高考數(shù)學大一輪復習 核心素養(yǎng)提升練十三 3.1 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學試題

核心素養(yǎng)提升練十三變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)函數(shù)f(x)可導,則等于 ()A.f′(1) B.3f′(1)C.f′(1) D.f′(3)【解析】選A.==f′(1).2.曲線y=sinx+ex在點(0,1)處的切線方程是 ()A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0【解析】選C.因為y=sinx+ex,所以y′=ex+cosx,所以在x=0處的切線斜率k=f′(0)=1+1=2,所以y=sinx+ex在點(0,1)處的切線方程為:y-1=2x,即2x-y+1=0,3.函數(shù)f(x)=x-g(x)的圖象在點x=2處的切線方程是y=-x-1,則g(2)+g′(2)=()A.7 B.4 C.0 D.-4【解析】選A.因為f(x)=x-g(x),所以f′(x)=1-g′(x),又由題意知f(2)=-3,f′(2)=-1,所以g(2)+g′(2)=2-f(2)+1-f′(2)=7.4.直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切時,a= ()A.-1 B.1 C.-2 D.2【解析】選D.設(shè)切點P(x0,y0),則y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因為切線方程y=x+1的斜率為1,即y′==1,所以x0+a=1,所以y0=0,x0=-1,所以a=2.5.下列曲線中,在x=1處切線的傾斜角為的是 ()A.y=x2- B.y=xlnxC.y=sin(πx) D.y=x3-2x2【解析】選D.在x=1處切線的傾斜角為,即切線的斜率為tan=-1.對于A,y=x2-的導數(shù)為y′=2x+,可得在x=1處切線的斜率為5;對于B,y=xlnx的導數(shù)為y′=1+lnx,可得在x=1處切線的斜率為1;對于C,y=sin(πx)的導數(shù)為y′=πcos(πx),可得在x=1處切線的斜率為πcosπ=-π;對于D,y=x3-2x2的導數(shù)為y′=3x2-4x,可得在x=1處切線的斜率為3-4=-1.6.若一質(zhì)點按規(guī)律s=8+t2運動,則在一小段時間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是 ()A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1【解析】選B.====4.1.7.水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,按順序與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系圖象相對應(yīng)的一項是 ()A.①②③④ B.②①③④C.②①④③ D.②④①③【解析】選C.以第二個容器為例,由于容器上細下粗,所以水以恒速注入時,開始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來越快,反映在圖象上,①符合上述變化情況.而第三個容器在開始時高度增加快,后來時高度增加慢,圖象④適合上述變化情況.二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖,y=f(x)是可導函數(shù),直線l是曲線y=f(x)在x=4處的切線,令g(x)=,則g′(4)=________.

【解析】由題圖知,切線過(0,3),(4,5),所以直線l的斜率為=,由于曲線在切點處的導數(shù)值為曲線的切線的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5.由g(x)=,得g′(x)=故g′(4)==-.答案:-9.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-x2,若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù)p,q,且p≠q,不等式>1恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.

【解析】的幾何意義表示為點(p+1,f(p+1))與點(q+1,f(q+1))兩點間的斜率,p,q∈(0,1),所以p+1,q+1∈(1,2).所以>1恒成立表示函數(shù)f(x)的曲線在區(qū)間(1,2)內(nèi)的斜率恒大于1,即函數(shù)f(x)的導數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)恒大于1.所以f′(x)=-2x>1在區(qū)間(1,2)內(nèi)恒成立,所以a>(1+2x)(x+1)=2x2+3x+1恒成立,當x∈(1,2)時,(2x2+3x+1)max=15,所以a≥15.答案:[15,+∞)10.已知曲線y=(1-x)xn(n∈N*)在x=處的切線為l,直線l在y軸上的截距為bn,則數(shù)列{bn}的通項公式為________.

【解析】因為曲線y=(1-x)xn(n∈N*),所以y′=-xn+n(1-x)xn-1=xn-1(n-nx-x),所以y′==(n-1),因為當x=時,y=,所以切線l的方程為y-=(n-1),當x=0時,直線l在y軸上的截距為bn=(2-n).答案:bn=(2-n)(20分鐘40分)1.(5分)已知k,b∈R,設(shè)直線l:y=kx+b是曲線y=ex+x的一條切線,則 ()A.k<1且b≤1 B.k<1且b≥1C.k>1且b≤1 D.k>1且b≥1【解析】選C.y=ex+x的導數(shù)為:y′=ex+1>1,可知k>1;直線l:y=kx+b在y軸上的截距為b,曲線y=ex+x,x=0時,ymin=1,可知b≤1.2.(5分)曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是 ()A. B.2 C.3 D.0【解析】選A.y=ln(2x-1)的導函數(shù)為y′=,設(shè)與曲線y=ln(2x-1)相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為:2x-y+m=0,設(shè)切點為(x0,y0),所以=2,解得x0=1,所以y0=ln(2x0-1)=ln1=0,所以切點為(1,0),所以切點(1,0)到直線2x-y+3=0的距離為=.即曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是.3.(5分)已知函數(shù)f(x)=x-存在單調(diào)遞減區(qū)間,且y=f(x)的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切,符合情況的切線l ()A.有3條 B.有2條C.有1條 D.不存在【解析】選D.函數(shù)f(x)=x-的導數(shù)為f′(x)=1-,依題意可知,f′(x)<0在(-∞,+∞)上有解,①a<0時,f′(x)>0不符合題意;②a>0時,f′(x)<0,即a<,lna<,x>alna符合題意,則a>0.易知,曲線y=f(x)在x=0處的切線l的方程為y=x-1.假設(shè)切線l與曲線y=ex相切,設(shè)切點為(x0,y0),即有=1-=x0-1,消去a得=x0-1,設(shè)h(x)=exx-ex-1,則h′(x)=xex,令h′(x)>0,則x>0,所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當x→-∞時,h(x)→-1,當x→+∞時,h(x)→+∞,所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,則>1,而a>0時,1-<1,與>1矛盾,所以符合情況的切線不存在.4.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.(1)求f(x)的解析式. (2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,依題意?又f′(0)=-3,所以c=-3,所以a=1,所以f(x)=x3-3x.(2)設(shè)切點為(x0,-3x0),因為f′(x)=3x2-3,所以f′(x0)=3-3,所以切線方程為y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),又切線過點A(2,m),所以m-(-3x0)=(3-3)(2-x0),所以m=-2+6-6,令g(x)=-2x3+6x2-6,則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2),由g′(x)=0得x=0或x=2,g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2,畫出草圖知,當-6<m<2時,g(x)=-2x3+6x2-6有三個解,所以m的取值范圍是(-6,2).5.(13分)已知曲線C:y2=2x-4.(1)求曲線C在點A(3,)處的切線方程.(2)過原點O作直線l與曲線C交于A,B兩個不同的點,求線段AB的中點M的軌跡方程.【解析】(1)y>0時,y=,所以y′=,所以x=3時,y′=