福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)高級(jí)中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)高級(jí)中學(xué)2024屆高一下數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓和圓只有一條公切線(xiàn)，若，且，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．92．若（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則（）A．1024 B．2048 C．1023 D．20474．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則的值為（）A．12 B．15 C．39 D．425．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A． B． C． D．6．若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中也成等差數(shù)列的是()A． B． C． D．7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1500石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為多少石？A．180 B．160 C．90 D．3608．已知兩點(diǎn),,若直線(xiàn)與線(xiàn)段相交,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．9．已知，則的最小值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-410．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列中，其中，，那么________12．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______________.13．函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到．14．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_______.15．不等式的解集為_(kāi)____________________。16．定義運(yùn)算，如果，并且不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．18．已知函數(shù)（）的一段圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求函數(shù)的值域.19．在海上進(jìn)行工程建設(shè)時(shí)，一般需要在工地某處設(shè)置警戒水域；現(xiàn)有一海上作業(yè)工地記為點(diǎn)，在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)為中心的1海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點(diǎn)正北海里處有一個(gè)雷達(dá)觀(guān)測(cè)站，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)行駛的船只位于點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距10海里的位置，經(jīng)過(guò)12分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)北偏東且與點(diǎn)相距海里的位置.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.試判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域（點(diǎn)與船的距離小于1海里即為進(jìn)入警戒水域），并說(shuō)明理由.20．某質(zhì)檢機(jī)構(gòu)檢測(cè)某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，在甲、乙兩廠(chǎng)勻速運(yùn)行的自動(dòng)包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產(chǎn)品，稱(chēng)其質(zhì)量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)莖葉圖（如圖）.（1）該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)采用了哪種抽樣方法抽取的產(chǎn)品？根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠(chǎng)產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從甲廠(chǎng)6件樣品中隨機(jī)抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②記它們的質(zhì)量分別是克，克，求的概率.21．在中，已知點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，邊上的高所在直線(xiàn)的方程為.（1）求直線(xiàn)的方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由題意可得兩圓相內(nèi)切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得，再利用“1”的代換，使用基本不等式求得的最小值．【詳解】解：由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，圓心分別為，，半徑分別為2和1，故有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為1．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，基本不等式的應(yīng)用，得到是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．2、D【解析】故.【考點(diǎn)定位】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用及指數(shù)不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.3、C【解析】

根據(jù)疊加法求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，選C.【點(diǎn)睛】本題考查疊加法求通項(xiàng)以及等比數(shù)列求和，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【詳解】由題意得所以為等差數(shù)列，，，選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出，即可得到的值．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查已知角終邊上一點(diǎn)，利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需任意相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為定值即可．【詳解】A:=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列．B:==與n有關(guān)系，因此不是等差數(shù)列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d為常數(shù)，仍然為等差數(shù)列；D:當(dāng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)、公差為負(fù)數(shù)時(shí)，{|an|}不是等差數(shù)列；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，根據(jù)比例，即可求得結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)批米內(nèi)夾谷約為x石，則，解得：選A。【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，根據(jù)部分的比重計(jì)算整體值。8、D【解析】

找出直線(xiàn)與PQ相交的兩種臨界情況，求斜率即可.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)題意，作圖如下：直線(xiàn)與線(xiàn)段PQ相交的臨界情況分別為直線(xiàn)MP和直線(xiàn)MQ，已知，，由圖可知：當(dāng)直線(xiàn)繞著點(diǎn)M向軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：；當(dāng)直線(xiàn)與軸重合時(shí)，沒(méi)有斜率；當(dāng)直線(xiàn)繞著點(diǎn)M從軸至MP旋轉(zhuǎn)時(shí)，其斜率范圍為：綜上所述：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)斜率的計(jì)算，直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，借助圖像得到最值.【詳解】根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域得到圖像：將目標(biāo)函數(shù)化為，根據(jù)圖像得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最小值，代入此點(diǎn)得到z=-4.故答案為：D.【點(diǎn)睛】利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域;(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）;(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解;(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。10、D【解析】

結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，得到，即可求解.【詳解】由題意，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算求值，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【詳解】由，得，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，特別是對(duì)復(fù)雜式子的理解．12、【解析】令13、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)的的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的平移變換、兩角差的正弦公式【誤區(qū)警示】在進(jìn)行三角函數(shù)圖像變換時(shí)，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無(wú)論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言，即圖像變換要看“變量”變化多少，而不是“角”變化多少．14、【解析】

圓柱的側(cè)面打開(kāi)是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為底面的周長(zhǎng)，寬為圓柱的高，即，帶入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因?yàn)閳A柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長(zhǎng)為，則該圓柱的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】此題考察圓柱側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題目．15、或【解析】

利用一元二次函數(shù)的圖象或轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組解一元二次不等式.【詳解】由，或，所以或，不等式的解集為或.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式，考查計(jì)算能力，屬于基本題.16、【解析】

先由題意得到，根據(jù)題意求出的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得到，其中，因?yàn)?，所以，又不等式?duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以.故答案【點(diǎn)睛】本題主要考查由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)∠A=(2)AC邊上的高為【解析】分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系求,再根據(jù)正弦定理求，即得；（2）根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得邊上的高．詳解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得=，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．如圖所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC邊上的高為．點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.18、（1）；（2）【解析】

（1）由函數(shù)的一段圖象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的最大和最小值即可．【詳解】解：（1）由函數(shù)的一段圖象知，，，，解得，又時(shí)，，，，解得，；，函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得，此時(shí)取得最大值為2；令，解得，此時(shí)取得最小值為；函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）海里/小時(shí)；（2）該船不改變航行方向則會(huì)進(jìn)入警戒水域，理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）建立直角坐標(biāo)系，首先求出位置與位置的距離，然后除以經(jīng)過(guò)的時(shí)間即可求出船的航行速度；（2）求出位置與位置所在直線(xiàn)方程，求出位置與直線(xiàn)的距離與1海里對(duì)比即可.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)一個(gè)單位長(zhǎng)度為1海里，則坐標(biāo)中，，，，再由方位角可求得：，，所以，又因?yàn)?2分鐘=0.2小時(shí)，則（海里/小時(shí)），所以該船行駛的速度為海里/小時(shí)；（2）直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為：，即，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即該船不改變航行方向行駛時(shí)離點(diǎn)的距離小于1海里，所以若該船不改變航行方向則會(huì)進(jìn)入警戒水域.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于一般題.20、（1）系統(tǒng)抽樣；乙廠(chǎng)產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠(chǎng)質(zhì)量的中位數(shù)是113；甲廠(chǎng)質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠(chǎng)質(zhì)量的中位數(shù)是113（2）①詳見(jiàn)解析②【解析】

（1）根據(jù)抽樣方式即可確定抽樣方法；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可分別求得兩組的平均數(shù)與中位數(shù)；（2）由甲廠(chǎng)的樣品數(shù)據(jù)，即可由列舉法得所有可能；根據(jù)列舉的數(shù)據(jù)，即可得滿(mǎn)足的情況，即可求得復(fù)合要求的概率.【詳解】（1）由題意該質(zhì)檢機(jī)構(gòu)抽取產(chǎn)品采用的抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，甲廠(chǎng)質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠(chǎng)質(zhì)量的中位數(shù)是113，乙廠(chǎng)產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠(chǎng)質(zhì)量的中位數(shù)是113.（