蘇教版高數(shù)必修二第4講：平行的基本性質(zhì)與空間中的線線關(guān)系(教師版)

平行的基本性質(zhì)與空間中的線線關(guān)系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性質(zhì)定理；掌握直線與直線的位置關(guān)系.一、平面的基本性質(zhì)1.公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)推理模式：．如圖示：或者：∵，∴公理1的作用：①判定直線是否在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)；③檢驗(yàn)面是否是平面．2.公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線推理模式：如圖示：或者：∵，∴公理2的作用：(1)判斷兩個(gè)平面是否相交及交線位置；(2)判斷點(diǎn)是否在線上今后所說的兩個(gè)平面(或兩條直線),如無特殊說明,均指不同的平面(直線)．(1)以上是確定平面的四個(gè)不同的條件，是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù)．(2)有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說圖形的存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一．因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．3.公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推理模式：與重合或者：∵不共線，∴存在唯一的平面，使得.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(1)以上是確定平面的四個(gè)不同的條件，是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù)．(2)“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說圖形的存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一．因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．二、平行直線1.公理4平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：．(1)它是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)；(2)它說明平行關(guān)系具有傳遞性2.等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．由球的半徑R計(jì)算球表面積的公式：S球＝4πR2.即球面面積等于它的大圓面積的三、異面直線1.定義：不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線(1)異面直線既不平行，也不相交，永遠(yuǎn)不存在一個(gè)平面能同時(shí)包含這兩直線；(2)不能把異面直線誤認(rèn)為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線(3)異面直線一般是對(duì)兩條直線而言的，沒有三條異面直線的說法．2．異面直線的畫法畫異面直線時(shí)，為了充分顯示不共面的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面為襯托，以加強(qiáng)直觀性．3．異面直線判定定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線推理模式：直線與直線是異面直線四、異面直線所成的角1.定義：已知，是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作直線，我們把直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線，所成的角．(1)異面直線所成的角與點(diǎn)的位置無關(guān)．(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直，記作．(3)異面直線所成角的范圍是．2.求異面直線所成角的步驟（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，由平移構(gòu)造出一個(gè)交角；（2）證平行關(guān)系成立；（3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；（4）作結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是所求異面直線所成的角．五、空間兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)類型一平面及其性質(zhì)例1：(2014·邵陽(yáng)一中月考)對(duì)下圖的幾何圖形，下列表示錯(cuò)誤的是()A．l∈α B．P?lC．l?α D．P∈α解析：由圖形可知，l?α，P?l，P∈α，故選A.答案：A練習(xí)1：判斷下列說法是否正確，并說明理由．（1）平面的形狀是平行四邊形（）（2）任何一個(gè)平面圖形都可以表示平面（）（3）平面ABCD的面積為10㎡（）（4）空間圖形中，后引的輔助線是虛線（）答案：（1）（3）（4）錯(cuò)，（2）正確．練習(xí)2：下列說法正確的個(gè)數(shù)（）①鋪的很平的一張紙是一個(gè)平面；②可以一個(gè)長(zhǎng)20cm、寬30cm的平面；③通常300頁(yè)的書要比10頁(yè)的書厚一些，那么300個(gè)平面重合在一起時(shí)一定比10個(gè)平面重合在一起厚．A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)答案：A練習(xí)3：若點(diǎn)在直線上，在直線平面內(nèi)，則之間的關(guān)系可記作（）A、 B、 C、 D、答案：B例2：如右圖，已知分別為空間四邊形各邊上的點(diǎn)，且，求證：共線．解析：由公理2可判斷D點(diǎn)在交線上．答案：證明：∵∴∵平面∴平面同理平面∵平面平面∴∴共線練習(xí)1：已知與三條平行線都相交，求證：與共面．答案：證明：如右圖所示∵∴直線與直線確定一個(gè)平面，設(shè)為∵∴∴∴∵∴直線與直線確定一個(gè)平面，設(shè)為同理可證∵∴平面與平面重合∴與共面練習(xí)2：兩個(gè)不重合的平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A、2個(gè) B、有無數(shù)個(gè)且在一條直線上C、一個(gè)或無數(shù)個(gè) D、1個(gè)答案：B練習(xí)3：下列命題：①公理1可用集合符號(hào)敘述為：若且，則必有；②四邊形的兩條對(duì)角線必交于一點(diǎn)；③用平行四邊形表示的平面，以平行四邊形的四邊作為平面邊界線；④梯形是平面圖形．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A、1 B、2 C、3 D、4 答案：D類型二直線及其位置關(guān)系例3：(2014·甘肅嘉峪關(guān)市一中高一期末測(cè)試)若a、b是異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．異面或相交解析：如圖，借助正方體可知c與b相交或異面．答案：D練習(xí)1：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BD和CD的中點(diǎn)，長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條答案：如圖所示∵E、F分別為BD、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD.故選D．練習(xí)2：空間四邊形ABCD中，給出下列說法：①直線AB與CD異面；②對(duì)角線AC與BD相交；③四條邊不能都相等；④四條邊的中點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形．其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案：本題主要考查空間四邊形，關(guān)鍵要理解空間四邊形的概念．由定義知①正確；②錯(cuò)誤，否則A、B、C、D四點(diǎn)共面；③不正確，可將一個(gè)菱形沿一條對(duì)角線折起一個(gè)角度，就成為四邊相等的空間四邊形；④正確，由平行四邊形的判定定理可證．故選B．練習(xí)3：a、b、c是空間中三條直線，下面給出幾種說法：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a與b相交，b與c相交，則a與c也相交；③若a、b分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行．上述說法中正確的是________(僅填序號(hào))．答案：由基本性質(zhì)4知①正確．若a與b相交，b與c相交，則a與c可能平行，也可能相交或異面，②錯(cuò)誤．若平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，則a∥b，③錯(cuò)誤．例4：已知正方體,、分別為、的中點(diǎn)，求證:解析：平行四邊形是平面圖形，若能證得四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形．答案：證明：如右圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、．∵為的中點(diǎn)∴∴四邊形為平行四邊形∴又∵∴∴四邊形為平行四邊形∴∴練習(xí)1：已知棱長(zhǎng)為正方體,、分別為、的中點(diǎn)，求證:四邊形是梯形答案：證明：如右圖∵、分別為、的中點(diǎn)∴由正方體的性質(zhì)知∴∴四邊形是梯形．練習(xí)2：已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，則四邊形EFGH形狀為________．答案：如右圖在△ABD中，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四邊形EFGH為梯形．例5：已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)．求證：解析：由等角定理，證明角的邊之間的關(guān)系，進(jìn)而得到角的關(guān)系．答案:證明：如右圖，連結(jié)∵、分別是、的中點(diǎn)∴∴四邊形為平行四邊形∴又∵∴∴四邊形是平行四邊形∴同理可證：又與方向相同∴練習(xí)1：如右圖，不共面，且,求證：△≌△答案：證明：∵∴四邊形是平行四邊形∴同理可證：又∵和方向相同∴∴△和△中有∴△≌△練習(xí)2：在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別是CC1、B1C1、C1D1求證：∠NMP＝∠BA1D.答案：如圖，連接CB1、CD1，易得四邊形A1B1CD是平行四邊形，∴A1D∥B1C∵M(jìn)、N分別是CC1、B1C1∴MN∥B1C，∴MN∥A1D∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1.∵M(jìn)、P分別是CC1、C1D1的中點(diǎn)，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反，∴∠NMP＝∠BA1D.例6：如右圖，已知不共面的直線相交于點(diǎn)，、是直線上兩點(diǎn)，、分別是直線、上一點(diǎn)．求證：和是異面直線．解析：證明其中一點(diǎn)不屬于兩外三點(diǎn)確定的平面即可．答案：證明：∵∴由、確定一個(gè)面，設(shè)為∵∴∴且又∵不共面，∴∴和是異面直線練習(xí)1：兩條異面直線是指（）A、空間沒有公共點(diǎn)的兩條直線 B、分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線C、平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線 D、既不平行也不相交的兩條直線答案：D練習(xí)2：下列說法正確的有________．．①兩直線無公共點(diǎn)，則兩直線平行；②兩直線若不是異面直線，則必相交或平行；③過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)的任一直線均構(gòu)成異面直線；④和兩條一面直線都相交的直線的兩直線必是異面直線．答案：②練習(xí)3：已知且，求證：，為異面直線．答案：證明：如右圖∵∴而∴在直線上任取不同于的一點(diǎn)∵∴∴與是異面直線，即，為異面直線例7：正四面體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，求異面直線和所成角的余弦值．解析：找出其中一條直線的平行線，構(gòu)造三角形求解．答案：如右圖，連結(jié)，在面內(nèi)過點(diǎn)作交于，則(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角，且是的中點(diǎn)．又∵為的中點(diǎn)∴∵△和△均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，、分別是它們的中線∴，則在△中，∴在△中，即異面直線與所成的角的余弦值為在△中，∴在等腰△中，∴異面直線與所成角的余弦值練習(xí)1：已知、為異面直線，，，，則直線（）A、與、都相交 B、與、至少一條相交C、與、都不相交 D、至多與、中的一條相交答案：B練習(xí)2：在棱長(zhǎng)為1的中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線與所成角的余弦值是（）A、 B、 C、 D、答案：D練習(xí)3：如右圖，等腰直角三角形中，,若，且為的中點(diǎn)．求異面直線與所成角的余弦值．答案：取的中點(diǎn)，連結(jié)，在△中，、分別為、的中點(diǎn)．∴∴或其補(bǔ)角即為所求異面直線與所成的角在△中，∴在△中，∴1．在空間內(nèi)，可以確定一個(gè)平面的條件是（）A、兩兩相交的三條直線 B、三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C、三個(gè)點(diǎn) D、三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn) E、兩條直線答案：D2．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交答案：D3．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，那么它與另一條的位置關(guān)系是（）A、相交 B、異面 C、平行 D、相交或異面答案：D4．從空間一點(diǎn)分別向的兩邊作垂線，垂足分別為，則與的關(guān)系為（）A、互補(bǔ) B、相等 C、互補(bǔ)或相等 D、以上都不對(duì)答案：D5．在正四面體中，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為．答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.空間有四個(gè)點(diǎn)，其中無三點(diǎn)共線，可確定________個(gè)平面；若將此四點(diǎn)兩兩相連，再以所得線段中點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體至多有________個(gè)面．答案：1或4，82、三個(gè)兩兩相交的平面最多可把空間分為________個(gè)部分．答案：83、下面6個(gè)命題：①四邊相等的四邊形是菱形；②兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；③若四邊形有一組對(duì)角相等，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形；④在空間，過已知直線外一點(diǎn)，引該直線的平行線，可能不只一條；⑤四條直線兩兩平行，無三線共面，它們共可確定6個(gè)平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A、0 B、1 C、2 D、3答案：B4.在正方體中，與成的面對(duì)角線共有（）A、4條 B、6條 C、8條 D、10條答案：C5.已已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M、N分別為CD、AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________．答案：平行能力提升6.(2014·山東泰安肥城高一期末測(cè)試)如