河北省張家口市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

張家口市2022?2023學(xué)年第二學(xué)期高一期末

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位數(shù)為（）.

A70B.75C.80D.88

2.已知向量a,b滿足|a|=2,|可=3,a-b=l'則人在a上的投影向量為（）.

1.1.11,

A—u,B.—ciC.-bD.-b

4293

3.已知圓錐的體積為遞7T，底面面積為2兀，則該圓錐的側(cè)面積為（）.

3

A.20HB.回乳C.3兀D.2屈

4.某校為了讓學(xué)生度過一個(gè)充實(shí)假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計(jì)劃.已知該校高一年

級(jí)有400人，占全校人數(shù)的工，高三年級(jí)占4，為調(diào)查學(xué)生計(jì)劃完成情況，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣

36

的方法從全校的學(xué)生中抽取10%作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖所示統(tǒng)計(jì)圖，則樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的

A.80B.90C.9D.8

5.在AABC中，G為△ABC的重心，M為AC上一點(diǎn)，且滿足MC=3AM，則

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB-—AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

6.在三棱錐A-BCD中，ABAC=ZCAD=ZDAB=4()°,AB^AC=AD=2,一只蝸牛從B點(diǎn)出

發(fā)，繞三棱錐三個(gè)側(cè)面爬行一周后，到棱AB的中點(diǎn)E，則蝸牛爬行的最短距離是().

A.+B.75C.76D."

7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P,Q是GR,的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面a,使得平面

。//平面8?！?。，則平面a截正方體所得截面的面積是()

A.B.2C.-D.—

222

8.在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足sin8一百cosC=9"二")，

2ab

b

則一的取值范圍為().

c

A.32B.仁,+8

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.實(shí)數(shù)x,y滿足(l+i)x+(i-l)y=2,設(shè)2=》+同，貝ij().

A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.|z|=V2

2

C.Z的虛部是-1D.-=-i

Z

10.已知函數(shù)/(x)=4cos(2x-m),則()

A.f(x)圖象的對(duì)稱中心為［五+彳,()|,ZeZ

B./(/x)\的單調(diào)遞減區(qū)間為一§71+2E，d7C+2EI,keZ

C.為了得到函數(shù)y=4cos2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

D.為了得到函數(shù)y=4sin2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

6

11.一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號(hào)為1,3的兩個(gè)紅球，編號(hào)為2,4的兩個(gè)藍(lán)球，編號(hào)為5,6的兩

個(gè)黑球.現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A="取出的兩球顏色相同"，8="取出的兩球編號(hào)之差的絕對(duì)值

為1"，C="取出的兩球編號(hào)之和為6或7"，￡>=''取出的兩球編號(hào)乘積為5”，則下列說法正確的是

().

A.事件A與事件8相互獨(dú)立B.事件A與事件C相互獨(dú)立

C.事件B與事件C相互獨(dú)立D.事件B與事件D互斥

12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M是。C中點(diǎn)，E是線段AG(包含端點(diǎn))上任意一

A.三棱錐3-AWE的體積為定值

B.存在點(diǎn)E,使得直線3E與平面A5CO所成角為30°

C.平面BCGg內(nèi)一定存在直線/,使得/〃平面

D.存在點(diǎn)E,使得8A_L平面4啰

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件B為“恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)”，事件C為“至少有兩次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)“，則P(A)+P(B)+P(C)=.

14.已知|z-2+i|=2,則|z|的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(x)=2sin［s+；j?>0)在區(qū)間［0,兀］上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

16.已知正四面體A-BCD，。是底面88的中心，以Q4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)180°后，與原四

面體的公共部分的體積為之包，則正四面體A-3CD外接球的體積為.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量a,b=(2,A).

(i)若a//。，求的值；

(2)若卜叫=,+可，求實(shí)數(shù)X的值；

(3)若a與〃的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

18.為了了解全校學(xué)生計(jì)算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計(jì)算能力測(cè)驗(yàn).現(xiàn)對(duì)全校學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)做

統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù);

(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的情況，從成績(jī)?cè)冢?0,HX)］之間的學(xué)生中，采用按比例分配的分層

隨機(jī)抽樣方法，選取7名學(xué)生進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@7名學(xué)生中任選2名學(xué)生在總結(jié)大會(huì)上發(fā)言，求抽到的兩

人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的概率.

19.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，D,M,N,P分別是AB,M,BB,,CC的中點(diǎn).

⑴求證：BP//平面MDC；

(2)設(shè)A5=AC=CB=2,34=4,求異面直線GN與CM所成角的余弦值.

20.如圖，在一ABC中，/84C為鈍角，。在8c上，且滿足/CAD=$,AB=3,BC=3日

6

(1)若。二一，求Z8W；

6

(2)若M是3c的中點(diǎn)，cosZBAC=--,求AM的長(zhǎng)度.

21.已知函數(shù)/(x)=4sin5cos

⑴若=求cosa+

6)

⑵若不等式/2(6-%〈/(力+2對(duì)任意xe-py恒成立，求4的取值范圍.

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，NA=60°，AD=2.AB=4，將△AB￡＞沿8。折起到一A'BD,

滿足AC=2石.

⑴求證：平面A3OJ_平面3CO；

(2)若在線段AC上存在點(diǎn)M,使得二面角M—BD—C的大小為6()。，求此時(shí)CM的長(zhǎng)度.

張家口市2022?2023學(xué)年第二學(xué)期高一期末

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和考號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位數(shù)為（）.

A70B.75C.80D.88

【答案】C

【解析】

【分析】把給定的由小到大排列的數(shù)據(jù)，根據(jù)第p百分位數(shù)的定義求解作答.

【詳解】依題意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位數(shù)為80.

故選：C

2.已知向量匕滿足同=2,1|=3,ab則b在a上的投影向量為（）.

1.1.八1:1,

A.—ciB.—aC.—bD.-b

4293

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.

aba\a\

【詳解】根據(jù)投影向量的定義可得，匕在。上的投影向量為〒=彳乂彳=：。.

同冏224

故選：A

3.已知圓錐的體積為迪兀，底面面積為2兀，則該圓錐的側(cè)面積為（）.

3

A.2及兀B.V107tC.D.2A/3TT

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐體積公式可求得高〃=百，根據(jù)圓錐的底面積公式可求得半徑「=血，從而可求得

圓錐的母線長(zhǎng)/=石，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】令圓錐的高為4,底面半徑為，，母線為/,

由圓錐的體積公式V=，S/7,可得逑兀=』x2無x/7,解得/l=G，

333

由圓錐的底面積公式S=7i，，可得兀/=2兀，解得廠=垃，

所以圓錐的母線長(zhǎng)/=折17=6，

所以5側(cè)=nrl=nx\/2xy[5=V107t.

故選：B.

4.某校為了讓學(xué)生度過一個(gè)充實(shí)的假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計(jì)劃.已知該校高一年

級(jí)有400人，占全校人數(shù)的工，高三年級(jí)占!，為調(diào)查學(xué)生計(jì)劃完成情況，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣

36

的方法從全校的學(xué)生中抽取10%作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖所示統(tǒng)計(jì)圖，則樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的

【答案】D

【解析】

【分析】首先計(jì)算出計(jì)算出樣本容量為120人，則高三年級(jí)有20人，根據(jù)高三完成率即可得到答案.

【詳解】丁=1200,1200x10%=120,故樣本容量為120,其中高三年級(jí)有120x1=20人，

36

由圖可知，樣本中高三年級(jí)假期學(xué)習(xí)計(jì)劃的完成率為40%,

故樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的人數(shù)為20x40%=8，

故選：D.

5.在A48c中，G為△ABC的重心，M為AC上一點(diǎn)，且滿足MC=3AM，則

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB-—AC

312312

1717

C.GM=——AB+—ACD.GM=-AB——AC

312312

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法和減法即可判斷結(jié)論.

【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：

根據(jù)向量加法運(yùn)算可得GM=G4+AM

因?yàn)镚為AABC的重心，M滿足MC=3AM

2111

所以AG=-x-(AB+AC)=-(AB+AC),AMAC

3234

所以GM=—(gA8+gAc]+；AC

11

=——AB——AC

312

所以選B

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.在三棱錐A—中，ABAC^ZCAD^ZDAB=40°,A3=AC=AT>=2,一只蝸牛從B點(diǎn)出

發(fā)，繞三棱錐三個(gè)側(cè)面爬行一周后，到棱的中點(diǎn)￡,則蝸牛爬行的最短距離是0.

A.73B.V5C.76D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】將三棱錐的側(cè)面展開，從而可知線段8E為所求，再利用余弦定理即可得解.

【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，則線段5E為所求，

由題意得，ZEAB=120°,AB=2,AE^\,

由余弦定理可得BE。=AB2+AE2-2AB-AE-cosZ.BAE=4+l-2x2xlx[-；）=7,

則BE=5，即蝸牛爬行的最短距離是手.

故選：D.

7.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。—A4Gq中，P，。是G。，4G的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面a,使得平面

。//平面6?！?。，則平面a截正方體所得截面的面積是（）

A.B.2C.-D.—

222

【答案】C

【解析】

【分析】取4。中點(diǎn)用，44中點(diǎn)N,利用面面平行的判定定理確定平面a,利用余弦定理及三角形面

積公式求解即可.

【詳解】如圖，取AA中點(diǎn)M，A"中點(diǎn)N,連接MN,AM,4V,

因PQ//MN,MNU平面BDPQ,PQu平面8DPQ,所以MN//平面5。尸。，

又PD//AN,4NZ平面8。尸。，PDu平面BDPQ,所以4V//平面BOPQ,又

AMoAN^A,

AMu平面A肱V,4Vu平面AA/N,所以平面PQB。//平面4VW,

即三角形AMN為所得截面a,

在，中，AM=AN=jAA^+AN2=6MN=y[i，

AM2+AN2-MN5+5-24

由余弦定理得cosNMAN=----------------

2AMAN2xV5xV5-5

所以sinNMAN=A/1-COS2ZM47V=-,

所以S”,==AM-ANsinNMAN=L義下又加義2=

2252

故選：C.

V3(c2-a2

8.在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足sin8-geosC=

2ab

b

則2的取值范圍為（）.

c

B.1化2+00

12，

【答案】A

【解析】

【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得sinA=Y3.，進(jìn)而求得A=g,再把勺化為

23c

sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC171兀

----------------------------------------------=---------------1—,結(jié)合Ce即可求解.

sinCsinCsinC2tanC26,2

【詳解】sinB-y/3cosC-——------,:.2absinB-2\/3abcosC-y/3c2—y/3a2,

2ab

/.2absinB=V3c2-V3tz2+lyfiahcosC=y/3^c2-a2+2ahcosC)=>/3(c2-?2+(72+/?2-c2),

即labsmB=V3Z?2,/.2sinAsin2B=>/3sin2B，

匹［％］，「?sinBwO，小也人二*.

AGI0,—I,.,.A=—cosA=—,

I2j32

bsinB_sin(/4+C)_sinAcosC+cosAsinC_>/3

csinCsinCsinC2tanC2

,JI兀

C6

23(22

tanCe,+8---—€(0,—€2

?tanCcr-

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.實(shí)數(shù)x,y滿足(l+i)x+(i—l)y=2,設(shè)z=x+yi,則().

A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.\z\=V2

z.

C.z的虛部是-]D.-=—1

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)z,再逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.

x-y=2

【詳解】由(l+i)x+(i-l)>=2,得(x-y)+(x+y)i=2,而x,yeR,則<解得

x=-y=l,即z=l-i，

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,-1)在第四象限，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,|Z|=yji2+(―I)2=V2，B正確;

對(duì)于C,z的虛部是-1,C正確;

z1-i(l-i)(l-i)-2i

對(duì)于D,3=4r(i+i)(i-i)=T=fD正確.

故選：BCD

10.已知函數(shù)/(x)=4cos(2x-*1),則()

57tku

A.7(x)圖象的對(duì)稱中心為一十一,0,keZ

122

/\717CI

B./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一§+2E，d+2E,keZ

C.為了得到函數(shù)y=4cos2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

D.為了得到函數(shù)y=4sin2x的圖象，可將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

6

【答案】AC

【解析】

【分析】用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，采用整體代入的思想判斷A、B,利用圖象左右平移法則判斷選項(xiàng)C、

D.

【詳解】令2》-署界也，解得》=*等，A=，所以函數(shù)〃x)圖象的對(duì)稱中心為佟+等,。]，

ktZ,

故A正確；

兀7C2兀

令2EW2x—〈兀+2E,解得一+E<x<---kkit,

363

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為2+E，斗+EMGZ,故B錯(cuò)誤；

將“X)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得y=4cos2x+gg=4cos2x,故C正確；

6[_\6J3_

將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得

6

v=4cos2x————=4cos2x----|H4sin2x,

LI6j3jI3)

故D錯(cuò)誤；

故選：AC

11.一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號(hào)為1,3的兩個(gè)紅球，編號(hào)為2,4的兩個(gè)藍(lán)球，編號(hào)為5,6的兩

個(gè)黑球.現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A="取出的兩球顏色相同"，8="取出的兩球編號(hào)之差的絕對(duì)值

為1"，C="取出的兩球編號(hào)之和為6或7”，。="取出的兩球編號(hào)乘積為5”，則下列說法正確的是

().

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件C相互獨(dú)立

C.事件3與事件C相互獨(dú)立D.事件B與事件?；コ?/p>

【答案】ABD

【解析】

【分析】列出6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球的全部結(jié)果，從而可以求解事件48,。,。,48,4。,8。的概率，

再結(jié)合互斥事件與獨(dú)立事件的定義即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意可知，6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球，共有15種可能，分別為(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3種可能，即(1,3),(2,4),(5,6),.-.P(A)=—=-；

事件B包含5種可能，即(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),r.P(8)=5=：；

事件C包含5種可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),P(C)=得=；；

事件。包含1種可能,即(1,5),.?.p(￡>)$.

事件A8,AC,8c分別為(5,6),(2,4),(3,4)各1種可能，

對(duì)于A,P(AB)=x=P(A)P(B),A對(duì)；

對(duì)于B,P(AC)$=P(A)P(C),B對(duì);

對(duì)于C,P(3C)=AHP(B)P(C),C錯(cuò)；

對(duì)于D,事件B與事件。不能同時(shí)發(fā)生，故事件8與事件。互斥，D對(duì).

故選：ABD.

12.如圖，已知正方體ABCD-A4GR的棱長(zhǎng)為1，M是。C中點(diǎn)，E是線段4G(包含端點(diǎn))上任意一

點(diǎn)，則().

a?

A.三棱錐5-的體積為定值

B.存在點(diǎn)E,使得直線8E與平面A8CO所成角為30。

C.在平面內(nèi)一定存在直線/,使得/〃平面

D.存在點(diǎn)E,使得BD、1平面AME

【答案】AC

【解析】

【分析】利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)結(jié)合棱錐體積公式即可判斷A,對(duì)B,過E作"垂足為尸，

求出防的范圍，則得到tan/EBE的范圍，即可判斷B,對(duì)C,利用線面平行的判定即可，對(duì)D,首先證

明BD,，平面ACB,,再利用反證法即可判斷.

【詳解】yB-AME=yEABM=^SAawxl=lxllxlxl=i,故A正確；

過￡作所14。，垂足為尸，連接■，則尸為直線的與平面A3CD所成角，則

EF

tanNEBF-.....,又因?yàn)锳A,//BB1,AA=BB,BB、〃CC1,BB、—CC,

BF（X]

則四邊形AACG為平行四邊形，因?yàn)槠矫鍭BC。，ACu平面A3CZ）,

則AA^AC,則四邊形4ACG為矩形，則EF//CCi，EF=CCr.?.EF=1,

當(dāng)尸與A或C重合時(shí)，（BE）3X=1,當(dāng)BE1AC時(shí)，（BE）,="，所以BFw4,1,故

min22

tanZ￡BFe[l,V2],tan30=與弒1,6\，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,顯然直線A"與BC在底面內(nèi)相交，故平面與平面8CGS相交，在平面BCG4內(nèi)一定存

在直線/與交線平行，則///平面AEM，故C正確；

對(duì)D,因?yàn)?。幺，底面ABC。，ACu平面ABC。，..OA，AC,

又因?yàn)?C18Q,且8。「DD、=D,BD,DRu平面BDQ,

所以AC_L平面因?yàn)?D|U平面8。。，所以AC，8。，

延長(zhǎng)CC,使得GN=1,再分別連接RN,BN,

因?yàn)锳O//BC,AO=BC,BC//BG，BC=Be，

所以A。//瓦G,A。=用G,所以四邊形A。4G為平行四邊形，

所以ABJ/DCi，因?yàn)?。Q//￡N,。。=GN,所以四邊形〃OQN為平行四邊形，

所以DCJ/RN,所以ABJ/RN,則異面直線。啰與AS的夾角即為NBRN或其補(bǔ)角，

因?yàn)锳BuJr+F+F=6,D\N=&BN=jF+22=石,

所以D]B?+QN?=BN?,所以所以

又因?yàn)锳C_LBD|,ACKg=A,AC,Agu平面ACS,

所以BR,平面AC4,假設(shè)BR_L平面4WE,

則平面4WE與平面4cs重合，顯然假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過作過E作防工AC，從而

計(jì)算出tanNEBE的范圍即可，對(duì)D選項(xiàng)，首先證明8Q，平面ACg,然后再利用反證法即可.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件3為“恰有一次點(diǎn)數(shù)為偶

數(shù)”，事件C為“至少有兩次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)“，則P（A）+P（B）+尸（C）=

【答案】1

【解析】

【分析】判斷試驗(yàn)的空間與事件4民C的關(guān)系，即可求解作答.

【詳解】依題意，一枚骰子拋擲三次的試驗(yàn)的所有基本事件構(gòu)造的空間。=ADBUC，而事件A,6,C

兩兩互斥，

所以尸（A）+P（3）+P（C=P（Q）=1.

故答案為：1

14.已知|z-2+i|=2,則|z|的取值范圍是.

【答案】[點(diǎn)-2,括+2]

【解析】

【分析】|z-2+i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)(2,-1)的距離，利用圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)閨z-2+i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)(2,-1)的距離，

故z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以。(2,-1)為圓心，半徑r=2的圓上，如下圖所示，

則|z|最小值為|Q4|=|OC|—r=6一2,最大值為|。卸=|OC|+r=6+2,

故|z|的取值范圍是［、萬(wàn)一2,、6+2］.

故答案為：［、萬(wàn)一2,、萬(wàn)+2］

15.已知函數(shù)/(x)=2sin,x+曰?>0)在區(qū)間［0,兀］上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

【答案】454J

【解析】

【分析】由xw[0,7T]可得cyx+：e6M+-,再由函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,兀］上恰有三個(gè)零點(diǎn)可得則

4144

兀

3K<6971+—<471,求解即可.

4

717C7T

【詳解】因?yàn)閤e[0,7i],則tyx+;e<vn+-

444

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,兀］上恰有三個(gè)零點(diǎn)，

則3兀43兀+工<4兀，解得一<co<—,

444

所以。的取值范圍為7，-

1115

故答案為:

16.已知正四面體A-BC。，。是底面8CD的中心，以Q4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)180°后，與原四

面體的公共部分的體積為逑，則正四面體A-BCD外接球的體積為

2

【答案］丕但兀

8

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，作出變換后的公共部分圖形，由其體積求出原正四面體的棱長(zhǎng)，再求出外接球半徑

作答.

【詳解】以。4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體A-3CZ）旋轉(zhuǎn)180°后，公共部分為正六棱錐如

圖,

則AO=yjAB2-BO2=—a，

33

正六邊形EFGHIJ的邊長(zhǎng)EF=,8。=0，=6x且KF?

33EFGHIJ46

23

因此公共部分的體積匕EFCHIJ=-SEFGHI.AO=-x^-ax^-a=^a=-42,解得a=3,

A-CrljnlJ3t,r\jniJ363]82

顯然正四面體的外接球球心。'在AO上，設(shè)此球半徑為由R2=（］ga）2+dFa_R）2,得

R』淮,

44

所以正四面體A—BCD外接球的體積丫=如/?3=如

33

故答案為：I兀

8

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：兒何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解

題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量a=(-1,2),b=(2,A).

⑴若a//。，求忖的值;

(2)若卜一耳=%+可，求實(shí)數(shù)X的值；

(3)若。與〃的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)26

(2)1

⑶(-8,-4)5工1)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量共線解出/1=-4,則b=(2,-4),則得到人的模;

(2)根據(jù)題意推出則得到關(guān)于；I的方程，解出即可；

(3)由題意得〃/<(),且a與b不反向共線，解出X的范圍即可.

【小問1詳解】

allba=(-1,2),b=(2,2),?4?(―l)xZ-4=0,/.2=-4,

.'./?=(2,-4),.-.1^1=百+(-4)2=26

【小問2詳解】

\a-b\^a+b\,兩邊同平方得|a-b|2=|a+B|2,則化簡(jiǎn)得〃”=(),

.二。_!_/?，..Q?Z?=-2+24=0，A=1.

【小問3詳解】

a與人的夾角是鈍角，a力<0,且a與/?不反向共線，

即a2=-2+24<0，由(1)可知丸。一4，

則;1<1,且;1。-4,故實(shí)數(shù)4的取值范圍為(F,-4)5T,1).

18.為了了解全校學(xué)生計(jì)算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計(jì)算能力測(cè)驗(yàn).現(xiàn)對(duì)全校學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)做

統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴求此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)；

(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的情況，從成績(jī)?cè)冢?0,1(X)］之間的學(xué)生中，采用按比例分配的分層

隨機(jī)抽樣方法，選取7名學(xué)生進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@7名學(xué)生中任選2名學(xué)生在總結(jié)大會(huì)上發(fā)言，求抽到的兩

人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的概率.

【答案】(1)76

11

⑵五

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)頻率之和為1求得a=0.025,再根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；

(2)由圖可知成績(jī)?cè)?80,90)與［90,100］的樣本比例為5:2,從而可求得7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)?/p>

［80,90),2名成績(jī)?cè)冢?0,100］,再利用列舉法可求得概率.

【小問1詳解】

由題意得(0.005+2a+0.035+0.01)xl0=l,可得。=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］xl0=76,

所以此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)為76分.

【小問2詳解】

由(1)知，成績(jī)?cè)冢?0,90)與［90,100］的樣本比例為5:2,

所以7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)冢?0,90),2名成績(jī)?cè)冢?0,100］,

若[80,90）中5人分別為a,h,c,d,e,[90,100]中2人分別為演N,

則從中抽取2人的所有組合為

{ah.ac.ad.ae,be,hd.be,cd,ce,de,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex.ey.xy],有21種情況,

兩人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］{xy,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey},l1種情況,

所以抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的概率為3.

19.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，D,M,N,尸分別是AB,M,CQ的中點(diǎn).

⑴求證：BP//平面MDC；

(2)設(shè)AB=AC=CB=2,BB}=4,求異面直線GN與CM所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析:

1

⑵“

【解析】

【分析】(1)連接AP,設(shè)APMC=O,連接。。，利用線面平行的判定推理作答.

(2)利用定義法求出異面直線夾角的余弦作答.

【小問1詳解】

在直三棱柱ABC-A4G中，連接4＞，設(shè)APMC=O,連接。O,如圖，

由分別是矩形A4G。對(duì)邊A4，CG的中點(diǎn)，得四邊形M4CP是矩形，即。是好的中點(diǎn),

而。是AB的中點(diǎn)，于是。D//3P,又平面用。C,Q￡>u平面

所以BP//平面MDC

【小問2詳解】

因?yàn)镹,P分別是矩形G。對(duì)邊B4,CG的中點(diǎn)，則G2//NB,GP=NB,

因此四邊形BPQN是平行四邊形，則NQHBPHOD,

于是NMOD或其補(bǔ)角是異面直線C、N與CM所成角,

由AB=AC=C8=2,34=4,得BP=CM=26，,DM=布,

在,O“。中，OD=OM=O,DM=非,則COSNM。。=.?乂而正=一，，

所以異面直線CM與CM所成角的余弦值為I.

4

20.如圖，在ABC中，/84C為鈍角，。在上，且滿足NC4O=g,A8=3,BC=36.

兀

(1)若。=乙，求/B4D；

6

(2)若M是BC的中點(diǎn)，cosZBAC=--,求AM的長(zhǎng)度.

12

【答案】⑴百

2

⑵叵

2

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理即可得解；

(2)利用余弦定理求得AC,再利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

【小問1詳解】

在,ABC中，由正弦定理可得」也=———,

sinCsinABAC

.BCsinC3^X26

AB32

2兀

?「ZR4C為鈍角，/.ZBAC=—,

3

TT

：.ZBAD=ABAC-ACAD=-

2

【小問2詳解】

在.ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC，

即27=9+AC2-2X3XACX[-=J,解得AC=4(負(fù)值舍去)，

1

M為3C中點(diǎn)，則4例=—(A3+AC),

2

.21/-2-2\1(12、

:.AM=-^B>AC'+2|715MACIcosZBACj=-9+16+2x3x4x1-—I=—

.?.|4"|二叵，即的長(zhǎng)度為叵.

22

JQ

21.已知函數(shù)/(x)=4sin5cos

(5

⑴若〃a)=g,求cos[a+q兀

⑵若不等式|尸⑺一小”力+2對(duì)任意的一患恒成立，求；I的取值范圍.

【答案】(1)一/

⑵[0,4]

【解析】

【分析】(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)/(x),從而得到sin[a+。]的值，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

即可得解.

(2)先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得了(x)的值域，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可

得解.

【小問1詳解】