2023-2024學(xué)年上海楊浦高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海楊浦高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在四邊形中，若，且，則四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形2．在銳角中，若，，，則（）A． B． C． D．3．已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)為2，則a+1A．3 B．4 C．5 D．424．中，角所對(duì)的邊分別為，已知向量，，且共線(xiàn)，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，（，，）的部分圖像如圖所示，則、、的一個(gè)數(shù)值可以是（）A． B．C． D．7．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，線(xiàn)段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值8．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．9．在ΔABC中,若,則=（）A．6 B．4 C．-6 D．-410．以?xún)牲c(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則______，______.12．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)．當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程，有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．13．已知求______________.14．已知圓，直線(xiàn)l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線(xiàn)l的方程是________（用一般式直線(xiàn)方程表示）.15．直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)_____．16．已知扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖扇形的圓心角，半徑為2，E為弧AB的中點(diǎn)C?D為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且，記，四邊形ABCD的面積為.（1）求函數(shù)的表達(dá)式及定義域；（2）求的最大值及此時(shí)的值18．已知，，，且.（1）若，求的值；（2）設(shè)，，若的最大值為，求實(shí)數(shù)的值.19．已知圓過(guò)點(diǎn),且圓心在直線(xiàn)上．（1）求圓的方程；（2）平面上有兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別切圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說(shuō)明理由．20．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若，求的最大值與最小值.21．駐馬店市政府委托市電視臺(tái)進(jìn)行“創(chuàng)建森林城市”知識(shí)問(wèn)答活動(dòng),市電視臺(tái)隨機(jī)對(duì)該市15～65歲的人群抽取了n人,繪制出如圖1所示的頻率分布直方圖,回答問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.（1）分別求出a,b,x,y的值；（2）從第二、三、四、五組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取7人,則從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)各抽取多少人?（3）在(2)的條件下,電視臺(tái)決定在所抽取的7人中隨機(jī)選2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求所抽取的人中第二組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)向量相等可知四邊形為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【詳解】，可知且四邊形為平行四邊形由可知：四邊形為矩形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查相等向量、垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形,由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得又因?yàn)?由余弦定理可得代入可得所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用,余弦定理求三角形的邊,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由等比中項(xiàng)得：ab=4，目標(biāo)式子變形為54【詳解】∵a+1等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2，∴原式的最小值為5.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最小值時(shí)，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.4、D【解析】

由向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開(kāi)后代入原式化簡(jiǎn)得，分類(lèi)討論得解．【詳解】∵共線(xiàn)，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時(shí)不能隨便約分漏解．5、C【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出答案．【詳解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；則S△ABCabsinC；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，關(guān)鍵是利用余弦定理求出ab的值.6、A【解析】

從圖像易判斷，再由圖像判斷出函數(shù)周期，根據(jù)，將代入即可求得【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得，由，，又因?yàn)閳D像過(guò)，代入函數(shù)表達(dá)式可得，即，，解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于中檔題7、B【解析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷A選項(xiàng)是否正確，根據(jù)錐體體積計(jì)算公式，判斷BCD選項(xiàng)是否正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由于長(zhǎng)度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由于長(zhǎng)度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯(cuò)誤的結(jié)論為B選項(xiàng).故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用面面平行證明線(xiàn)面平行，考查三棱錐（四面體）體積的計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由角的終邊上一點(diǎn)得，根據(jù)條件解出即可【詳解】由角的終邊上一點(diǎn)得所以解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.9、C【解析】

向量的點(diǎn)乘，【詳解】,選C.【點(diǎn)睛】向量的點(diǎn)乘，需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值，本題如果直接計(jì)算的話(huà)，的夾角為∠BAC的補(bǔ)角10、D【解析】分析：由條件求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，從而得出結(jié)論．詳解：圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝5，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進(jìn)而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)?，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.12、.【解析】

令，則原方程為，根據(jù)原方程有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則有5個(gè)不同的解，結(jié)合圖像特征，求出的值或范圍，即為方程解的值或范圍，轉(zhuǎn)化為范圍，即可求解.【詳解】令，則原方程為，當(dāng)時(shí)，，且為偶函數(shù)，做出圖像，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解；當(dāng)或，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有四個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，無(wú)解.，有且僅有5個(gè)不同實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程有一個(gè)解為，，另一個(gè)解為，在區(qū)間上，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合的函數(shù)的奇偶性的對(duì)稱(chēng)性，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于難題.13、23【解析】

直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由題得.故答案為23【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

將圓的方程化為標(biāo)椎方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，根據(jù)直線(xiàn)的斜率求出直線(xiàn)的斜率，確定出直線(xiàn)的方程即可．【詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線(xiàn)直線(xiàn)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.15、【解析】

先求得直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而求得直線(xiàn)的傾斜角.【詳解】由于直線(xiàn)的斜率為，故傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由直線(xiàn)一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.16、9【解析】

由扇形的弧長(zhǎng)公式運(yùn)算可得解.【詳解】解：由扇形的弧長(zhǎng)公式得：，故答案為9.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，取最大值.【解析】

（1）取OE與DC?AB的交點(diǎn)分別為M?N，在中，分別求出，，再利用梯形的面積公式求解即可；（2）令，則，，再求最值即可.【詳解】解：（1），OE與DC?AB的交點(diǎn)分別為M?N，由已知可知，在中，.，，梯形ABCD的高，則.（2）設(shè)，則，，則，，則.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，，，，故.故的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題18、(1)0(2)【解析】

（1）通過(guò)可以算出，移項(xiàng)、兩邊平方即可算出結(jié)果.（2）通過(guò)向量的運(yùn)算，解出，再通過(guò)最大值根的分布，求出的值.【詳解】（1）通過(guò)可以算出，即故答案為0.（2），設(shè)，，，即的最大值為；①當(dāng)時(shí)，（滿(mǎn)足條件）；②當(dāng)時(shí)，（舍）；③當(dāng)時(shí)，（舍）故答案為【點(diǎn)睛】當(dāng)式子中同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，常常可以利用換元法，把用進(jìn)行表示，但計(jì)算過(guò)程中也要注意自變量的取值范圍；二次函數(shù)最值一定要注意對(duì)稱(chēng)軸是否在規(guī)定區(qū)間范圍內(nèi)，再討論最后的結(jié)果.19、（1）；（2）26；（3）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．證明見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)圓心，根據(jù)則，求得和圓的半徑，即可得到圓的方程；（2）設(shè)，化簡(jiǎn)得，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解；（3）設(shè)，圓方程，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)，求得相交弦的方程，進(jìn)而可判定直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心為，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn),則，即，解得，所以圓心為，半徑，所以圓方程為．（2）設(shè)，則，又由，所以，即的最小值為．（3）設(shè)，則以為直徑的圓圓心為，半徑為，則圓方程為，整理得，直線(xiàn)為圓與圓的相交弦，兩式相減，可得得直線(xiàn)方程，即，令，解得，即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，圓的最值問(wèn)題的求解，以及兩圓的相交弦方程的求解及應(yīng)用，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．20、（1）；（2）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（3）f（x）=2，f（x）=﹣1【解析】

（1）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值與最小值．【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x＝（sin4x﹣cos4x）+sin2x＝﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期為＝π．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）若，則2x﹣∈，當(dāng)2x﹣＝時(shí)，f（x）=2；當(dāng)2x﹣=﹣時(shí)，f（x）=．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．21、（1）0.9，0.36，270，90；（2）2人,3人,1人,1人；（3）1121【解析】

（1）先計(jì)算出總?cè)藬?shù)為1000人，再根據(jù)公式依次計(jì)算a,b,x,y的值.（2）根據(jù)分層抽樣規(guī)律得到從第二、三、四、五組每組回答正確的人中應(yīng)分別抽取:2人,3人,1人,1人（3）排出所有可能和滿(mǎn)足條件的情況，得到概率.【詳解】（1）依題和圖表：由0.010×10×n=500.5得：由0.020×10×n=180a得：由0.030×10×n=x0.9得：由0.025×10×n=90b得：由0.015×10×n=y0.6得：故所求a=0.9，b=0.36，x=270，y=90.（2）由以上知:第二、三、四、五組回答正確的人數(shù)分別為:180人,270人,90人