天津市南開區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月階段性質(zhì)量檢測(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市南開區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月階段性質(zhì)量檢測(cè)期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是（）A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球 B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球C.所取的3個(gè)球都是黑球 D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球〖答案〗B〖解析〗將事件的結(jié)果分為三類：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑，事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根據(jù)互斥事件的定義可知，只有事件“所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球”與事件互斥．故選：B．2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.3.已知，，且與的夾角，則等于（）A. B.6 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，且與的夾角，所以.故選：A.4.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖（如圖所示），則a的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為，則，解得.故選：C.5.如圖，在正三棱柱中，，，則四棱錐的體積是（）．A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：正三棱柱的體積，三棱錐的體積，所以四棱錐的體積.故選：A.6.某校高一年級(jí)隨機(jī)抽取15名男生，測(cè)得他們的身高數(shù)據(jù)，如下表所示：編號(hào)123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）．A.170 B.175 C.176 D.〖答案〗D〖解析〗將身高按升序排列得：，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是.故選：D7.從數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，則所抽取的三個(gè)數(shù)字之和能被整除的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，方法有：共種，其中所抽取的三個(gè)數(shù)字之和能被整除的有：共種，故所求概率為.故選：C.8.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，所以底面三角形的高，棱錐的高為，設(shè)外接球半徑為，則，解得，所以外接球的表面積為.故選：B.9.已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗D〖解析〗若，可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選：D.10.已知為的一個(gè)內(nèi)角，向量.若，則角（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，即.選：C.二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分11.某個(gè)年級(jí)有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一介容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為________．〖答案〗32〖解析〗由題意可得：樣本中女生人數(shù)為.故〖答案〗為：32.12.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知向量，，則在方向上的投影向量為________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：，所以在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知正三棱柱，O為的外心，則異面直線與OB所成角的大小為________．〖答案〗〖解析〗延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)闉檎切危瑒t點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以異面直線與OB所成角的大小為.故〖答案〗為：.15.在矩形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，且，，則________．〖答案〗〖解析〗以基底向量，則，因?yàn)?，，且，則，所以.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.復(fù)數(shù)（）.（1）若為純虛數(shù)求實(shí)數(shù)值，及在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：因?yàn)?，所以，?）若為純虛數(shù)，則，解得：，此時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，所以為純虛數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：.（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于三象限，則，解得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍：.17.甲、乙、丙三人進(jìn)行投球練習(xí)，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影響，（1）求乙、丙兩人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）記“甲投球命中”為事件A，“乙投球命中”為事件B，“丙投球命中”為事件C，則，解得，，解得，所以乙、丙兩人各自命中的概率分別為、.（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1），因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，得，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以解得.（2）.（3）因?yàn)樗狞c(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．19.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，且，．（1）求角A；（2）求周長(zhǎng)的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，由余弦定理可得，且，所?（2）由正弦定理，可得，則周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，可得，所以周長(zhǎng)，即周長(zhǎng)的取值范圍為.20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，PB＝PD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn).（1）求證：EF∥平面PBC；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC.解：證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG，BG，如圖所示：∵F是PD的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中點(diǎn)，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，又EF?平面PB