四川省華鎣一中2024年數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

四川省華鎣一中2024年數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-32．若集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知點A(－1,1)和圓C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．104．在中，已知是邊上一點，，，則等于（）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列的通項公式，其前項和為，則等于（）A． B． C． D．6．如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計眾數(shù)與中位數(shù)分別是（）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；137．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列中，，則公差（）A． B． C．1 D．29．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．直線與平行，則的值為()A． B．或 C．0 D．－2或0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．記為數(shù)列的前項和.若，則_______.12．已知平面向量，若，則________13．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，則m的取值范圍是________.14．已知滿足約束條件，則的最大值為__15．不等式的解集是_________________16．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，,則異面直線與所成的角為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且.（1）求直線l的方程；（2）若點E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，點D滿足，點M是圓O上任意一點，點N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點N到直線l距離的最小值.18．給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.19．已知函數(shù)的最大值是1，其圖像經(jīng)過點（1）求的解析式；（2）已知且求的值。20．某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制.各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表.規(guī)定：三級為合格等級，D為不合格等級.為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計.按照的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示.（I）求和頻率分布直方圖中的的值，并估計該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率；（II）在選取的樣本中，從兩個等級的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，求至少有一名學(xué)生是等級的概率．21．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項和為，且滿足．（1）求，的通項公式；（2）令，求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

因為錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15,所以此時求出的數(shù)比實際的數(shù)差是,因此平均數(shù)之間的差是.故答案為D2、B【解析】

通過集合B中，用列舉法表示出集合B，再利用交集的定義求出．【詳解】由題意，集合，所以故答案為：B【點睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的運(yùn)算，其中熟記集合的表示方法，以及準(zhǔn)確利用集合的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

點A（﹣1，1）關(guān)于x軸的對稱點B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當(dāng)反射光線過圓心時，光線從點A經(jīng)x軸反射到圓周C的路程最短，最短為|BC|﹣R．【詳解】由反射定律得點A（﹣1，1）關(guān)于x軸的對稱點B（﹣1，﹣1）在反射光線上，當(dāng)反射光線過圓心時，最短距離為|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光線從點A經(jīng)x軸反射到圓周C的最短路程為1．故選B．【點睛】本題考查光線的反射定律的應(yīng)用，以及兩點間的距離公式的應(yīng)用．4、A【解析】

利用向量的減法將3，進(jìn)行分解，然后根據(jù)條件，進(jìn)行對比即可得到結(jié)論【詳解】∵3，∴33，即43，則，∵λ，∴λ，故選A．【點睛】本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的減法法則進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵．5、B【解析】

依據(jù)為周期函數(shù)，得到，并項求和，即可求出的值?！驹斀狻恳驗闉橹芷诤瘮?shù)，周期為4，所以，，故選B。【點睛】本題主要考查數(shù)列求和方法——并項求和法的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的周期性，分論討論思想，意在考查學(xué)生的推理論證和計算能力。6、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)與中位數(shù)的定義和計算方法，即可求解頻率分布直方圖的眾數(shù)與中位數(shù)的值.詳解：由題意，頻率分布直方圖中最高矩形的底邊的中點的橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)的眾數(shù)，所以中間一個矩形最該，故數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，而中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo)，第一個矩形的面積為，第二個矩形的面積為，故將第二個矩形分成即可，所以中位數(shù)是，故選D.點睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的中位數(shù)與眾數(shù)的求解，其中頻率分布直方圖中小矩形的面積等于對應(yīng)的概率，且各個小矩形的面積之和為1是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.7、A【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.8、C【解析】

利用通項得到關(guān)于公差d的方程，解方程即得解.【詳解】由題得.故選C【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項的基本量的計算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、C【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得點的坐標(biāo)．【詳解】為單位圓上一點，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，則點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，故點的坐標(biāo)為.故選C.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查基本的運(yùn)算求解能力．10、A【解析】

若直線與平行,則,解出a值后,驗證兩條直線是否重合,可得答案.【詳解】若直線與平行,

則,

解得或,

又時,直線與表示同一條直線,

故,

故選A.本題考查的知識點是直線的一般式方程,直線的平行關(guān)系,正確理解直線平行的幾何意義是解答的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得出通項公式.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，即則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列故答案為：【點睛】本題主要考查了已知求，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解析】

根據(jù)即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【點睛】本題主要考查向量坐標(biāo)的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

化簡函數(shù)解析式為，做出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍．【詳解】解：因為所以，，由，可得，則函數(shù)，的圖象與直線恰有兩個不同交點，即方程在上有兩個不同的解，畫出的圖象如下所示：依題意可得時，函數(shù)的圖象與直線恰有兩個不同交點，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

可先求出一元二次方程的兩根，即可得到不等式的解集.【詳解】由于的兩根分別為：，，因此不等式的解集是.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的求解，難度不大.16、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應(yīng)用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）等價于圓心O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點，再結(jié)合題意可得點N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且，∴圓心O到直線l的距離，又，，解得，∴直線l的方程為；（2）∵點E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，，∴，，設(shè)，，則，，，，，即.又∵點N在線段上，即，共線，，，∵點M是圓O上任意一點，，∴將m，n代入上式，可得，即.則點N在以為圓心，半徑為的圓R上.圓心R到直線l：的距離，又，故點N到直線l：距離的最小值為1.【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，重點考查了點的軌跡方程的求法，屬中檔題.18、見解析【解析】（1）因為，，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無限增大時，總有此時，即故，即，當(dāng)時，等式成立，且時，，此時為等差數(shù)列，滿足題意；若，則，此時，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．【考點定位】考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬難題．19、（1）（2）【解析】本題（１）屬于基礎(chǔ)問題，根據(jù)題意首先可求得Ａ，再將點Ｍ代入即可求得解析式；對于（２）可先將函數(shù)f(x)的解析式化簡，再帶入，利用兩角差的余弦公式可求解；（1）依題意知A=1，又圖像經(jīng)過點M∴，再由得即因此；（2），且，；20、（I），；（II）.【解析】試題分析：(I)根據(jù)頻率直方圖的相關(guān)概率易求，依據(jù)樣本估計總體的思想可得該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率；（II）記“至少有一名學(xué)生是等級”事件為，求事件對立事件的的概率，可得.試題解析：（I）由題意可知，樣本容量因為成績是合格等級人數(shù)為：人，抽取的50人中成績是合格等級的頻率為，依據(jù)樣本估計總體的思想，所以，該校高一年級學(xué)生成績是合格等級的概率為（II）由莖葉圖知，等級的學(xué)生共有3人，等級學(xué)生共有人，記等級的學(xué)生為，等級學(xué)生為，則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為：共28個基本事件記“至少有一名學(xué)生是等級”事件為，則事件的可能結(jié)果為共10種因此考點：1、頻率分