2024屆北京市東城區(qū)第五十中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)第五十中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)，，在，，…，中，正數(shù)的個數(shù)是（）A．15 B．16 C．18 D．202．已知A(2,4)與B(3,3)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝03．已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=1.5，=5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（）A． B．C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數(shù)等于198.其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．146．已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．27．在中，，，則的形狀是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定8．若變量，且滿足約束條件，則的最大值為（）A．15 B．12 C．3 D．9．若直線與平行，則實數(shù)的值為（）A．或 B． C． D．10．若，,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．12．已知一扇形的半徑為，弧長為，則該扇形的圓心角大小為______.13．若關(guān)于的不等式的解集為，則__________14．記為數(shù)列的前項和.若，則_______.15．已知，，，的等比中項是1，且，，則的最小值是______.16．若數(shù)列滿足，且，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)證明:.18．2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級分，學(xué)科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高小明同學(xué)是2018級的高一學(xué)生.已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學(xué)與生物近10大聯(lián)考的成績百分比排名數(shù)據(jù)x(如x=19的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的19%)繪制莖葉圖如下.(1)分別計算化學(xué)、生物兩個學(xué)科10次聯(lián)考的百分比排名的平均數(shù)；中位數(shù)；(2)根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計知識，并結(jié)合上面的數(shù)據(jù)，幫助小明作出選擇.并說明理由.19．設(shè)數(shù)列的前項和為，若且求若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.20．已知為常數(shù)且均不為零，數(shù)列的通項公式為并且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）設(shè)是數(shù)列前項的和，求使得不等式成立的最小正整數(shù).21．某制造商月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽樣個進行檢查，測得每個球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表分組頻數(shù)頻率10205020合計100(1)請在上表中補充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間的中點值是作為代表.據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)數(shù)列的通項公式可判斷出數(shù)列的正負(fù)，然后分析的正負(fù)，再由的正負(fù)即可確定出，，…，中正數(shù)的個數(shù).【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，因為，，所以取等號時，所以均為正，又因為，所以均為正，所以正數(shù)的個數(shù)是：.故選：D.【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數(shù)列各項和的正負(fù)，可通過數(shù)列本身的單調(diào)性周期性進行判斷，從而為判斷各項和的正負(fù)做鋪墊.2、C【解析】試題分析：兩點關(guān)于直線對稱，則,點與的中點在直線上，,那么直線的斜率等于，中點坐標(biāo)為，即中點坐標(biāo)為，,整理得：,故選C.考點：求直線方程3、A【解析】

先由變量負(fù)相關(guān)，可排除D；再由回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【詳解】因為變量x與y負(fù)相關(guān)，所以排除D；又回歸直線過樣本中心，A選項，過點，所以A正確；B選項，不過點，所以B不正確；C選項，不過點，所以C不正確；故選A【點睛】本題主要考查線性回歸直線，熟記回歸直線的意義即可，屬于?？碱}型.4、B【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式判斷①正確；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷③錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④正確，，從而得出結(jié)論.【詳解】解：由可得又即由，即,結(jié)合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯誤；因為，即值是中最大值，即③錯誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結(jié)論是①④，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，重點考查了運算能力，屬中檔題.5、A【解析】

首先求出、，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：，，又，且與的夾角為，所以.故選：A【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積以及運算律，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

因為，所以由于與平行，得，解得.7、C【解析】

利用余弦定理求出，再利用余弦定理求得的值，即可判斷三角形的形狀.【詳解】在中，，解得：；∵，∵，，∴是直角三角形.故選：C.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用、三角形形狀的判定，考查邏輯推理能力和運算求解能力.8、A【解析】

作出可行域，采用平移直線法判斷何處取到最大值.【詳解】畫出可行域如圖陰影部分，由得，目標(biāo)函數(shù)圖象可看作一條動直線，由圖形可得當(dāng)動直線過點時，．故選A．【點睛】本題考查線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)最值的計算，難度較易.求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值時，采用平移直線法是最常規(guī)的.9、B【解析】

利用直線與直線平行的性質(zhì)求解．【詳解】∵直線與平行，解得a＝2或a＝﹣2．∵當(dāng)a＝﹣2時，兩直線重合，∴a＝2．故選B．【點睛】本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意兩直線的位置關(guān)系的合理運用．10、D【解析】

由于，，，，利用“平方關(guān)系”可得，，變形即可得出．【詳解】∵，，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．故選D.【點睛】本題考查了兩角和的余弦公式、三角函數(shù)同角基本關(guān)系式、拆分角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由韋達定理和兩角和的正切公式可得，進一步縮小角的范圍可得，進而可求．【詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結(jié)合，，故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及韋達定理，屬中檔題．12、【解析】

利用扇形的弧長除以半徑可得出該扇形圓心角的弧度數(shù).【詳解】由扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關(guān)系可知，該扇形的圓心角大小為.故答案為：.【點睛】本題考查扇形圓心角的計算，解題時要熟悉扇形的弧長、半徑以及圓心角之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】

根據(jù)二次不等式和二次方程的關(guān)系，得到是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到的值.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得【點睛】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，根與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于簡單題.14、【解析】

由和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得出通項公式.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，即則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列故答案為：【點睛】本題主要考查了已知求，屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】

，的等比中項是1，再用均值不等式得到答案.【詳解】，的等比中項是1當(dāng)時等號成立.故答案為4【點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.16、【解析】

對已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到的通項公式，從而求得結(jié)果.【詳解】，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項公式的問題，關(guān)鍵是明確對于形式的遞推關(guān)系式，采用倒數(shù)法來進行推導(dǎo).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解析】

（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當(dāng)時，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當(dāng)n是奇數(shù),且時，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列；(2)因為，所以，所以，又因為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當(dāng)時，；②若n是偶數(shù)，則，所以當(dāng)n是偶數(shù)時，；③當(dāng)n是奇數(shù)，且時，；綜上所述，當(dāng)時，.【點睛】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項公式，以及數(shù)列與不等式的綜合問題.18、（1）化學(xué)平均數(shù)30.2；中位數(shù)26；生物平均數(shù)29.6；中位數(shù)31；（2）見解析【解析】

（1）直接利用平均數(shù)的公式和中位數(shù)的定義計算化學(xué)、生物兩個學(xué)科10次聯(lián)考的百分比排名的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）從平均數(shù)或中位數(shù)的角度出發(fā)幫助小明選擇.【詳解】解：（1）化學(xué)學(xué)科全市百分比排名的平均數(shù)，化學(xué)學(xué)科聯(lián)考百分比排名的中位數(shù)為.生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的平均數(shù)，生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的中位數(shù)為.（2）從平均數(shù)來看，小明的生物學(xué)科比化學(xué)學(xué)科百分比排名靠前，應(yīng)選生物.或者:從中位數(shù)來看，小明的化學(xué)學(xué)科比生物學(xué)科百分比排名靠前，應(yīng)選化學(xué).【點睛】本題主要考查平均數(shù)的計算和中位數(shù)的計算，考查平均數(shù)和中位數(shù)的意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由時，，再驗證適合，于是得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出；（2）求出數(shù)列的通項公式，判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式求出數(shù)列的前項和．【詳解】（1）當(dāng)且時，；也適合上式，所以，，則數(shù)列為等差數(shù)列，因此，；（2），且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，所以．【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與數(shù)列通項的關(guān)系，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，考查計算能力，屬于中等題．20、(1);(2)【解析】

（1）由，可得，，，．根據(jù)、、成等差數(shù)列，、、成等比數(shù)列．可得，，代入解出即可得出．（2）由（1）可得：，可得，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】（1），，，，．，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．，，，，，．聯(lián)立解得：，．（2）由（1）可得：，，由，解得．．【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法、不等式的解法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．21、(1)見解析；(2)40.00(mm