安徽省阜陽市皖江名校聯(lián)盟2024屆高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省阜陽市皖江名校聯(lián)盟2024屆高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，因此.故選：A.2.已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以，解得，所以則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為.故選：B3.記，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，故選：C.4.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時(shí)，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時(shí)，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個(gè)平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B5.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于D，因?yàn)?，所以，從而，故D正確，對(duì)于A，或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤.故選：D.6.在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項(xiàng)為 B.各項(xiàng)的系數(shù)和為64C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A，的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，令，得各項(xiàng)的系數(shù)和為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量與關(guān)于軸對(duì)稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（）A.是一條垂直于軸的直線 B.是兩條平行直線C.是一個(gè)半徑為1的圓 D.是橢圓〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，由可得，即.故選：C.8.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗依題意可得：，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.從而，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.也適合上式，所以，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.因?yàn)椋赃x項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，故，因此選項(xiàng)B正確；又，所以，，，故C錯(cuò)D對(duì).故選：BD10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的面積為，則（）A.B.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心C.直線是曲線的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由題意可知：，，則，即函數(shù)的最小正周期為，可得，故A正確；且，可得，又因?yàn)椋?，即，且，可得，所?對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋渣c(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闉樽畲笾?，所以直線是曲線的一條對(duì)稱軸，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，且在不單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過，作拋物線的切線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在直線上 B.點(diǎn)在直線上的投影是定點(diǎn)C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于，依題意焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線：，不妨設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立與，得，從而，，，，由題意，所以，故拋物線過點(diǎn)，的切線方程分別為，，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，所以，即點(diǎn)在直線上的投影是點(diǎn)（定點(diǎn)），故選項(xiàng)正確；對(duì)于，可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因，，從而，令，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，故正確.故選：.三、填空題12.已知，則的最小值為______.〖答案〗20〖解析〗依題意，，由可得，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).故〖答案〗為：20.13.已知三棱錐的外接球?yàn)榍?，為球的直徑，且，，，則三棱錐的體積為______.〖答案〗〖解析〗如圖，易知，，所以，作于點(diǎn)，易知，所以，，，故三棱錐的體積為.故〖答案〗為：.14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍．尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)：，為n的所有正因數(shù)之和，如，則_______；_______．〖答案〗42〖解析〗根據(jù)新定義可得，，因?yàn)檎驍?shù)，所以故〖答案〗為：；四、解答題15.設(shè)，函數(shù)的最小正周期為，且圖象向左平移后得到的函數(shù)為偶函數(shù).（1）求〖解析〗式，并通過列表?描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；（2）在銳角中，分別是角對(duì)邊，若，求的值域.解：（1）函數(shù)的最小正周期，，∵圖象向左平移后得到的函數(shù)為，由已知，又，.，〖解析〗式為：，由五點(diǎn)法可得，列表如下：0010-10在上的圖象如圖所示：（2），由正弦定理可得，，所以，即，因?yàn)椋运裕?，所以，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，，,所以，所以，又所以16.籃球運(yùn)動(dòng)深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》全國(guó)超級(jí)聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進(jìn)行13站比賽.（1）為了解喜愛籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)查，得到列聯(lián)表如下：

喜愛籃球運(yùn)動(dòng)不喜愛籃球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？（2）某?；@球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第次觸球的概率為，則.（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）假設(shè)：喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即能認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不超過0.001.（2）（i）由題意，，所以又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（ii）由（i）得，，所以，.故甲第25次觸球者的概率大.17.如圖，在圓臺(tái)中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．（1）證明：如圖，連接．因?yàn)樵趫A臺(tái)中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺(tái)母線且交于一點(diǎn)P，所以四點(diǎn)共面.在圓臺(tái)中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即為中點(diǎn)．在中，又M為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋裕畡t．因?yàn)?，所以．所以，所以．設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，所以．設(shè)二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為.18.已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的最小值；（2）若對(duì)于任意均成立，且的最小值為1，求實(shí)數(shù).解：（1）由題意，且的定義域?yàn)椋?，依題意即，從而，故，，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）依題意，，其中，記，則，因?yàn)?，，即是的極小值也是最小值，故，而，所以，解得，此時(shí)，若，則趨近時(shí)，趨近，趨近負(fù)無窮，趨近，即趨近負(fù)無窮，與矛盾！若，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，符合題意.故.所以，其中.若即時(shí)，則函數(shù)在上最小值為，依題意，解得，符合題意；若即時(shí)，則函數(shù)在上最小值為，依題意，即，無解，不符合題意.所以，.19.如圖,各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形內(nèi)接于橢圓，其中點(diǎn)，分別在第三、四象限，邊，與軸的交點(diǎn)為，.（1）若，且，為橢圓的焦點(diǎn)，求橢圓的離心率；（2）若是橢圓的另一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)也在第三象限，若矩形和矩形的面積相等，證明：是定值，并求出該定值；（3）若是邊長(zhǎng)為1的正方形，邊，與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)（，，…，）是正方形內(nèi)部的100個(gè)點(diǎn)，記，其中，，，.證