廣東省深圳市名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由正弦定理，得.故選：B.3.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，為等腰直角三角形，其中與重合，，則的面積是（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，，根?jù)斜二測(cè)畫法可得，所以.故選：B.4.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理知，因?yàn)?，所以，故C正確.故選：C.5.已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，則在上的投影向量為，故D正確.故選：D.6.在長(zhǎng)方體中，直線與平面的交點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，，三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.，，三點(diǎn)共線C.，，，四點(diǎn)共面 D.，，，四點(diǎn)共面〖答案〗B〖解析〗如下圖所示：根據(jù)題意，連接，則，所以四點(diǎn)共面，所以面，又，所以面，又面，所以點(diǎn)在面與面的交線上面，同理可得點(diǎn)在面與面的交線上面，所以，，三點(diǎn)共線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；由異面直線判定定理可知C選項(xiàng)中為異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由異面直線判定定理可知D選項(xiàng)中為異面直線，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.7.如圖，平行四邊形ABCD中，M是BC中點(diǎn)，N是CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，若（，），則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，，．故選：D.8.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足平面，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖，四棱錐中，連接AC交BQ，BD分別于點(diǎn)N，O，連接MN，因底面ABCD為平行四邊形，則O是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，而點(diǎn)Q是AD中點(diǎn)，于是得點(diǎn)N是重心，從而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的有（）A.若與是單位向量，則B.若非零向量與是相反向量，則C.D.若與共線，與共線，則與共線〖答案〗BC〖解析〗與是單位向量且方向不同時(shí)，，A錯(cuò)誤；根據(jù)相反向量的定義可知，與方向相反且兩個(gè)向量模相等，即，B正確；，C正確；若為零向量，、為非零向量，則與不一定共線，D錯(cuò)誤．故選：BC.10.內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，又，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以或，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故A、C正確.故選：AC.11.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱，為上底面上的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則滿足條件的點(diǎn)不唯一B.若，則點(diǎn)的軌跡是一段圓弧C.若∥平面，則的最大值為D.若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為〖答案〗BCD〖解析〗由題意在上底面內(nèi)，與上底面垂直，因此有，選項(xiàng)A，，則，但上底面矩形中，對(duì)角線，因此不存在符合條件的點(diǎn)，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由上可知，因此點(diǎn)軌跡是一段圓弧，B正確；選項(xiàng)C，連接，由與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，∥平面，所以平面，從而，在中，，因此的最大值是，C正確；選項(xiàng)D，連接，交于點(diǎn)，連接，由正四棱柱性質(zhì)可得，取中點(diǎn)，由與平行且相等可得是平行四邊形，即，且，而平面，平面，因此平面，所以該點(diǎn)為滿足條件點(diǎn)，平面即正四棱柱的對(duì)角面，它截正四棱柱的外接球的截面即為該球的大圓，由正四棱柱性質(zhì)知其外接球直徑等于四棱柱對(duì)角線長(zhǎng)，因此截面面積為，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺?石瓢壺?潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)（其他因素忽略不計(jì)），如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的側(cè)面積約為__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖為該圓臺(tái)的軸截面，上底面半徑下底面半徑高則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為故圓臺(tái)的側(cè)面積故〖答案〗為：.13.設(shè)，向量，，且，則____________；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為____________．〖答案〗〖解析〗空1：因?yàn)?，所以，即，得；?：由題知，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為12，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為28，故的取值范圍為．故〖答案〗為：.14.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，M是邊BC邊上一點(diǎn)，，，且，則的最小值為____________．〖答案〗〖解析〗由等面積法可得：，所以，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），且是純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，且是純虛?shù)，所以是純虛數(shù)，則，即，所以.（2），由題意可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知向量滿足，，．（1）求與的夾角；（2）若，，求．解：（1）因?yàn)?，，，設(shè)，所以，所以，因?yàn)?，所以，即與的夾角為.（2）因?yàn)?，則，故．17.已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓半徑為R，且．（1）求B；（2）若，，求的取值范圍．解：（1）由題知，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以．?）因?yàn)?，所以，即，又，所以，因?yàn)椋?，即，所以，故，所以，故的取值范圍為?8.如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)．（1）證明：∥平面；（2）在線段是否存在一點(diǎn)，使得平面∥平面？若存在，請(qǐng)指出并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，在中，因?yàn)镋、M分別為、的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，，所以且，即且，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明：連接，，因?yàn)镹，F(xiàn)分別是和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平面?9.重慶是我國(guó)著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準(zhǔn)備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，