12.3互逆命題（解析版）

12.3互逆命題逆命題兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題.題型1：逆命題的定義1．命題：“兩直線平行，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題為同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的題設(shè)是“兩直線平行”，結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，故其逆命題是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”．故應(yīng)填：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式1-1】命題“若a2＝b2，則a＝b．”的逆命題是若a＝b，則a2＝b2．【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，依此求解即可．【解答】解：命題“若a2＝b2，則a＝b”的條件是a2＝b2，結(jié)論是a＝b，故逆命題是：若a＝b，則a2＝b2．故答案為如果a＝b，那么a2＝b2．題型2：逆命題的真假2.命題：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該逆命題是真（填“真”或“假”）命題．【分析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【解答】解：根據(jù)題意得：命題“如果a＝b，那么3a＝3b”的條件是如果a＝b，結(jié)論是3a＝3b，故逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該命題是真命題．故答案為：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【變式2-1】命題“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命題是假命題．（填“真”或“假”）【分析】根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，判斷真假即可．【解答】解：命題“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命題是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命題，故答案為：假．【變式2-2】命題“等邊三角形的三個(gè)角都相等．”這個(gè)命題的逆命題是三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．這個(gè)逆命題是真命題．（填真或假）【分析】命題“等邊三角形的三個(gè)角都相等．”的條件是等邊三角形，結(jié)論是三個(gè)角都相等，進(jìn)而交換條件和結(jié)論，即可得出答案．【解答】解：命題“等邊三角形的三個(gè)角都相等．”這個(gè)命題的逆命題是“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”，這個(gè)逆命題是真命題；故答案為：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；真命題．題型3：與平行、直角三角形有關(guān)的證明3.寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【分析】（1）將命題“如果p，那么q”中條件與結(jié)論互換，即得一個(gè)新命題“如果q，那么p”，我們稱這樣的兩個(gè)命題互為逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的逆命題．據(jù)此寫出命題的逆命題，然后判斷真假即可；（2）根據(jù)逆命題的概念，寫出命題的逆命題，然后判斷其真假即可．【解答】解：（1）命題“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的逆命題為：“內(nèi)角和等于180°的多邊形是三角形”，逆命題是真命題；（2）命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是：“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，逆命題是真命題．【變式3-1】如圖，有三個(gè)條件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，從中任選兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，可以組成3個(gè)命題，例如：以③作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．（1）請(qǐng)按要求寫出命題：以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．；以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．；（2）請(qǐng)證明以②作為結(jié)論的命題．【分析】（1）根據(jù)題意要求寫出已知求證，寫出命題即可求解；（2）根據(jù)平行線的判定可得DB//EC，DF//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代換即可得證．【解答】解：（1）以①作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．以②作為結(jié)論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．故答案為：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．【變式3-2】如圖，有如下三個(gè)論斷：①AD∥EF，②∠1+∠2＝180°，③DG∥AB．（1）請(qǐng)從這三個(gè)論斷中選擇兩個(gè)作為題設(shè)，余下的一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題．試用“如果……那么……”的形式寫出來(lái)；（寫出所有的真命題，不要說(shuō)明理由）（2）請(qǐng)你在上述真命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，寫出命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）①如圖，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；②如圖，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；③如圖，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；（2）①如圖，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；證明：∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠BAD，∴DG∥AB；②如圖，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；證明：∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴AD∥EF；③如圖，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∴∠1+∠2＝180°．一．選擇題（共4小題）1．下列命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②若a2＝b2，則a＝b；③銳角與鈍角互為補(bǔ)角；④相等的角是對(duì)頂角．它們的逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)所學(xué)的公理定理對(duì)各小題進(jìn)行分析判斷，然后再計(jì)算真命題的個(gè)數(shù)．【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是真命題；②若a2＝b2，則a＝b的逆命題是若a＝b，則a2＝b2是真命題；③銳角與鈍角互為補(bǔ)角的逆命題是互補(bǔ)的角是銳角與鈍角，是假命題；④相等的角是對(duì)頂角的逆命題是對(duì)頂角相等，是真命題；故選：B．2．給出下列4個(gè)命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②若|a|＝|b|，則a＝b；③直角都相等；④對(duì)頂角相等，它們的逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先寫出命題的逆命題，再對(duì)逆命題的真假進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；②若|a|＝|b|，則a＝b的逆命題是若a＝b，則|a|＝|b|，是真命題；③直角都相等的逆命題是相等的角是直角，是假命題；④對(duì)頂角相等的逆命題是相等的角是對(duì)項(xiàng)角，是假命題；它們的逆命題是真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．3．下列正確敘述的個(gè)數(shù)是（）①每個(gè)命題都有逆命題②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題④每個(gè)定理都有逆定理⑤每個(gè)定理一定有逆命題⑥命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題是假命題．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)逆命題的定義可對(duì)①⑤進(jìn)行判斷；根據(jù)互為逆命題的兩個(gè)命題的真假?zèng)]有關(guān)系可對(duì)②③④進(jìn)行判斷；先寫出命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題，然后進(jìn)行判斷．【解答】解：把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換得到它的逆命題，所以①正確；原命題：若a＝b，則|a|＝|b|，其逆命題為：若|a|＝|b|，則a＝b，它是假命題，所以②錯(cuò)誤；原命題：若am＞bm，則a＞b，其逆命題：若a＞b，則am＞bm，它是假命題，所以③錯(cuò)誤；定理的逆命題不一定是真命題，所以每個(gè)定理不一定有逆定理，所以④錯(cuò)誤；每個(gè)定理一定有逆命題，所以⑤正確；命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題為“若a3＝b3，則a＝b”，它是真命題，所以⑥錯(cuò)誤．故選：B．4．已知命題：如果a＝b，那么|a|＝|b|．該命題的逆命題是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果a≠b，那么|a|≠|(zhì)b| D．如果|a|≠|(zhì)b|，那么a≠b【分析】分別求出本題中的題設(shè)與結(jié)論，再將其互換即可．【解答】解：已知本題中命題的題設(shè)是a＝b，結(jié)論是|a|＝|b|，所以它的逆命題中的題設(shè)是|a|＝|b|，結(jié)論是a＝b，所以本題中的逆命題是如果|a|＝|b|，那么a＝b．故選：B．二．填空題（共2小題）5．命題“若a＝b，則﹣a＝﹣b”的逆命題是若﹣a＝﹣b，則a＝b．【分析】根據(jù)命題的逆命題進(jìn)行解答即可．【解答】解：命題“若a＝b，則﹣a＝﹣b”的逆命題是若﹣a＝﹣b，則a＝b，故答案為：若﹣a＝﹣b，則a＝b6．命題：“若a＝b，則a4＝b4”，該命題的逆命題是若a4＝b4，則a＝b；該命題的逆命題是假命題．（填“真”或“假”）【分析】把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論互換即可得到其逆命題，再判斷逆命題的真假即可．【解答】解：“若a＝b，則a4＝b4”的條件是：a＝b，結(jié)論是：a4＝b4，∴逆命題是：若a4＝b4，則a＝b，若a4＝b4，則a＝±b，故為假命題，故答案為若a4＝b4，則a＝b，假．三．解答題（共2小題）7．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∠A＝50°，∠BDC＝68°，求∠AED的度數(shù)．【分析】求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝50°，∠BDC＝68°，∴∠ABD＝18°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABD＝18°，∴∠AED＝∠ABD+∠EDB＝36°．8．已知：如圖，△ABC中，E是AB上一點(diǎn)，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)G為AC上一點(diǎn)，連接DG，且∠1+∠2＝180°．求證：∠DGC＝∠BAC．【分析】先根據(jù)垂直的定義得EF∥AD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角