12.3互逆命題（解析版）

12.3互逆命題逆命題兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題是另一個命題的逆命題.題型1：逆命題的定義1．命題：“兩直線平行，則同旁內角互補”的逆命題為同旁內角互補，兩直線平行．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【解答】解：命題“兩直線平行，同旁內角互補”的題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，故其逆命題是“同旁內角互補，兩直線平行”．故應填：同旁內角互補，兩直線平行．【變式1-1】命題“若a2＝b2，則a＝b．”的逆命題是若a＝b，則a2＝b2．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，依此求解即可．【解答】解：命題“若a2＝b2，則a＝b”的條件是a2＝b2，結論是a＝b，故逆命題是：若a＝b，則a2＝b2．故答案為如果a＝b，那么a2＝b2．題型2：逆命題的真假2.命題：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該逆命題是真（填“真”或“假”）命題．【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【解答】解：根據題意得：命題“如果a＝b，那么3a＝3b”的條件是如果a＝b，結論是3a＝3b，故逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該命題是真命題．故答案為：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【變式2-1】命題“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命題是假命題．（填“真”或“假”）【分析】根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題，判斷真假即可．【解答】解：命題“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命題是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命題，故答案為：假．【變式2-2】命題“等邊三角形的三個角都相等．”這個命題的逆命題是三個角都相等的三角形是等邊三角形．這個逆命題是真命題．（填真或假）【分析】命題“等邊三角形的三個角都相等．”的條件是等邊三角形，結論是三個角都相等，進而交換條件和結論，即可得出答案．【解答】解：命題“等邊三角形的三個角都相等．”這個命題的逆命題是“三個角都相等的三角形是等邊三角形”，這個逆命題是真命題；故答案為：三個角都相等的三角形是等邊三角形；真命題．題型3：與平行、直角三角形有關的證明3.寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．（1）三角形三個內角的和等于180°；（2）兩直線平行，同旁內角互補．【分析】（1）將命題“如果p，那么q”中條件與結論互換，即得一個新命題“如果q，那么p”，我們稱這樣的兩個命題互為逆命題，其中一個叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆命題．據此寫出命題的逆命題，然后判斷真假即可；（2）根據逆命題的概念，寫出命題的逆命題，然后判斷其真假即可．【解答】解：（1）命題“三角形三個內角的和等于180°”的逆命題為：“內角和等于180°的多邊形是三角形”，逆命題是真命題；（2）命題“兩直線平行，同旁內角互補”的逆命題是：“同旁內角互補，兩直線平行”，逆命題是真命題．【變式3-1】如圖，有三個條件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，從中任選兩個作為已知條件，另一個作為結論，可以組成3個命題，例如：以③作為結論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．（1）請按要求寫出命題：以①作為結論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．；以②作為結論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．；（2）請證明以②作為結論的命題．【分析】（1）根據題意要求寫出已知求證，寫出命題即可求解；（2）根據平行線的判定可得DB//EC，DF//AC，根據平行線的性質可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代換即可得證．【解答】解：（1）以①作為結論的命題是：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2．以②作為結論的命題是：如圖，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求證：∠C＝∠D．故答案為：如圖，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求證：∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2∴DB//EC∴∠DBA＝∠C∵∠A＝∠F∴DF//AC∴∠D＝∠DBA∴∠C＝∠D．【變式3-2】如圖，有如下三個論斷：①AD∥EF，②∠1+∠2＝180°，③DG∥AB．（1）請從這三個論斷中選擇兩個作為題設，余下的一個作為結論，構成一個真命題．試用“如果……那么……”的形式寫出來；（寫出所有的真命題，不要說明理由）（2）請你在上述真命題中選擇一個進行證明．【分析】（1）根據題意，結合圖形，寫出命題；（2）根據平行線的判定與性質求解即可．【解答】解：（1）①如圖，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；②如圖，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；③如圖，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；（2）①如圖，如果AD∥EF，∠1+∠2＝180°，那么DG∥AB；證明：∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠BAD，∴DG∥AB；②如圖，如果∠1+∠2＝180°，DG∥AB，那么AD∥EF；證明：∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠BAD＝180°，∴AD∥EF；③如圖，DG∥AB，AD∥EF，那么∠1+∠2＝180°；∵DG∥AB，∴∠1＝∠BAD，∵AD∥EF，∴∠2+∠BAD＝180°，∴∠1+∠2＝180°．一．選擇題（共4小題）1．下列命題：①同旁內角互補，兩直線平行；②若a2＝b2，則a＝b；③銳角與鈍角互為補角；④相等的角是對頂角．它們的逆命題是真命題的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據所學的公理定理對各小題進行分析判斷，然后再計算真命題的個數．【解答】解：①同旁內角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內角互補是真命題；②若a2＝b2，則a＝b的逆命題是若a＝b，則a2＝b2是真命題；③銳角與鈍角互為補角的逆命題是互補的角是銳角與鈍角，是假命題；④相等的角是對頂角的逆命題是對頂角相等，是真命題；故選：B．2．給出下列4個命題：①同旁內角互補，兩直線平行；②若|a|＝|b|，則a＝b；③直角都相等；④對頂角相等，它們的逆命題是真命題的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先寫出命題的逆命題，再對逆命題的真假進行判斷即可．【解答】解：①同旁內角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內角互補，是真命題；②若|a|＝|b|，則a＝b的逆命題是若a＝b，則|a|＝|b|，是真命題；③直角都相等的逆命題是相等的角是直角，是假命題；④對頂角相等的逆命題是相等的角是對項角，是假命題；它們的逆命題是真命題的個數是2個．故選：B．3．下列正確敘述的個數是（）①每個命題都有逆命題②真命題的逆命題是真命題③假命題的逆命題是真命題④每個定理都有逆定理⑤每個定理一定有逆命題⑥命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題是假命題．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據逆命題的定義可對①⑤進行判斷；根據互為逆命題的兩個命題的真假沒有關系可對②③④進行判斷；先寫出命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題，然后進行判斷．【解答】解：把原命題的題設與結論交換得到它的逆命題，所以①正確；原命題：若a＝b，則|a|＝|b|，其逆命題為：若|a|＝|b|，則a＝b，它是假命題，所以②錯誤；原命題：若am＞bm，則a＞b，其逆命題：若a＞b，則am＞bm，它是假命題，所以③錯誤；定理的逆命題不一定是真命題，所以每個定理不一定有逆定理，所以④錯誤；每個定理一定有逆命題，所以⑤正確；命題“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命題為“若a3＝b3，則a＝b”，它是真命題，所以⑥錯誤．故選：B．4．已知命題：如果a＝b，那么|a|＝|b|．該命題的逆命題是（）A．如果a＝b，那么|a|＝|b| B．如果|a|＝|b|，那么a＝b C．如果a≠b，那么|a|≠|b| D．如果|a|≠|b|，那么a≠b【分析】分別求出本題中的題設與結論，再將其互換即可．【解答】解：已知本題中命題的題設是a＝b，結論是|a|＝|b|，所以它的逆命題中的題設是|a|＝|b|，結論是a＝b，所以本題中的逆命題是如果|a|＝|b|，那么a＝b．故選：B．二．填空題（共2小題）5．命題“若a＝b，則﹣a＝﹣b”的逆命題是若﹣a＝﹣b，則a＝b．【分析】根據命題的逆命題進行解答即可．【解答】解：命題“若a＝b，則﹣a＝﹣b”的逆命題是若﹣a＝﹣b，則a＝b，故答案為：若﹣a＝﹣b，則a＝b6．命題：“若a＝b，則a4＝b4”，該命題的逆命題是若a4＝b4，則a＝b；該命題的逆命題是假命題．（填“真”或“假”）【分析】把一個命題的題設和結論互換即可得到其逆命題，再判斷逆命題的真假即可．【解答】解：“若a＝b，則a4＝b4”的條件是：a＝b，結論是：a4＝b4，∴逆命題是：若a4＝b4，則a＝b，若a4＝b4，則a＝±b，故為假命題，故答案為若a4＝b4，則a＝b，假．三．解答題（共2小題）7．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，DE∥BC，交AB于點E，∠A＝50°，∠BDC＝68°，求∠AED的度數．【分析】求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．【解答】解：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠A＝50°，∠BDC＝68°，∴∠ABD＝18°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠ABD＝18°，∴∠AED＝∠ABD+∠EDB＝36°．8．已知：如圖，△ABC中，E是AB上一點，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D，F，點G為AC上一點，連接DG，且∠1+∠2＝180°．求證：∠DGC＝∠BAC．【分析】先根據垂直的定義得EF∥AD，再根據兩直線平行，同旁內角