湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的班級、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，將答題卡上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求得．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，所以有．故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗為純虛數(shù)，故，所以．故選：B3.根據(jù)與之間的一組數(shù)據(jù)求得兩個(gè)變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，已知數(shù)據(jù)的平均值為1.2，則數(shù)據(jù)的平均值為（）A.2.6 B.2.3 C.1.8 D.1.5〖答案〗A〖解析〗將代入回歸直線方程，可得．故選：A.4.已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C.8 D.6〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C5.是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離最大值為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圓，可知圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由，可得，所以直線恒過定點(diǎn)．故圓心到直線的最大距離為，圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最大距離為．故選：D.6.井字棋起源于古希臘，是一種在格子上進(jìn)行的連珠游戲，其玩法與五子棋類似．兩名玩家分別持不同棋子輪流在九個(gè)格子中落子，直到某位玩家的三顆棋子在同一條直線上后游戲結(jié)束，該玩家獲勝．小明與小紅進(jìn)行井字棋游戲，小明執(zhí)黑棋先下，小紅執(zhí)白棋．若當(dāng)棋盤上剛好下滿5個(gè)棋子時(shí)游戲結(jié)束，則棋盤上的棋子的分布情況共有幾種（）A.144 B.120 C.96 D.90〖答案〗B〖解析〗當(dāng)棋盤中恰好有5顆棋子時(shí)游戲結(jié)束，則說明贏方的三顆棋子連成了一條直線，共有8種情況．（橫三種，縱三種，斜兩種），棋盤上剩余6個(gè)空格，其中兩個(gè)空格要放輸方的白棋，共有種．故此時(shí)棋子的分布情況共有種.故選：7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，連接交左支于點(diǎn)．若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，由雙曲線的定義可知：，所以，又有，因?yàn)?，即手，所以則為等邊三角形，，由余弦定理可得：，解得．故選：B8.已知，過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，．求的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則曲線在該點(diǎn)處的切線方程為：，又在切線上，即，則方程有兩不同解，令，易知時(shí)，單調(diào)遞增不合理，故．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，故為極小值；要使有兩解，則，即，令在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以易知，又因?yàn)闉榉匠痰慕?，故有，代入可得，故所求取值范圍為．故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，下列說法正確的有（）A.等差數(shù)列，若，則，其中B.等比數(shù)列，若，則，其中C.若等差數(shù)列，則成等差數(shù)列D.若等比數(shù)列，則成等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A為等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，反之不成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，設(shè)d為公差，為等差數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)選項(xiàng)D的表述錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知，則下列描述正確的是（）A. B.除以5所得的余數(shù)是1C.中最小為 D.〖答案〗BC〖解析〗對于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，故，故A不正確；對于B，，除最后一項(xiàng)外，其余項(xiàng)都可以被5整除，故余數(shù)為1，故B正確；對于C，二項(xiàng)式系數(shù)，可知奇數(shù)項(xiàng)小于零，偶數(shù)項(xiàng)大于零，則最小必然在奇數(shù)項(xiàng)中產(chǎn)生，，所以最小的為，故C正確；對于D，，則有，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.正方體，棱長為2，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.當(dāng)與面所成角為時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，過三點(diǎn)的平面與正方體的截面面積的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如圖1所示，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，在等邊中，的最小值為邊上的高，故最小值為，故A正確；對于B，如圖2所示，當(dāng)與平面所成角為時(shí)，易知，所以為與平面所成角，所以，故的軌跡為，故長度為，故B正確；對于C，如圖3，當(dāng)時(shí)，在線段上運(yùn)動(dòng)，對于，將平面與平面展開并繞旋轉(zhuǎn)到同一平面，如圖4所示：此時(shí)在三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，為與的交點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，如圖5所示，點(diǎn)在正方形的邊與中點(diǎn)連線上運(yùn)動(dòng)，將截面補(bǔ)充完整，則截面為面，由對稱性可得四邊形為平行四邊形，故，其中為到的距離．當(dāng)在或處時(shí)，此時(shí)到的距離最大為；當(dāng)在中點(diǎn)或中點(diǎn)時(shí)，有最小距離，故截面面積的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量，且，則_________．〖答案〗0.4〖解析〗由隨機(jī)變量服從得，故〖答案〗：0.413.長期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困擾教師們的職業(yè)病．據(jù)調(diào)查，某校大約有的教師患有慢性咽喉炎，而該校大約有的教師平均每天沒有超過兩節(jié)課，這些人當(dāng)中只有的教師患有慢性咽喉炎．現(xiàn)從平均每天超過了兩節(jié)課的教師中任意調(diào)查一名教師，則他患有慢性咽喉炎的概率為_________．〖答案〗0.6〖解析〗設(shè)所求的概率為，由全概率公式得，，得．故〖答案〗為：.14.已知是正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，且滿足表示不超過的最大整數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為_________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，變形得，所以是公差為等差數(shù)列，所以，所以，所以有；①當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，此時(shí)；②當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，此時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)恒成立，為正整數(shù)，故，綜上的取值范圍是．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答過程應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，為下圓周上的動(dòng)點(diǎn)，為圓柱母線．（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)闉橹睆?，所以，因?yàn)闉槟妇€，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又且，所以為平行四邊形，所以，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)到平面距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，所以到的距離為，即，因?yàn)?，，所以在中，，所以，在中，，所以，則，設(shè)圓柱的母線長為，則四棱錐體積，解得，在底面內(nèi)以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為．16.已知．且，函數(shù)的最小正周期為．（1）求函數(shù)的〖解析〗式與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別是，點(diǎn)在上，且平分，求的周長．解：（1）由題可得，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)榈闹芷跒椋剩?由，故單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）因?yàn)榍覟槿切蝺?nèi)角，即，故或，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，因?yàn)?，如圖所示.所以，即，由余弦定理可得，即，代入，可得，解得或（舍去），故的周長為．17.如圖，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)且滿足軸，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求曲線的方程；（2）已知，過動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）分別為直線與軸的交點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得？說明理由．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，由題意可知，則由題可得，即，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，即的軌跡方程為（2）易知直線的斜率不為0，設(shè)方程為，由，得，設(shè)，則，直線的方程，得，直線的方程，得，由此得，，又因?yàn)?，即，所以，所以存在?shí)數(shù)，使得．18.二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量重要的概率模型，在生活中被廣泛應(yīng)用．現(xiàn)在我們來研究二項(xiàng)分布的簡單性質(zhì)，若隨機(jī)變量．（1）證明：（?。ǎ遥?，其中為組合數(shù)；（ⅱ）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（2）一盒中有形狀大小相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出一個(gè)球且不放回，直到摸到黑球?yàn)橹?，記事件A表示第二次摸球時(shí)首次摸到黑球，若將上述試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行10次，記隨機(jī)變量表示事件A發(fā)生的次數(shù)，試探求的值與隨機(jī)變量最有可能發(fā)生次數(shù)的大小關(guān)系．解：（1）（?。┮?yàn)椋?，所以；（ⅱ）因?yàn)椋?，可得，令，則.（2）由題意可知：，又因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)?，假設(shè)時(shí)，其概率最大，則，解得，可知，所以其數(shù)學(xué)期望小于最有可能發(fā)生的次數(shù)．19.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，注：階導(dǎo)數(shù)指對