=2+i,故Qi(2,l),

設(shè)「2(第，)，則f(z)=z+1=(%+1)+yh

由Q2(l,l)知x+l=l,y=1,則％=0,y=1,即

(2)直線，上的任意一點(diǎn)P(%,y)“對(duì)應(yīng)”到點(diǎn)Q(%i，yi),

所以z=x+yi,/(z)=z2=(x2—y2)4-2xyi,且、=k%+3

所以％2—y2=%],2xy=y1,即Q(%2-y2,2%y),

由題意，點(diǎn)QQi，%)仍在直線2上，

則2xy=k(x2-y2)+3又y=kx+t,

貝Ij2%(k%+t)=k[x2—(fcx+t)2]+t,

展開整理得(I+卜)%2+Qi+2k2t)x+kt2—t=0,

表3+々=o

則2t+2k2t=0,解得k=t=0,

kt2—t=0

所以，所求的有序?qū)崝?shù)對(duì)(/