高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心專題突破(四)　微專題7　研究直線、平面的位置關(guān)系（導(dǎo)學(xué)案）

核心專題突破(四)微專題7研究直線、平面的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.必備知識(shí)精歸納1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.注:①一條直線l有無窮多個(gè)方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.點(diǎn)睛求法向量的方法:設(shè)向量a,b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量,向量n是平面α的法向量,則求法向量的方程組為n·a2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=0點(diǎn)睛在用向量法證明線面平行時(shí)要說明直線不在平面內(nèi).【常用結(jié)論】1.若v是直線的方向向量,則λv(λ≠0)也是直線的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,則μn(μ≠0)也是平面的法向量.基礎(chǔ)小題固根基教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,24,53,61.(教材變式)已知A1,0,0,B0,1,0,CA.-1,1,1 C.-33,-33,-33 D.33,33,-解析：選C.設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則=-1,1,0,所以,化簡得-x+y=0-x+z=02.(教材改編)已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分別是平面α,β的法向量,則平面α,β的位置關(guān)系為 ()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.重合解析：選B.因?yàn)閙=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×-2故m⊥n,所以α⊥β.3.(忽視線在平面內(nèi))若直線l的方向向量為a=1,0,2,平面α的法向量為n=-2A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交解析：選C.因?yàn)閍=1,0,2,n=-2,1,1所以l∥α或l?α.4.(多選題)(結(jié)論1)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論中,正確的是 ()A.直線BD1的一個(gè)方向向量為(-2,2,2)B.直線BD1的一個(gè)方向向量為(2,2,2)C.平面B1CD1的一個(gè)法向量為(1,1,1)D.平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1)解析：選AC.由題意,B1,0,0,B11,0,1,C1因?yàn)?-1,1,1設(shè)平面B1CD1的法向量為n=x,y,由=0,-1,1,=-1,0,1得-設(shè)平面B1CD的法向量為m=a,則,由=0,-1,1,=-1,令b=1得m=0,15.(多選題)(結(jié)論2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,E為BB1的中點(diǎn),F為A1D1的中點(diǎn),則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是 ()A.(8,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)解析：選AB.設(shè)正方體的棱長為2,則易得A2,0,0,E2則=0,2,1,=設(shè)平面AEF的法向量為n=x,y,z,則令z=4得平面AEF的一個(gè)法向量為n1=8,-令z=-2得平面AEF的一個(gè)法向量為n2=-4令z=1得平面AEF的一個(gè)法向量為n3=2,-12,1.6.(找不到直線的方向向量)(多選題)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,平面α的一個(gè)法向量n=(2,2,1),直線l的方向向量為m,則下列說法正確的是 ()A.x軸一定與平面α相交B.平面α一定經(jīng)過點(diǎn)OC.若m=(-1,-1,-12),則l⊥D.若m=(-1,0,2),則l∥α解析：選AC.不妨設(shè)x軸的一個(gè)方向向量為a=1,0,0,則a·n=1,平面α不一定經(jīng)過點(diǎn)O,B錯(cuò)誤;因?yàn)?2,2,1)=-2(-1,-1,-12)即n=-2m,故l⊥α,C正確;因?yàn)閙·n=(-1,0,2)·(2,2,1)=-2+2=0,所以m⊥n,所以l∥α或l?α,故D錯(cuò)誤.題型一利用空間向量證明平行問題角度1線線平行[典例1]已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=3,點(diǎn)S,P分別在棱CC1,AA1上,且CS=12SC1,AP=2PA1,點(diǎn)R,Q分別為AB,D1C1的中點(diǎn)【證明】以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以,與的方向?yàn)閤,y與z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.則D0,0,0,A3,0,D10,0,3,A13,0,3,連接PQ,RS,由題意知P3,0,2S0,4,1,R3,2,0,所以所以=,又PQ,RS不共線,所以PQ∥RS.【方法提煉】有關(guān)線線平行的解題策略1.將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩直線的方向向量共線.設(shè)a,b是兩條不重合的直線,它們的方向向量分別為a,b,則a∥b?a=λbλ∈2.向量法證線線平行的方法:(1)基底運(yùn)算法;(2)坐標(biāo)運(yùn)算法.角度2線面平行[典例2](2023·泰安模擬)如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).求證:EF∥平面A1B1BA.【證明】由AB=AC,E為BC的中點(diǎn),知AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,過E作平行于BB1的垂線并以其為z軸,以EC,EA所在直線分別為x軸,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),B1(-5,0,27),A1(0,2,7),F52,1,72.所以=52,1,72,=(-5,-2,0),=(0,0,7).設(shè)平面A1B1BA的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則,若x=-2,則n=(-2,5,0),而·n=52×(-2)+1×5+72所以⊥n,又EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.【方法提煉】運(yùn)用向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量定理:設(shè)a,b為平面α內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y,使得l=xa+yb,則l∥α(l?α).(2)轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行.(3)轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(此方法最常用).角度3面面平行[典例3](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD和B1C的中點(diǎn).①求異面直線MN和AB所成角的大小;②求證:平面MNP∥平面CC1D1D.解析：①由題意,不妨設(shè)正方體的棱長為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示,所以M(1,0,1),N(1,1,0),A(2,0,0),B(2,2,0),=0,1,-1,=cos==0×0+1×2+-1×002+1設(shè)異面直線MN和AB所成角為θ,則cosθ==22,所以異面直線MN和AB所成角為45°.②由①知,M1,0,1,N1D0,0,0,A2,0,0,=2,0由題意可知,DA⊥平面CC1D1D,所以平面CC1D1D的一個(gè)法向量為n=1,設(shè)平面MNP的法向量為m=x,y,z,則令x=1,則y=0,z=0,所以m=1,由n=m,得平面MNP∥平面CC1D1D.(2)如圖所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長1,側(cè)棱長4,AA1的中點(diǎn)為E,CC1的中點(diǎn)為F.求證:平面BDE∥平面B1D1F.【證明】以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),B1(1,0,4),D1(0,1,4),F(1,1,2),因?yàn)?=0,-1,2,所以DE∥FB因?yàn)镈E∥FB1,DE?平面B1D1F,FB1?平面B1D1F,所以DE∥平面B1D1F,同理BD∥平面B1D1F,因?yàn)锽D?平面BDE,DE?平面BDE,BD∩DE=D,所以平面BDE∥平面B1D1F.【方法提煉】運(yùn)用向量證面面平行的方法方法一:證兩平面的法向量平行(常用此方法).方法二:用向量法證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行.方法三:用向量法證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2022·保定模擬)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=4,E是BB1的中點(diǎn),F是A1C1的中點(diǎn),若點(diǎn)G在直線CC1上,且BG∥平面AEF,則A1G= (A.22 B.5 C.210 D.11解析：選A.如圖,以C為原點(diǎn),過C作垂直于CB的直線為x軸,CB,CC1所在直線分別為y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則A(3,1,0),A1(3,1,4),E(0,2,2),F32,12,4,B(0,2,0).由題可設(shè)G(0,0,a),則=(-3,1,2),=-32,-12,4,=(0,-2,a).設(shè)平面AEF的法向量m=(x,y,z),則,令x=3,則y=95,z=35,得m=3,95,3由·m=-2×95+3a5=0,得a=6,所以G(0,0,6),則=(-3=(-3)2+2.如圖,已知棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn),求證:平面AMN∥平面EFBD.【證明】由正方體的棱長為4,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),N4,2,4,B4,4,=-2,0,4,=0,2,4,=設(shè)平面AMN的法向量為m=x,y,z,則令z=1,解得x=2,y=-2,所以m=2,-設(shè)平面EFBD的法向量為n=a,b,c,則令c=1,解得a=2,b=-2,所以n=2,-2,1,所以所以平面AMN∥平面EFBD.【加練備選】如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD.【證明】因?yàn)锽C⊥CD,AD⊥平面BCD,故以C為原點(diǎn),CD所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,過點(diǎn)C作DA的平行線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)D(a,0,0),0<a<22,C(0,0,0),B(0,8-a2,0),A(a,0,2),M(a,0,1),Pa2,8-Qa4,0,12,=-a4,-8-a22,0,因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量可取為n=則·n=0,又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD.題型二利用空間向量證明垂直問題角度1線線垂直[典例4](1)(2023·聊城模擬)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DD1的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON與AM的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.無法判斷解析：選B.根據(jù)題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在的直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)正方體的棱長為2,則O1,1,0A0,0,0則=0,2,1,=由·=0+2×-1+1×2=0,得⊥,即ON⊥AM.(2)如圖,AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=AD=1,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),M,N分別是BC,BD的中點(diǎn),證明:EF⊥MN.【證明】由題意,連接ED,如圖,=12=12(+)=12(-),同理=+=+12(-)=12(+-),故·=12·12=14(-+·-·-·+·),又AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=AD=1,則·=0,故EF⊥MN.【一題多解】因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=AC=AD=1,所以E12,0,0,F0,12,12,M12,12,0,N12,0,12,所以=-12,12,12,=0,-12,12,所以·=12×-12+12×12=0,所以EF⊥MN.【方法提煉】1.有關(guān)線線垂直的解題策略設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a,b,則a⊥b?a·b=0.2.線線垂直的方法(1)基底向量法;(2)坐標(biāo)向量法.角度2線面垂直[典例5](2022·長春模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1C的中點(diǎn).證明:EF⊥平面A1CD.【證明】建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,如圖,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),因?yàn)镋,F分別為AB,A1C的中點(diǎn),所以E(2,1,0),F(1,1,1),=(2,0,2),=(0,2,0),設(shè)平面A1CD的法向量為m=x,則,即2x+2令x=1,則m=1,因?yàn)?-1,0,1,所以∥m,所以EF⊥平面A1CD.【方法提煉】向量法證明線面垂直的方法(1)證明直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.(2)轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線.角度3面面垂直[典例6](2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則 ()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D解析：選A.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,又EF?平面ABCD,所以EF⊥DD1,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正確;如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,BC10,2,2,則=-1,1,0,=0,1,2,=2,2,0,=2設(shè)平面B1EF的法向量為m=x1則,可取m=2,同理可得平面A1BD的法向量為n1=1,-平面A1AC的法向量為n2=1,平面A1C1D的法向量為n3=1,則m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF與平面A1BD不垂直,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n2不平行,所以平面B1EF與平面A1AC不平行,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n3不平行,所以平面B1EF與平面A1C1D不平行,故D錯(cuò)誤.【方法提煉】證明面面垂直的方法(1)證明兩平面的法向量互相垂直;(2)證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個(gè)平面.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,PA=4,AB=AD=12BC=2,E為棱BC上的點(diǎn),且BE=14BC.求證:DE⊥【證明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,而AB⊥AD,因此可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則有P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),E(2,1,0),=(2,-1,0),=(0,0,4),=(2,4,0),因?yàn)椤?2×0+(-1)×0+0×4=0,·=2×2+(-1)×4+0×0=0,所以DE⊥PA,DE⊥AC,而PA,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC.2.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)求證:AP⊥BC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.【證明】(1)以O(shè)為原點(diǎn),過點(diǎn)O作CB的平行線且以其為x軸,以O(shè)D所在直線為y軸,以O(shè)P所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),故=(0,3,4),=(-8,0,0),所以·=0×(-8)+3×0+4×0=0,所以⊥,即AP⊥BC.(2)因?yàn)镻O⊥平面ABC,AO?平面ABC,所以PO⊥AO,因?yàn)镻O=4,AO=3,所以AP=5,因?yàn)镸為AP上一點(diǎn),且AM=3,所以M0,-65,125,所以=0,95,125,=-4,-165,125,=4,-165,125;設(shè)平面BMC的法向量為n=(a,b,c),則,即-4a令b=1,則n=0,1,43;設(shè)平面AMC的法向量為m=(x,y,z),則,即95y令x=5,則m=(5,4,-3);由n·m=0×5+1×4+43得n⊥m,即平面AMC⊥平面BMC.題型三與平行、垂直有關(guān)的探索性問題角度1與平行有關(guān)的探索性問題[典例7]在四棱錐P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD為梯形.AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°.若M是棱PA的中點(diǎn),則棱BC上是否存在一點(diǎn)F,使得MF與PC平行?解析：不存在.在平面PCD內(nèi)過點(diǎn)D作DH⊥DC,交PC于點(diǎn)H,因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD,且平面ABCD∩平面PCD=CD,可得DH⊥平面ABCD,又由AD⊥DC,所以AD,CD,DH兩兩垂直,以D為原點(diǎn),DA,DC,DH所在直線分別為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°,可得D(0,0,0),P(0,-1,3),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),假設(shè)BC上存在點(diǎn)F,使得MF∥PC,設(shè)=λ,其中λ∈[0,1],因?yàn)镸是棱PA的中點(diǎn),所以M1,-12,32,又由=(-2,1,0),=(-2λ,λ,0),F(2-2λ,1+λ,0),所以=1-2λ,32+λ,-32,=(0,3,-3),設(shè)=μ,可得1-2λ此方程組無解,所以假設(shè)不成立,所以對(duì)于BC上任意一點(diǎn)F,MF與PC都不平行,即在棱BC上不存在點(diǎn)F,使得MF與PC平行.角度2與垂直有關(guān)的探索性問題[典例8](2022·南昌模擬)如圖,正方形ABCD所在的平面與菱形ABEF所在的平面互相垂直,△AEF為等邊三角形.AB=2.(1)求證:AE⊥CF;(2)=λ0≤λ≤1,是否存在λ,使得平面PAE⊥平面DCEF?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解析：(1)連接BF交AE于O,因?yàn)樗倪呅蜛BEF為菱形,所以AE⊥BF,又正方形ABCD所在的平面⊥平面ABEF,且平面ABCD∩平面ABEF=AB,因?yàn)锽C⊥AB,所以BC⊥平面ABEF,所以BC⊥AE,又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCF,因?yàn)镃F?平面BCF,所以AE⊥CF.(2)存在,以O(shè)為原點(diǎn),,的方向?yàn)閤軸,y軸的正方向,過點(diǎn)O作菱形ABEF所在的平面的垂線并以其為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0,-1,0),F(3,0,0),E(0,1,0),D(0,-1,2),C(-3,0,2),因?yàn)?λ,設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則x-3,y所以點(diǎn)P(3-23λ,0,2λ),=(3-23λ,1,2λ),=0,2,設(shè)平面PAE的法向量為m=x1,y令z=1,可得m=2λ23λ-3,0,1,λ≠12,=3,設(shè)平面DCEF的法向量為n=x2,y2,z2,則,令x2=由m·n=0可得λ=38.當(dāng)λ=12時(shí),=(0,1,1),=0,2,0,則y則法向量m=1,0,0,此時(shí)m·n≠0,綜上可知:λ【方法提煉】解決存在性問題的兩種方法(1)利用比例關(guān)系求解;(2)利用三點(diǎn)共線巧設(shè).利用條件建立方程求出參數(shù)值,從而求得答案.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖