高考數(shù)學復習第六章　第五節(jié)　復數(shù)（導學案）

第五節(jié)復數(shù)課程標準1.通過方程的解,認識復數(shù).2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個復數(shù)相等的含義.3.掌握復數(shù)代數(shù)表示式的四則運算,了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.【必備知識】精歸納1.復數(shù)的有關(guān)概念(1)定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位,復數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),a叫做復數(shù)z的實部,b叫做復數(shù)z的虛部.

(2)分類:①復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)實數(shù)(點睛一個復數(shù)為純虛數(shù),不僅要求實部為0,還要求虛部不為0.②復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系(3)復數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).

點睛兩個不全為實數(shù)的復數(shù)不能比較大小.(4)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

2.復數(shù)的幾何意義(1)復平面建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).

(2)復數(shù)的兩種幾何意義①z=a+bi(a,b∈R)復平面內(nèi)的點Z(a,b).②z=a+bi(a,b∈R)平面向量.(3)復數(shù)的模向量的模叫做復數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

a2+b2(a,b3.復數(shù)的運算(1)運算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).(2)運算律條件任意z1,z2,z3∈C加法z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)乘法z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3【常用結(jié)論】1.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).2.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z1||z【基礎(chǔ)小題】固根基教材改編結(jié)論應用易錯易混4,62,31,51.(忽視虛數(shù)不能比較大小)已知z1,z2為復數(shù).若命題p:z1-z2>0,命題q:z1>z2,則p是q成立的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B.因為z1,z2為復數(shù).若z1-z2>0成立,根據(jù)虛數(shù)不可以比較大小可得z1,z2為實數(shù)或虛部相等的兩個復數(shù),無法直接得到z1>z2;若z1>z2成立,則z1,z2為實數(shù),可得z1-z2>0成立,故p是q的必要不充分條件.2.(結(jié)論1)已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)z=i2023+i(i-1)在復平面內(nèi)對應的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選C.因為z=i2023+i(i-1)=-i-1-i=-1-2i,所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(-1,-2),位于第三象限.3.(結(jié)論2)(多選題)設(shè)z1,z2是復數(shù),則下列命題中的真命題是 ()A.若|z1-z2|=0,則z1=B.若z1=z2,則z1=C.若|z1|=|z2|,則z1·z1=z2·D.若|z1|=|z2|,則z12解析：選ABC.對于A,若|z1-z2|=0,則z1-z2=0,z1=z2,所以z1=z對于B,若z1=z2,則z1和z2互為共軛復數(shù),所以z1=z對于C,設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,若|z1|=|z2|,則a12+即a12+b12=所以z1·z1=a12+b12=a22+所以z1·z1=z2·z對于D,若z1=1,z2=i,則|z1|=|z2|,而z12=1,所以z12=z4.(教材變式)如圖,在復平面內(nèi),復數(shù)z1,z2對應的向量分別是,,則z1·z2=.

解析：z1=-2+i,z2=1+2i,z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i.答案:-4-3i5.(弄錯純虛數(shù)的概念)i為虛數(shù)單位,若復數(shù)(1+mi)(i+2)是純虛數(shù),則實數(shù)m等于.

解析：因為(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是純虛數(shù),所以2-m=0,且1+2m≠0,解得m=2.答案:26.(教材變式)已知(1+2i)z=4+3i,則z=.

解析：由(1+2i)z=4+3i,得z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i答案:2+i【題型一】復數(shù)的有關(guān)概念[典例1](1)(2023·郴州模擬)以2i-5的虛部為實部,以5i+2i2的實部為虛部的新復數(shù)是 ()A.2-2i B.2+iC.-5+5i D.5+5i解析：選A.2i-5的虛部為2,5i+2i2=-2+5i的實部為-2,所以要求的新復數(shù)是2-2i.(2)(2022·全國乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b為實數(shù),則 ()A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2解析：選A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,由z+az+b=0,得1+a+b(3)已知a∈R,若a-i(a-2)A.-1 B.0 C.1 D.2解析：選B.因為a-i(a-2)i=(a-(4)(2022·常州模擬)若z1,z2為復數(shù),則“z1-z2是純虛數(shù)”是“z1,z2互為共軛復數(shù)”的 ()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：選D.先驗證充分性:令z1=4i,z2=2i滿足z1-z2是純虛數(shù),但是不滿足z1,z2互為共軛復數(shù),所以充分性不成立;再驗證必要性:令z1=z2=1,滿足z1,z2互為共軛復數(shù),但是不滿足z1-z2是純虛數(shù),所以必要性不成立,所以“z1-z2是純虛數(shù)”是“z1,z2互為共軛復數(shù)”的既不充分也不必要條件.【方法提煉】——自主完善,老師指導解決復數(shù)概念問題的常用方法(1)求一個復數(shù)的實部與虛部,只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),則該復數(shù)的實部為a,虛部為b.(2)復數(shù)是實數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.(3)復數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.(4)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復數(shù)為z=a-bi,則z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,則z【對點訓練】1.如果復數(shù)2+bii(b∈R)的實部與虛部相等,那么b= A.-2 B.1 C.2 D.4解析：選A.2+bii=(所以實部為b,虛部為-2,故b的值為-2.2.(2023·濟南模擬)復數(shù)z=2-i5(其中i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)為 ()A.2-i B.2+i C.1 D.3解析：選B.因為z=2-i5=2-i4+1=2-i,所以z=2+i.3.(2022·南通模擬)已知復數(shù)z與(z+2)2+8i都是純虛數(shù),則z= ()A.2 B.-2 C.2i D.-2i解析：選C.設(shè)z=bi(b≠0),因為(z+2)2+8i=(bi+2)2+8i=4-b2+(4b+8)i為純虛數(shù),所以4-b2=04.下列命題中,正確的命題的個數(shù)是 ()①若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1;②若a,b∈R,且a>b,則a+i>b+i;③若x2+y2=0,則x=y=0.A.0 B.1 C.2 D.3解析：選A.對于①,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的實部和虛部,故①錯誤;對于②,由于兩個虛數(shù)不能比較大小,故②錯誤;對于③,如12+i2=0,但1≠0,i≠0,故③錯誤.【加練備選】1.(2020·全國卷Ⅲ)復數(shù)11-3i的虛部是 A.-310 B.-110 C.110解析：選D.因為11-3i=1+3i(1-3i)(1+3i2.如果復數(shù)m2+i1+mi是純虛數(shù),那么實數(shù)mA.-1 B.0C.0或1 D.0或-1解析：選D.m2+i=m2所以m2+m=0【題型二】復數(shù)的四則運算角度1求復數(shù)的值[典例2](1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+z= ()A.-2 B.-1 C.1 D.2解析：選D.由題設(shè)有1-z=1i=ii2=-i,故z=1+i,故z+(2)(2022·長沙模擬)已知復數(shù)z1=-12+32i,z2=z12z解析：因為z1=-12+3所以z12=14-34-32所以z2=z12z12+z1+2=-12-答案:-12+3【一題多變】[變式1]將本例(2)條件“z1=-12+32i”改為“z1=-12解析：因為z1=-12-32i,所以z12=14-34+32i=-12+32i,所以z2所以z2=-12-3[變式2]本例(2)條件不變,計算z13和解析：z13=z12·z1=(-12-32i)·(-12+z23=z22·z2=(-12+32i)·(-12-32i)=14-(-34)=1.可以發(fā)現(xiàn),角度2與復數(shù)的模有關(guān)的計算問題[典例3](1)(2022·全國甲卷)若z=1+i.則|iz+3z|= ()A.45 B.42 C.25 D.22解析：選D.因為z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-所以iz+3z=4+4(2)(2023·鐵嶺模擬)已知復數(shù)z=cos67.5°+isin67.5°,則|z|2z2A.-22-22i B.-22C.22-22i D解析：選A.由已知得,|z|2=cos267.5°+sin267.5°=1,z2=(cos67.5°+isin67.5°)2=cos267.5°-sin267.5°+2cos67.5°·isin67.5°=cos135°+isin135°=-22+2所以|z|2z2=1-【方法提煉】——自主完善,老師指導1.復數(shù)四則運算問題的解題策略復數(shù)的加減法在進行復數(shù)的加減法運算時,可類比合并同類項,運用法則(實部與實部相加減,虛部與虛部相加減)計算即可復數(shù)的乘法復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可復數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式,這里的分母實數(shù)化可類比分母含根式的分母有理化提醒記住以下結(jié)論,可提高運算速度.①(1±i)2=±2i;②1+i1-i=i;③1-i1+i=-i;④a2.解與復數(shù)的模有關(guān)的計算問題的兩個方法(1)根據(jù)復數(shù)的模的公式|a+bi|=a2+b2(a(2)利用模的性質(zhì)|z|2=|z|2=z·z求解.【對點訓練】1.(2022·長沙模擬)已知i是虛數(shù)單位,若復數(shù)z滿足z(1-i)=(1+i)2,則|z|= ()A.1 B.2 C.2 D.3解析：選B.因為z(1-i)=(1+i)2=2i,所以z=2i1-i所以|z|=1+1=2.2.歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)歐拉公式可知,eπieπ4iA.-22 B.0 C.22 D解析：選B.由歐拉公式eix=cosx+isinx,可得eπieπ4i==-22+22i,所以eπieπ4【加練備選】1.(2021·全國甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,則z= ()A.-1-32i B.-1+3C.-32+i D.-3解析：選B.(1-i)2z=3+2i,z=3+2i-2i=(3+2i)·i-2.(2020·全國卷Ⅰ)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.2 D.2解析：選D.因為z=1+i,所以z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=1+2i+i2-2-2i=-2,所以|z2-2z|=|-2|=2.【題型三】復數(shù)的幾何意義[典例4](1)(2022·重慶模擬)復數(shù)z=i1+2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點位于 (A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選A.z=i1+2i=i(1-2i)(1+2i)(1-2i(2)(多選題)(2022·襄陽模擬)18世紀末期,挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù),使復數(shù)及其運算具有了幾何意義,例如|z|=|OZ|,也即復數(shù)z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離.下列說法正確的是 ()A.若|z|=1,則z=±1或z=±iB.復數(shù)6+5i與-3+4i分別對應向量與,則向量對應的復數(shù)為9+iC.若點Z的坐標為(-1,1),則z對應的點在第三象限D(zhuǎn).若復數(shù)z滿足1≤|z|≤2,則復數(shù)z對應的點所構(gòu)成的圖形面積為π解析：選BCD.令z=12+32i,滿足|z|=1,故A錯誤;復數(shù)6+5i與-3+4i分別對應向量與,則=-=6+5i-(-3+4i)=9+i,故B正確;因為點Z的坐標為(-1,1),所以z對應的點(-1,-1)在第三象限,故C正確;設(shè)z=a+bi,a,b∈R,因為復數(shù)z滿足1≤|z|≤2,所以1≤a2+b2≤2,所以復數(shù)z對應的點所構(gòu)成的圖形面積為π×(2)2-π×12=π,故D正確.【方法提煉】復數(shù)幾何意義的解題策略(1)已知復數(shù)對應點的位置求參數(shù)范圍,可依據(jù)點所在位置建立不等式求解.(2)已知復數(shù)對應的點進行運算時,可建立方程求解.(3)研究復數(shù)模的問題,可利用數(shù)形結(jié)合法,考慮模的幾何意義求解.(4)若復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則|z|=r,點Z在以(0,0)為圓心,r為半徑的圓上.【對點訓練】1.(2023·岳陽模擬)已知復數(shù)z滿足z(1+i)=2i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點所在象限是 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：選A.因為z(1+i)=2i,所以z=2i1+i=2i(1-2.(2022·南通模擬)在復平面內(nèi),O為坐標原點,復數(shù)4i對應的向量為,將繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后,再將模變?yōu)樵瓉淼?倍,得到向量,則對應的復數(shù)的實部是 ()A.6 B.-6 C.23 D.-23解析：選B.=(0,4)繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后變?yōu)?(-23,2),再將模變?yōu)樵瓉淼?倍,得到向量=(-6,23),則對應的復數(shù)的實部是-6.【加練備選】1.如圖所示,在復平面內(nèi),網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都為1,點A,B對應的復數(shù)分別是z1,z2,則|z22z1解析：由題意,z1=i,z2=2-i,所以|z22z1|=|(2-i)2答案:52.若