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上海市金山區(qū)上海交大南洋中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知直線與互相垂直,垂足坐標(biāo)為,且,則的最小值為()A.1 B.4 C.8 D.92.過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()A. B.C. D.3.已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),與垂直,則是()A.2 B.1 C.-2 D.-14.已知集合,,則()A. B.C. D.5.有窮數(shù)列中的每一項(xiàng)都是-1,0,1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù),,且,則有窮數(shù)列中值為0的項(xiàng)數(shù)是()A.1000 B.1010 C.1015 D.10306.已知圓心為C(6,5),且過(guò)點(diǎn)B(3,6)的圓的方程為()A. B.C. D.7.方程的解集是()A. B.C. D.8.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,,=1,若,則=()A.22019 B.22020 C.22017 D.220189.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球和3個(gè)黑球,從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()A. B. C. D.10.已知,,且,,則的值為()A. B.1 C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知均為正數(shù),則的最大值為_(kāi)_____________.12.正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,則公比__________.13.設(shè)a>1,b>1.若關(guān)于x,y的方程組無(wú)解,則的取值范圍是.14.已知向量,,若與共線,則實(shí)數(shù)________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,在軸、軸正方向上的投影分別是、,則與同向的單位向量是__________.16.已知函數(shù)fx=cosx+2cosx,三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,且,求面積的取值范圍.18.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北的方向上,仰角為,行駛4km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北的方向上.(1)求此山的高度(單位:km);(2)設(shè)汽車行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為,求.19.已知角終邊上有一點(diǎn),求下列各式的值.(1);(2)20.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.21.在中,已知,是邊上的一點(diǎn),,,.(1)求的大小;(2)求的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】
代入垂足坐標(biāo),可得,然后根據(jù)基本不等式,可得結(jié)果.【詳解】由兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以代入可得,即又,所以即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào)故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】
當(dāng)直線與垂直時(shí)距離最大,進(jìn)而可得直線的斜率,從而得到直線方程。【詳解】原點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)題意可知當(dāng)直線與垂直時(shí)距離最大,由兩點(diǎn)斜率公式可得:所以所求直線的斜率為:故所求直線的方程為:,化簡(jiǎn)可得:故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式,涉及直線的點(diǎn)斜式方程和一般方程,屬于基礎(chǔ)題。3、D【解析】
試題分析:,由與垂直可知考點(diǎn):向量垂直與坐標(biāo)運(yùn)算4、A【解析】
先化簡(jiǎn)集合,根據(jù)交集與并集的概念,即可得出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)椋?,所以?故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】
把(a1+1)2+(a2+1)2+(a3+1)2+…+(a2015+1)2=3870展開(kāi),將a1+a2+a3+…+a2015=425,代入化簡(jiǎn)得:=1005,由于數(shù)列a1,a2,a3,…,a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1,0,1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù),即可得出.【詳解】(a1+1)2+(a2+1)2+(a3+1)2+…+(a2015+1)2=3870,展開(kāi)可得:+2(a1+a2+…+a2015)+2015=3870,把a(bǔ)1+a2+a3+…+a2015=425,代入化簡(jiǎn)可得:=1005,∵數(shù)列a1,a2,a3,…,a2015中的每一項(xiàng)都是﹣1,0,1這三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù),∴有窮數(shù)列a1,a2,a3,…,a2015中值為0的項(xiàng)數(shù)等于2015﹣1005=1.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了乘法公式化簡(jiǎn)求值、數(shù)列求和,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.6、A【解析】
在知道圓心的情況下可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,然后根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)B(3,6),代入方程可求出r的值,得到圓的方程.【詳解】因?yàn)?又因?yàn)閳A心為C(6,5),所以所求圓的方程為,因?yàn)榇藞A過(guò)點(diǎn)B(3,6),所以,所以,因而所求圓的方程為.考點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.7、C【解析】
把方程化為,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì),即可求解方程的解,得到答案.【詳解】由題意,方程,可化為,解得,即方程的解集為.故答案為:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式,以及三角方程的求解,其中解答中熟記正切函數(shù)的性質(zhì),準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,an≠1(n∈N*),a1+a2019=1,∴a1+a2019=a2+a2018=a3+a2017=…=a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f(a1)×f(a2)×…×f(a2019)=41009×(﹣2)=﹣1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì),考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題,注意:若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則,性質(zhì)的應(yīng)用.9、B【解析】
試題分析:由題意.故選B.10、A【解析】
由已知求出,的值,再由,展開(kāi)兩角差的余弦求解,即可得答案.【詳解】由,,且,,,,∴,∴,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的余弦、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意“拆角配角”思想的運(yùn)用.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
根據(jù)分子和分母的特點(diǎn)把變形為,運(yùn)用重要不等式,可以求出的最大值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)),(當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)),因此的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式,把變形為是解題的關(guān)鍵.12、【解析】
根據(jù)題意,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,進(jìn)而分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,等比數(shù)列中,,則,又由數(shù)列是正項(xiàng)的等比數(shù)列,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及注意數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】試題分析:方程組無(wú)解等價(jià)于直線與直線平行,所以且.又,為正數(shù),所以(),即取值范圍是.考點(diǎn):方程組的思想以及基本不等式的應(yīng)用.14、【解析】
根據(jù)平面向量的共線定理與坐標(biāo)表示,列方程求出x的值.【詳解】向量(3,﹣1),(x,2),若與共線,則3×2﹣(﹣1)?x=0,解得x=﹣1.故答案為﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的共線定理與坐標(biāo)表示的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意得出,再利用單位向量的定義即可求解.【詳解】由在軸、軸正方向上的投影分別是、,可得,所以與同向的單位向量為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)表示以及單位向量的定義,屬于基礎(chǔ)題.16、(0,1)【解析】
畫(huà)出函數(shù)f(x)在x∈0,2【詳解】解:畫(huà)出函數(shù)y=cosx+2|cosx|=3cos以及直線y=k的圖象,如圖所示;由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn),可得0<k<1.故答案為:(0,1).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù),數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式,得到關(guān)于B的三角方程,最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式,又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù),由于是銳角三角形,所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域,最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意,由正弦定理得,因?yàn)椋?,消去得.,因?yàn)楣驶蛘?,而根?jù)題意,故不成立,所以,又因?yàn)?,代入得,所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形,由(1)知,得到,故,解得.又應(yīng)用正弦定理,,由三角形面積公式有:.又因,故,故.故的取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解),最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用.考查的很全面,是一道很好的考題.18、(1)km.(2)【解析】
(1)設(shè)此山高,再根據(jù)三角形中三角函數(shù)的關(guān)系以及正弦定理求解即可.(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,再計(jì)算到直線的距離即可.【詳解】解:(1)設(shè)此山高,則,在中,,,.根據(jù)正弦定理得,即,解得(km).(2)由題意可知,當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí),仰望山頂D的仰角達(dá)到最大,所以過(guò)C作,垂足為E,連接DE.則,,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形在實(shí)際中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意找到對(duì)應(yīng)的直角三角形中的關(guān)系,或利用正弦定理求解.屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義,可知;(2)原式上下同時(shí)除以,變?yōu)楸硎镜氖阶樱纯汕蟮媒Y(jié)果.【詳解】(1)(2),原式上下同時(shí)除以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足:,所以當(dāng)時(shí),,即解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,因?yàn)椋?,解得或,因?yàn)?/p>
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