2024年山東省濟寧市嘉祥縣九年級第二次中考模擬考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

二。二四年九年級第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.本試卷分第I卷和第n卷兩部分，共6頁.第I卷為選擇題，30分；第n卷為非選擇題，70

分；共100分.考試時間為120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必先核對條形碼上的姓名、準考證號和座號，然后用0.5毫米黑色簽字筆

將本人的姓名、準考證號和座號填寫在答題卡相應(yīng)位置.

3.答第I卷時，必須使用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的答案標號（ABCD）涂黑，如需改

動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案.

4.答第n卷時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫，務(wù)必在題號所指示的答題區(qū)

域內(nèi)作答.

5.填空題請直接將答案填寫在答題卡上，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

6.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共30分）

一、選擇題：（本大題共10個小題.每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.四個實數(shù)3,0,2,6中，最大的數(shù)是（）

1L

A--B.0C.2D.V3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)實數(shù)的大小比較法則，即可求解.

【詳解】I?：V--<0<V3<2,

3

最大的數(shù)是2.

故選：C

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)的大小比較法則是解題的關(guān)鍵.

2.下列運算正確的是（）

3515

A.x.x=xB.（2/）3=8/

C.x9^-x3=x3D.x2+x3—x5

【答案】B

【解析】

【分析】此題考查了同底數(shù)塞的乘除法、幕的乘方和積的乘方、合并同類項等的運算能力.運用同底數(shù)幕

的乘除法、塞的乘方和積的乘方、合并同類項等運算法則進行逐一計算、辨別即可.

【詳解】解：A、X3.？=x8＞故錯誤，不合題意;

B、（2/）3=8/,故正確，符合題意；

C、x9-x3=x6,故錯誤，不符合題意；

D、必+》3不能合并，故錯誤，不合題意；

故選：B.

3.如圖是由6個相同的小立方塊搭成的幾何體，那么這個幾何體的左視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：從左邊看第一層是三個小正方形，第二層中間一個小正方形.

故選：A.

4.將含有45°角的三角板和直尺按如圖方式疊放在一起，若Nl=30°,則N2度數(shù)（）

D.10°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件可得/￡FG=/l=30°,再根據(jù)=即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

???AS11CD,/EM=45°,

Z1=ZEFG,

??-Zl=30°,

ZEFG=/I=30°,

Z1=NEFH-NEFG=45°-30。=15。，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

5.某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的

平均數(shù)和方差如下表：

甲乙丙T

平均數(shù)/cm169168169168

方差6.017.35.019.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名平均成績好，且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，最合適的人選是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的意義解答即可.

【詳解】解：由平均數(shù)可知，“=喝〉&=三丁，

二甲與丙二選一，

又由方差可知，S丙2<S甲2,

選擇丙.

故選：C

【點睛】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的意義，理解兩者所代表的的意義是解答關(guān)鍵.

6.若關(guān)于尤的一元二次方程AX2-6X+9=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k<\B.k<\C.左<1且左wOD.左<1且左70

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程履2—6x+9=0有實數(shù)根可知道判別式大于等于零且左70,解不等式即可求

解.

【詳解】解：???方程依2_6》+9=0有實數(shù)根，

??.A=Z>2—4ac=（—6『一4x9左=36—36左20,k70,

,且上70.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.當(dāng)判別式

△=62-4ac〉0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式△=62-4四=0時，一元二次方程

有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)判別式A=〃—4ac<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.

7.如圖，在OO中，OA1BC,ZADB=30°,8c=20，則。C=（）

A.1B.2C.2GD.4

【答案】B

【解析】

【分析】連接由圓周角定理得2408=60°,由。4L8C得，ZCOE=ZBOE=60°,

CE=BE=5在RtzJ9CE中，由。C=----------,計算即可得到答案.

sin60

【詳解】解：連接。5,如圖所示,

?/NADB=30°,

ZAOB=2NADB=2x30°=60°，

???OALBC,

ZCOE=ZBOE=60°,CE=BE=-BC=-x2y/3=43,

22

在RMOCE中，NCOS=60°,CE=G，

°C=-h

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，垂

徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

8.如圖，在RLNBC中，NC=90°,AB=5,BC=3,以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交

AB,ZC于點￡,F,分別以點￡,E為圓心，大于廠的長為半徑作弧，兩弧在/A4c的內(nèi)部相交

2

于點G,作射線ZG,交BC于點、D,則AD的長為（）

【答案】D

【解析】

【分析】過點。作。新1于由勾股定理可求得NC=4,由題意可證明△ZDC四△ZZW,則可

得/M=NC=4,從而有應(yīng)/=1，在Rt△。暇B中，由勾股定理建立方程即可求得結(jié)果.

【詳解】解：過點。作。加工48于M,如圖，

由勾股定理可求得AC=y]AB2-BC2=4，

由題中作圖知，AD平分NBAC,

?：DM1AB,ACIBC,

：.DC=DM,

?/AD=AD,

：.RtAADC^RtAADM,

AM=AC=4,

/.BM=AB-AM=1；

設(shè)BD=x,則Att）=CD=8C—80=3—x,

在RdDl四中，由勾股定理得：12+（3-X）2=X2,

解得：x=—,

3

即BD的長為為一；

3

故選：D.

EX\

XGirl【點睛】本題考查了作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形

A'FC

的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用全等的性質(zhì)、利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知拋物線>云+c（a。0）的對稱軸是直線x=l,且過點（-1,0）,頂點在第一象限，

其部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：?ab<0；②4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若/（XQJ,

B（x2,y2）（其中石<馬）是拋物線上的兩點，且再+%>2，則%>%，其中正確的選項是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得"0,b=—2a,b>0,可判斷結(jié)論①；由X=2處的函數(shù)值可判斷結(jié)

論②；由x=—l處函數(shù)值可判斷結(jié)論③；根據(jù)國+々〉2得到點到對稱軸的距離小于點

8（%，8）到對稱軸的距離可判斷結(jié)論④.

【詳解】解：二次函數(shù)開口向下，則公0,

二次函數(shù)對稱軸為x=l,則—2=1,b=—2a,b>0,

2a

■■■ab<Q,故①正確；

T過點（TO）,

???由對稱性可得二次函數(shù)與x軸的另一交點為（3,0）,

由函數(shù)圖象可得x=2時y〉0,

■-4a+2b+c>0,故②正確；

:x=—1時N=O,

Gt—6+C=0,

6=-2a代入得：3a+c=0,故③錯誤；

???對稱軸是直線x=1,

...若再；9=],即西+》2=2時，%=為，

.?.當(dāng)X]+x2>2時,

點A（Xl，必）到對稱軸的距離小于點5（X2,J2）到對稱軸的距離

???二次函數(shù)開口向下

；?%>%，故④正確.

綜上所述，正確的選項是①②④.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)符號的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第"個圖中的4=143,則P的值為（）

A.100D.169

【答案】B

【解析】

【分析】分別分析〃的規(guī)律、p的規(guī)律、《的規(guī)律，再找〃、P、4之間的聯(lián)系即可.

【詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知:

n—1,2,3,4,

^=12,22,32,42,......

7=22-1,32-1,42-1,52-1,……

則）=〃2,q=（〃+l）2-l,

?.?第〃個圖中的q=143,

.,.q=（〃+1）2-1=143,

解得：〃=11或〃=-13（不符合題意，舍去）

p=/=121,

故選：B.

【點睛】本題主要考查數(shù)字之間規(guī)律問題，將題中數(shù)據(jù)分組討論是解決本題的關(guān)鍵.

第n卷（非選擇題共70分）

二、填空題（本題5個小題，每小題3分，共15分）

11.據(jù)5G云測平臺實測數(shù)據(jù)顯示，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達到每秒1300000KB以上，將數(shù)據(jù)

1300000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.3xl06

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為0X10"的形式，其中1V忖＜10,"為整數(shù)，確定〃的值時，要看把

原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n

是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時〃是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：1300000=1.3x1()6

故答案為：1.3x106.

【點睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

12.分解因式：xy2+6xy+9x=.

【答案】x(j+3)2

【解析】

【分析】本題考查提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式x,再利用完全平方公式分解因式

得出答案.正確運用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：xy2+6xy+9x

=x(v2+6j+9)

=x(v+3)2.

故答案為:x(j+3)2.

13.08三個頂點的坐標分別為幺(5,0),<9(0,0),8(3,6),以原點O為位似中心，相似比為：，將

“OB縮小，則點B的對應(yīng)點B'的坐標是.

【答案】(2,4)或(-2,-4)##(-2,-4)或(2,4).

【解析】

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可.

2

【詳解】解：頂點B的坐標為(3,6),以原點O為位似中心，相似比為,，將△408縮小，

2222

.?.點8的對應(yīng)點夕的坐標為(3X],6xy)或(3x(-]),6x(-j)),即(2,4)或(-2,-4),

故答案為：(2,4)或(-2,-4).

【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似

比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于左或次.

14.如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形.若母線長/為6cm,扇形的圓心角。為

120°,則圓錐的底面圓的半徑廠為cm.

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的計算，首先求得展開之后扇形的弧長也就是圓錐的底面周長，進一步利用弧長

計算公式求得圓錐的底面圓的半徑r.

【詳解】解：由題意得：母線長/為6cm,-12?,

,1207rx6

Zir-------------

180°

r=2cm，

故答案為：2.

15.如圖，在正方形N8CD中，4B=4,G是8c的中點，點￡是正方形內(nèi)一個動點，且￡G=2,連接

DE,將線段DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接CF,則線段C廠長的最小值為

【答案】275-2

【解析】

【分析】如圖，由EG=2,確定E在以G為圓心，半徑為2的圓上運動，連接/E,再證明

YADE卻CDF(WS),可得N￡=CE,可得當(dāng)4E,G三點共線時，ZE最短，則CE最短，再利

用勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，由EG=2,可得E在以G為圓心，半徑為2的圓上運動，連接NE,

:正方形ABCD,

AD=CD,￡)ADC=9Q°,

\BADC=BEDF=90°,

：.E)ADE=E)CDF,

'：DE=DF,

：.MADE^/CDF(SAS),

AE=CF,

...當(dāng)4E,G三點共線時，4E最短，則CE最短，

位8C中點，BC=AB=4,

BG=2,

此時ZG=1BG?+AB。=A/22+42=275,

此時幺￡=2后-2,

所以C尸的最小值為：2亞-2.

故答案為：2亞-2

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡，熟練的利用圓

的基本性質(zhì)求解線段的最小值是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共7個小題，共55分)

…64+9+]+2+上],其中。是使不等式成立的正整數(shù).

16.先化簡，再求值:

a—2I2—u)2

【答案］巴d——3

<7+32

【解析】

【分析】先根據(jù)分式混合運算法則進行化簡，然后求出不等式的解集，得出正整數(shù)。的值，再代入數(shù)據(jù)計

算即可.

■、斗比刀、h.na2—6a+9（-5）

【詳解】解：----------<7+2+-——

a-2（2-u）

（。-3）2（2+Q）（2-Q）5

=------------r---------------------1--------

a—22—。2—。

_（"3）24-a2+5

ci—22—Q

（a-3）2-a

a—2（3+a）（3-a）

a—3

一，

a+3

Q—1

解不等式——<1得：?<3,

2

???。為正整數(shù)，

??6Z—1,2,3,

???要使分式有意義〃—2w0,

??aw2,

;,當(dāng)。=3時，Q+2-I—--=3+2-1—--=0，

2-a2-3

??aw3,

1-31

，把。=1代入得:原式=----二—.

1+32

【點睛】本題主要考查了分式化簡求作，分式有意義的條件，解不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合

運算法則，準確計算.

17.某校為了調(diào)查本校學(xué)生對航空航天知識的知曉情況.開展了航空航天知識競賽，從參賽學(xué)生中，隨機抽

取若干名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表：

成績/分頻數(shù)/人頻率

60<x<70100.1

70<x<8015b

80<x<90a0.35

90<x<10040C

請根據(jù)圖表信息解答下列問題：

⑴求a,b,c的值；

(2)補全頻數(shù)直方圖；

(3)某班有2名男生和1名女生的成績都為100分，若從這3名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加演講，用

列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2名學(xué)生恰好為1男1女的概率.

【答案】(1)G=35,6=0.15,c=0.4.

2

(2)見解析(3)—

【解析】

【分析】(1)根據(jù)6070的人數(shù)和頻率可求抽取總?cè)藬?shù)，再由頻率的定義求出.、b、c即可；

(2)由(1)中。的值，補全頻數(shù)分布直方圖即可；

(3)畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有4種,

再由概率公式求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意得：抽取學(xué)生總數(shù)10+01=10。(人)，

?=100x0.35=35,

6=15+100=0.15,

c-404-100=0.4.

【小問2詳解】

解：補全頻數(shù)分布直方圖如圖：

【小問3詳解】

共有6種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有4種,

42

，選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為一=一.

63

【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖等知識.樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與

總情況數(shù)之比.

18.如圖，已知坐標軸上兩點2(0,4),8(2,0),連接4g,過點3作3C1/3,交反比例函數(shù)歹=與在第

一象限的圖象于點eg,1).

(1)求反比例函數(shù)歹=?和直線0c的表達式；

X

3

(2)將直線。。向上平移一個單位，得到直線/,求直線/與反比例函數(shù)圖象的交點坐標.

2

41

【答案】(1)y——,y=-x

x4

⑵（2,2）或卜8,一5

【解析】

【分析】（1）如圖，過點軸于點。，證明△NBOSABCD,利用相似三角形的性質(zhì)得到

BD=2,求出點C的坐標，代入歹=（可得反比例函數(shù)解析式，設(shè)0c的表達式為歹=加工，將點C（4,l）

代入即可得到直線0C的表達式；

（2）先求得直線/的解析式，聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式即可求得交點坐標.

【小問1詳解】

BCVAB,

：./ABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=90°,

,ZNCDB=90°,

：.ZBCD+ZCBD=90°,

：./BCD=ZABO,

/.AABOSABCD,

.OABD

,?礪一而‘

?.?2(0,4),8(2,0),

OA—4,OB=2,

.4BD

??一,

21

BD=2,

OD=2+2=4,

.?.點C（4,l）,

k

將點C代入歹=一中,

x

可得上=4,

4

?1?J=-

x

設(shè)0c的表達式為V=

將點C（4,1）代入可得1=4加，

解得：m=-,

4

...0c的表達式為y=；x；

【小問2詳解】

13

直線/的解析式為

134

當(dāng)兩函數(shù)相交時，可得一x+—=一,

42x

解得M=2,x=-8,

代入反比例函數(shù)解析式，

直線/與反比例函數(shù)圖象的交點坐標為（2,2）或1-8,

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交

點問題，一次函數(shù)的平移問題，解一元二次方程等知識.

19.某大型超市購進一款熱銷的消毒洗衣液，由于原材料價格上漲，今年每瓶洗衣液的進價比去年每瓶洗衣

液的進價上漲4元，今年用1440元購進這款洗衣液的數(shù)量與去年用1200元購進這款洗衣液的數(shù)量相同.當(dāng)

每瓶洗衣液的現(xiàn)售價為36元時，每周可賣出600瓶，為了能薄利多銷.該超市決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，這種洗衣液的售價每降價I元，每周的銷量可增加100瓶，規(guī)定這種消毒洗衣液每瓶的售價不低于

進價.

（1）求今年這款消毒洗衣液每瓶進價是多少元；

（2）當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為多少元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少

元？

【答案】（1）今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元；

（2）當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是（X-4）元，根據(jù)

題意列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為機元時，這款洗衣液每周的銷售利潤W最大，根據(jù)題意得出：

w=（機一24）[100（36-機）+600],根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案.

【小問1詳解】

解：設(shè)今年這款消毒洗衣液每瓶進價是x元，則去年這款消毒洗衣液每瓶進價是（%-4）元,

14401200

根據(jù)題意可得：——

x

解得：x=24,

經(jīng)檢驗：x=24是方程的解,

X—4=24—4=20元，

答：今年這款消毒洗衣液每瓶進價是24元.

【小問2詳解】

解：設(shè)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為m元時，這款洗衣液每周的銷售利潤w最大,

根據(jù)題意得出：w=（機—24）[100（36-m）+600],

整理得：w=-100m2+6600m-100800)

6600門

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：當(dāng)m=-2x（700）=33時,利潤最大,

最大利潤為：w=（33-24）[100（36-33）+600]=8100,

答：當(dāng)這款消毒洗衣液每瓶的售價定為33元時，這款洗衣液每周的銷售利潤最大，最大利潤是8100元.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

20.圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段48c表示車后蓋，已知4B=lm,5C=0.6m,

ZABC=123°,該車的高度NO=L7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋48C落在4g'c'處，48'與水平

面的夾角N8'Z￡>=27°.

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點8'到地面/的距離;

(2)若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan270~0.510,V3?1.732）

【答案】(1)車后蓋最高點3'到地面的距離為2.15m

(2)沒有危險，詳見解析

【解析】

【分析】(1)作垂足為點E,先求出的長，再求出8'￡+2。的長即可；

(2)過。作C'ELB'E,垂足為點少，先求得ZAB'E=63°,再得到

ZC'B'F=AAB'C-ZAB'E=60°,再求得B'F=8'C'?cos60。=0.3,從而得出C到地面的距離為

2.15-0.3=1.85,最后比較即可.

【小問1詳解】

如圖，作B'E,垂足為點E

B'

￥

1

~61

在RtZ\48'E中

1.,ZB'AD=27°,AB'=AB=1

sin270=—

AB'

：.B'E=AB'sin27°a1x0.454=0.454

?.?平行線間的距離處處相等

/.B'E+AO=0.454+1.7=2.154。2.15

答：車后蓋最高點8'到地面的距離為2.15m.

【小問2詳解】

沒有危險，理由如下：

過C'作垂足為點少

B'

3(

O

???ZB'AD=27°,NB'EA=90°

ZAB'E=63°

?：ZAB'C=ZABC=123°

：.NC'B'F=ZAB'C-ZAB'E=60°

在RtAB'FC'中，B'C=BC=0.6

...SfF=B,C,-cos600=0.3.

...平行線間的距離處處相等

二C'到地面的距離為2.15-0.3=1.85.

V1.85>1.8

???沒有危險.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則

稱原三角形為關(guān)于該邊的“化益美三角”.

例如，如圖1,在中，2。為邊上的中線，△48。與△C84相似，那么稱A48c為關(guān)于邊

8c的“華益美三角”.

(1)如圖2,在中，BC=4iAB，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”;

（2）如圖3,已知A4BC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”，點。是AA8C邊的中點，以AD為直徑的

。。恰好經(jīng)過點A.

①求證：直線C4與。。相切；

②若。。的直徑為26，求線段48的長.

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②AB=4

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及解一元二次

方程等知識，理解“華益美三角”的含義，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)中線的定義可設(shè)=即BC=2x,再由3。=啦/8，可得理=Y互=《，

BC2xV2

BDx1ABBD

——=r-=—j=,即有---=----,結(jié)合NB=NB,可得,問題得證；

ABJ2xJ2BCAB

（2）①連接。4,根據(jù)可得NC4D=NZBC,根據(jù)5。為。。的直徑，可得

ZABC+ZADB=90°,根據(jù)。4=0。，可得N04D=N0D4,即有NO4D+NC4D=90°,可得

OA1AC,問題得證；②由題意可知△NCDs/^gcZ,BD=CD,即有江=必，—,可

BCACBCAC

得AC?=BCxCD，即有AC=<BCxCD=4也，進而可得45=/40，在Rt△/助中，有

DB2=AB2+AD2）即有（2&『=482+［需］,解方程即可求解.

【小問1詳解】

證明：如圖，

為A48C的中線，

BD—DC—x,即BC=2x,

BC=42AB，

i2xI-

AB=_BC=-=Cx,

V2V2

p..AB瓜1BDx1

乂—____—=———=——

■BC2x41'AB41XV2

.ABBD

,,正一布‘

又,：NB=NB,

：.AABD-ACBA；

...AABC為關(guān)于邊BC的“華益美三角”；

【小問2詳解】

①證明：連接CM,如圖，

由題意可知,

ACAD=/ABC,

又?：BD為OO的直徑，

：.ZABC+ZADB=90°,

又：OA=OD,

：.NOAD=NODA,

：.ZOAD+ZCAD=90°,

：.0A1AC,

又「QZ為OO的半徑，

???C4為OO的切線；

②?.?由題意可知BD=CD,

.AC_CDABAD

??瓦一就‘BC-AC'

；.AC?=BCxCD，

1/GO的直徑為2戊，

:.BD=CD=2a,BC=4瓜,

/.AC=sjBCxCD=4G>

..ABAD

'BC-AC*

ABAD

?4庭—4G

AB=CAD，

,/在RtAABD中，DB-=AB2+AD2，

2

/.（276）2=AB2+

解得：48=4（負值舍去）;

22.如圖1,拋物線＞="2+區(qū)+4與x軸交于2（-1,0）,8（3,0）,與了軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點尸為拋物線第一象限內(nèi)動點，求四邊形尸80c的面積的最大值；

（3）如圖2,點M從點C出發(fā)，沿的方向以每秒1個單位長度的速度向終點8運動，同時點N從B

出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿8-。fC的方向向終點C運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一

點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為/秒.當(dāng)腦V是直角三角形時，求才的值.

4,8

【答案】（1）y=—x"+—x+4

“33

【解析】

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可;

（2）如圖1,連接8C,過點尸坐尸舊〃丁軸，交BC于點H,待定系數(shù)法求8c解析式為

k-3+4,2則m,-ym+4j,4,

設(shè)P\m,--m+—m+4],PH=——m~+4m,根據(jù)

,3I33J3

S四邊形尸go。=S^soc+S小尸+S^cp"=；yx3x4+jx3x尸//=—2加―5+7，然后求最值即可；

OB3OC4OB3

(3)由勾股定理得BC=Joe?+O32=5，則cosB=---=—，cosC=----=—,sinC=---=—,由題意

BC5BC5BC5

知，M、N運動5秒后停止，當(dāng)0</K3時，N在03上運動，當(dāng)3</45時，N在。。上運動，①當(dāng)

0</<3時，&BMN是直角三角形分ZBNM=90°和ZBMN=900兩種情況求解②當(dāng)3</<5時，N

在OC上運動，分ZBNM=90°和ZBMN=900兩種情況求解即可.

【小問1詳解】

解：將2(-1,0),8(3,0),代入>="2+樂+4得八八

''''0=9。+36+4

4

a-——

解得《。3，

[3

48.

..V——X2H—x+4,

33

48

???拋物線的解析式為J=-yX92+-X+4；

【小問2詳解】

解：如圖1,連接8C,過點尸坐尸軸，交BC于點、H,

當(dāng)x=0時，y-4,即C（0,4）,

設(shè)BC解析式為^=Ax+d,

、、\3k+d=0

將8（z3,0）,C（z0,4）代入得，4=4,

k——

解得，］3,

d