高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練四十 9.1 空間幾何體 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練四十空間幾何體(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.在一個幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 ()【解析】選D.由幾何體的正視圖和俯視圖可知,該幾何體應(yīng)為一個半圓錐和一個有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體,故其側(cè)視圖應(yīng)為D.2.水平放置的△ABC的直觀圖如圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一個 ()A.等邊三角形B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形【解析】選A.AO=2A′O′=2×=,BC=B′O′+C′O′=1+1=2,在Rt△AOB中,AB==2,同理AC=2,所以△ABC是等邊三角形.3.若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的直觀圖可以是 ()【解析】選D.因?yàn)锳,B的正視圖不符合要求,C的俯視圖顯然不符合要求,只有D選項(xiàng)符合題意.4.某幾何體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格的邊長為1個單位),其中俯視圖為扇形,則該幾何體的體積為 ()A. B. C. D.【解析】選B.由三視圖知幾何體是圓錐的一部分,由俯視圖可得:底面扇形的圓心角為120°,又由側(cè)視圖知幾何體的高為3,底面圓的半徑為2,所以幾何體的體積V=××π×22×3=.5.(2019·泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,則其表面中直角三角形的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.由三視圖可得該三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形;一個底邊長為2、底邊上的高為1的側(cè)面垂直于底面,該側(cè)面是直角邊長為的直角三角形;利用面面垂直的性質(zhì)定理可得右邊一個側(cè)面是邊長分別為2,,的直角三角形;則左邊一個側(cè)面是邊長分別為,,2的三角形,也是直角三角形.所以該三棱錐表面的4個面都是直角三角形.6.有一個棱長為1的正方體,按任意方向正投影,其投影面積的最大值是()A.1 B. C. D.【解析】選D.因?yàn)橛幸粋€棱長為1的正方體,按對角面方向正投影,其投影面積最大,所以投影面積的最大值為.7.已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ()A.36π B.64πC.144π D.256π【解析】選C.如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時,三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,則球O的表面積為S=4πR2=144π.二、填空題(每小題5分,共15分)8.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面為直角三角形,DACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點(diǎn),則CP+PA1的最小值是________.

【解析】連接A1B,沿BC1將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內(nèi),連A1C,則A1C的長度就是所求的最小值.通過計算可得DA1C1B=90°,又DBC1C=45°,所以DA1C1C=135°,由余弦定理可求得A1C=5.答案:59.(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°,若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為________.

【解析】設(shè)底面圓的半徑為r,底面圓心為O,因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為30°,所以SA=,SO=r,又直角△SAB的面積為8,所以=8,解得r=2.所以V=πr2·SO=π(2)2··2=8π.答案:8π10.水平桌面上放置著一個容積為V的密閉長方體玻璃容器ABCD-A1B1C1D1,其中裝有V的水,給出下列操作與結(jié)論:①把容器一端慢慢提起,使容器的一條棱BC保持在桌面上,這個過程中,水的部分始終呈棱柱狀;②在①中的運(yùn)動過程中,水面始終是矩形;③把容器提離桌面,隨意轉(zhuǎn)動,水面始終過長方體內(nèi)一個定點(diǎn);④在③中的轉(zhuǎn)動中水與容器的接觸面積始終不變.以上說法正確的是__________.(把所有正確命題的序號都填上)

【解析】①從棱柱的特征及平面ABFE平行平面DCGH可知水的部分始終呈棱柱狀,可判斷①正確;②在①中的運(yùn)動過程中,水面四邊形EFGH的對邊始終保持平行,且EF⊥FG,故水面始終是矩形,②是正確的;③由于始終裝有V的水,而平分長方體體積的平面必定經(jīng)過長方體的中心,即水面始終過長方體內(nèi)一個定點(diǎn),所以結(jié)論③正確;④在③中的轉(zhuǎn)動中水與容器接觸時,由于水的體積是定值,所以水與容器的接觸面的面積是正方體表面積的一半,故始終保持不變,所以④正確.答案:①②③④(20分鐘40分)1.(5分)在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如圖),若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是 ()A. B. C. D.【解析】選D.依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐,所以O(shè)A=,OB=1,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為π·()2·(OC-OB)=.2.(5分)“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上,好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋),其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時,它的俯視圖可能是 ()【解析】選B.外輪廓為正方形,邊界交線在俯視圖中為正方形的對角線.3.(5分)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計算其體積V的近似公式V≈L2h,它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3,那么近似公式V≈L2h,相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()A. B. C. D.【解析】選B.V=πr2h=L2h,若V≈L2h,則=,所以π=.4.(12分)如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖.(1)試判斷該幾何體是什么幾何體.(2)畫出其側(cè)視圖,并求該平面圖形(側(cè)視圖)的面積.【解析】(1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個正六棱錐.(2)該幾何體的側(cè)視圖如圖:其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的長是俯視圖正六邊形對邊間的距離,即BC=a,AD是正六棱錐的高,則AD=a,所以該平面圖形(側(cè)視圖)的面積為S=×a×a=a2.5.(13分)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,AD=2BC.過A1,C,D三點(diǎn)的平面記為α,BB1與α的交點(diǎn)為Q. (1)證明:Q為BB1的中點(diǎn).(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比.【解析】(1)延長A1Q,DC交于P,則P∈平面A1ABQ,又P∈平面ABCD,平面A1ABQ∩平面ABCD=AB,所以P∈AB,因?yàn)锽Q∥AA1,AD∥BC,所以====,即點(diǎn)Q為BB1的中點(diǎn).(2)如圖所示,連接QA,QD.設(shè)AA1=h,梯形ABCD的高為d,四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別為V上和V下,BC=a,則AD=2a.三棱錐體積=××2a·h·d=ahd,四棱錐體積VQ-ABCD=××h=ahd,所以V下=+VQ-ABCD=ahd.又四棱柱體積=ahd,所以V上=-V下=ahd-ahd=ahd,故=.【變式備選】1.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為 ()A.20π B.24π C.28π D.32π【解析】選C.由題意可知,圓柱的側(cè)面積為S1=2π×2×4=16π,圓錐的側(cè)面積為S2=×2π×2×4=8π,圓柱的底面面積為S3=π×22=4π,故該幾何體的表面積為S=S1+S2+S3=28π.2.一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為V1,V2,V3,V4,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個簡單幾何體均為多面體,則有 ()A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4【解析】選C.本題考查三視圖以及幾何體的體積計算問題,意在考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力.由題意可知,由于上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個簡單幾何體均為多面體.根據(jù)三視圖可知,最上面一個簡單幾何體是上底面圓的半徑為2、下底面圓的半徑為1、高為1的圓臺,其體積V1=π×(12+22+1×2)×1=π;從上到下的第二個簡單幾何體是一個底面圓半徑為1、高為2的圓柱,其體積V2=π×12×2=2π;從上到下的第三個簡單幾何體是棱長為2的正方體,其體積V3=2