6.1 第2課時(shí) 平方根 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版七下6.1平方根(第2課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用本課是上一節(jié)算術(shù)平方根概念學(xué)習(xí)的延續(xù)，被開方數(shù)從開方開得盡的數(shù)延伸到開方開不盡的數(shù)．借助幾何背景，提出求面積為2的正方形邊長的問題，從而知道是存在的，于是就要研究的大?。谟脢A逼法得到的近似值后，自然推理出可以用有理數(shù)來估計(jì)無理數(shù)的大致范圍．在學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)背景下，可以用計(jì)算器來求一個(gè)正有理數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值），進(jìn)而學(xué)習(xí)計(jì)算器的使用并利用計(jì)算器探究小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律，本節(jié)課的學(xué)習(xí)為后續(xù)立方根的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，為引出無理數(shù)的概念準(zhǔn)備．概念解析是開方開不盡的數(shù)，是一個(gè)特殊且典型的無理數(shù)，它有著直觀的幾何背景，便于學(xué)生接受與承認(rèn)．用夾逼法求出它的近似值，以此為例介紹此類數(shù)的無限不循環(huán)的特性．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中判斷一個(gè)數(shù)的存在和尋找這個(gè)數(shù)的計(jì)算方法是兩個(gè)不同環(huán)節(jié)，這兩環(huán)節(jié)都很重要．開方開不盡的數(shù)也可以用計(jì)算器求得其近似值，利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，揭示平方根的性質(zhì).思想方法借助

這個(gè)特殊的數(shù)引出許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題，給出一個(gè)用有理數(shù)估計(jì)無理數(shù)的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的估算能力.在估計(jì)有多大的教學(xué)中，可結(jié)合數(shù)學(xué)史適當(dāng)介紹逼近的思想，滲透數(shù)學(xué)文化．知識(shí)類型用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的近似值是一種重要的思想方法，是屬于認(rèn)知策略，需要學(xué)生體會(huì)；計(jì)算器的使用是操作技能，需要講清步驟與方法并進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，平方根的性質(zhì)、無理數(shù)的大小比較等都屬于原理與規(guī)則，需要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)以納入原有的認(rèn)知體系．教學(xué)重點(diǎn)基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)1．能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍2．會(huì)用計(jì)算器求平方根目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：學(xué)生了解用夾逼法求近似值的方法，感受到不盡方根是無限不循環(huán)小數(shù).

能估計(jì)一個(gè)無理數(shù)在哪兩個(gè)整數(shù)之間，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：會(huì)用計(jì)算器求正有理數(shù)的算術(shù)平方根，能借助計(jì)算器歸納出被開方數(shù)與算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，在已知一個(gè)具體數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，能運(yùn)用小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，求被開方數(shù)擴(kuò)大102n倍后的算術(shù)平方根．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的概念，了解了被開方數(shù)與算術(shù)平方根的關(guān)系，會(huì)逆用平方運(yùn)算求一個(gè)完全平方數(shù)的算術(shù)平方根；會(huì)比較兩個(gè)有理數(shù)的大小.與本課目標(biāo)的差距分析從知識(shí)層面看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的意義，能利用平方與開平方的互逆關(guān)系求完全平方數(shù)的算術(shù)平方根，但對(duì)類似之類的數(shù)到底是多少是迷茫的，甚至?xí)?duì)是否有意義產(chǎn)生懷疑．從能力層面看，夾逼法對(duì)學(xué)生而言，是首次接觸，沒有這方面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，需要老師進(jìn)行引導(dǎo)．存在的問題在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中可能遇到的問題是：除了測量，學(xué)生難以理性思考估計(jì)大小的策略與方法，同時(shí)對(duì)是無限不循環(huán)小數(shù)的接受需要一個(gè)過程．應(yīng)對(duì)策略通過剪拼操作理解的現(xiàn)實(shí)意義，直觀感受介于1和2之間的事實(shí)．通過問題串追問形式，激發(fā)學(xué)生尋求更精確的近似值，在猜想與計(jì)算的過程中不斷提高估計(jì)精度，適時(shí)介紹無限不循環(huán)小數(shù)．通過計(jì)算器的使用幫助學(xué)生更快捷獲得不盡方根的近似值，并探究小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，通過一個(gè)實(shí)際問題的解決進(jìn)一步鞏固估計(jì)無理數(shù)大小的比較方法．教學(xué)難點(diǎn)基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：體會(huì)逼近的思想教學(xué)支持條件分析通過計(jì)算器，可以探求等無理數(shù)的大?。谶\(yùn)用夾逼法估計(jì)無理數(shù)大小時(shí)，運(yùn)用計(jì)算器可以讓學(xué)生感受到無理數(shù)與有理一樣是實(shí)實(shí)存在的一個(gè)數(shù)，是可以通過計(jì)算了研究它的．教學(xué)過程設(shè)計(jì)課前檢測1．一個(gè)正方形的面積為4cm2，則它的邊長為________cm.2．16的算術(shù)平方根為________.3．=__________.設(shè)計(jì)意圖：了解學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根的掌握程度，第一個(gè)問題是學(xué)生對(duì)正方形的面積和邊長關(guān)系的考查，第二個(gè)問題是對(duì)算術(shù)平方根的意義的考查，第三個(gè)問題是算術(shù)平方根的符號(hào)的使用，為的引出打下伏筆，知道不同于上面的數(shù)，它是開方開不盡的數(shù)，從而探究它的大小.新課學(xué)習(xí)1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1

能否用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形？學(xué)生活動(dòng):課前準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長為1的正方形紙片，用剪刀剪開拼成一個(gè)大的正方形．教師活動(dòng)：評(píng)判學(xué)生的剪拼方法，估計(jì)學(xué)生中會(huì)出現(xiàn)兩種方法.追問1：拼成的大正方形的邊長是多少？?設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)閮蓚€(gè)小正方形面積之和等于大正方形的面積，所以根據(jù)正方形面積公式可知a2＝2，那么自然產(chǎn)生a是多少的問題，但現(xiàn)在顯然學(xué)生并不能求解，所以教師及時(shí)提出下面的問題：追問2：根據(jù)上節(jié)課的知識(shí)，你能用符號(hào)表示出大正方形的邊長嗎？請(qǐng)說出你的想法．學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考并回答設(shè)計(jì)意圖：在追問1與追問2中，其目的是在活動(dòng)后自然產(chǎn)生問題，要注意思維的連貫性，順著學(xué)生的思維走．如果學(xué)生在追問1時(shí)提出測量的方法，應(yīng)予以肯定并說明測量的不足之處，同時(shí)在符號(hào)表示后進(jìn)一步提出問題2以及問題2的追問1，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果不測量又該如何估計(jì)？如果學(xué)生不知道怎么回答追問1，那么自然產(chǎn)生雖不能求，但是否可以表示出來的問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶算術(shù)平方根的概念與表示，同時(shí)自然提出問題2并產(chǎn)生介于哪兩個(gè)整數(shù)之間的問題，而這個(gè)問題是可以利用已有經(jīng)驗(yàn)解決的.2.學(xué)習(xí)新知問題2

有多大？學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生測量可以知道大于1而小于2，追問1：如果不測量，你能說明大于1而小于2嗎？學(xué)生活動(dòng)：因?yàn)?1=1,22=4，所以1＜＜2設(shè)計(jì)意圖：在第1課時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對(duì)兩個(gè)完全平方數(shù)的算術(shù)平方根的計(jì)算，歸納了被開方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大的事實(shí)，這里可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)生的思維引導(dǎo)用平方運(yùn)算逆向估計(jì)范圍的思路上來．追問2：你能用剛才的策略進(jìn)一步縮小的范圍嗎？學(xué)生活動(dòng)：用相同的方法試驗(yàn)可得到平方數(shù)最接近2的1位小數(shù)是1.4，而平方數(shù)大于2且最接近的1位小數(shù)是1.5，所以大于1.4而小于1.5，在教師的不斷鼓勵(lì)與追問下，學(xué)生可以得到1.414＜＜1.415．設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生接受無限不循環(huán)的特性，需要親身經(jīng)歷實(shí)踐計(jì)算的過程，但由于計(jì)算量的增大，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生在猜想大概范圍后用計(jì)算器進(jìn)行平方運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，但也因?yàn)橛?jì)算量的增大，在得到一定活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累后應(yīng)當(dāng)及時(shí)提出下面的問題．追問3：將剛才的計(jì)算不斷進(jìn)行下去，我們最后得到的會(huì)是怎樣的一個(gè)數(shù)呢？我們以前接觸過這樣的數(shù)嗎？學(xué)生活動(dòng)：討論交流，發(fā)表見解教師活動(dòng)：告訴學(xué)生如此進(jìn)行下去，可以得到的更精確的近似值.事實(shí)上，=1.414213562373…，它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).還有許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根都是無限不循環(huán)小數(shù).像小學(xué)遇到過的π其實(shí)也是無限不循環(huán)小數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：先討論后介紹，實(shí)踐經(jīng)歷加上小學(xué)對(duì)圓周率π的已有經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生接受確實(shí)存在這一類數(shù)的事實(shí)．目標(biāo)1檢測：你能估計(jì)的大概范圍嗎？說明你的做法．（介于兩個(gè)一位小數(shù)之間即可）設(shè)計(jì)意圖：如果學(xué)生能順利解答目標(biāo)檢測，則教師順著學(xué)生的回答自然介紹：當(dāng)a是完全平方數(shù)時(shí)，是一個(gè)有理數(shù)；當(dāng)a不是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).例如，，等都是無限不循環(huán)小數(shù)；如果只有個(gè)別學(xué)生不能順利解決，可以進(jìn)行課后單獨(dú)輔導(dǎo)；如果大部分學(xué)生不能回答，則說明剛才大小估計(jì)的教學(xué)沒有落實(shí)在學(xué)生上，可以以大小估計(jì)為例重新講解一遍．問題3

該如何總結(jié)（評(píng)價(jià)）我們剛才所采用的方法（思想）呢？設(shè)計(jì)意圖：可能學(xué)生會(huì)講很麻煩，這也為下面引出計(jì)算器求法鋪墊；也會(huì)有學(xué)生講到雖然麻煩，但是畢竟能求出大概的近似值，對(duì)此教師應(yīng)積極回應(yīng)，并及時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)史介紹這種逼近的思想．中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》(約公元前2世紀(jì))卷4中就講到“開方術(shù)”

．為《九章算術(shù)》作注的三國時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽在“開方術(shù)”注中明確提出了用十進(jìn)制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法，他稱之為“求微數(shù)法”．問題4

能否借助計(jì)算器直接得出一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根呢？學(xué)生活動(dòng)：閱讀自己所使用的計(jì)算器的說明書，學(xué)習(xí)使用計(jì)算器求算術(shù)平方根的方法.教師活動(dòng):

個(gè)別指導(dǎo)、點(diǎn)撥.例2

用計(jì)算器求下列各式的值：（1）（2）（精確到0.001）師生活動(dòng):嘗試著求出上面的值,注意按鍵順序.追問:現(xiàn)在你能解決章前引言中提出的問題嗎?學(xué)生活動(dòng):利用計(jì)算器求出第一宇宙速度和第二宇宙速度.教師活動(dòng):提醒學(xué)生使用計(jì)算器時(shí)的注意事項(xiàng),評(píng)價(jià)學(xué)生的做題情況.方法總結(jié)：取近似值時(shí)要看精確到的位數(shù)的下一位，再四舍五入．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生閱讀計(jì)算器的說明書，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力.合作探究課堂小結(jié)探究1：利用計(jì)算器計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能說出其中的道理嗎？學(xué)生活動(dòng):

利用計(jì)算器求出上面各個(gè)正有理數(shù)的算術(shù)平方根,并觀察算術(shù)平方根的關(guān)系.嘗試用自己的語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.教師活動(dòng):

糾正學(xué)生的闡述，歸納出結(jié)論.追問:你能利用你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決探究(2)嗎?探究2：

用計(jì)算器計(jì)算(精確到0.001)，并利用你在（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說出，，的近似值，你能根據(jù)的值說出是多少嗎？總結(jié)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每移動(dòng)兩位，它的算術(shù)平方根向相應(yīng)的方向移動(dòng)一位．因此，要選擇正確的參考數(shù)據(jù).設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置兩個(gè)探究活動(dòng)一方面是鞏固計(jì)算器的使用技能，體會(huì)現(xiàn)代技術(shù)使用可以帶來的好處，另一方面借助計(jì)算器探究規(guī)律，使學(xué)生具體感知平方根的性質(zhì)，為后續(xù)二次根式性質(zhì)的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn).目標(biāo)2檢測：1.若≈3.536，≈1.118，則≈___________，≈___________2.若≈2.729，=272.9，則y

=__________設(shè)計(jì)意圖：如果大部分學(xué)生能順利解決，則進(jìn)入問題5的教學(xué)，如果個(gè)別學(xué)生不會(huì)，建議進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，如果較多學(xué)生感到困難，則應(yīng)對(duì)目標(biāo)2檢測題進(jìn)行詳細(xì)講解分析，并補(bǔ)充類似檢測題進(jìn)行鞏固,對(duì)于基礎(chǔ)一般的學(xué)生只要求落實(shí)檢測1的要求．問題5

小麗想用一塊面積為400

cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300

cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2.

她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁，小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？師生活動(dòng)：要注意學(xué)生是否弄清了題意；然后分析解題思路：能否裁出符合要求的紙片，就是要比較兩個(gè)圖形的邊長，而由題意，易知正方形的邊長是20cm，所以只需求出長方形的邊長，設(shè)長方形的長和寬分別是3x

cm和2x

cm,求得長方形的長為3cm后，接下來的問題是比較3和20的大小，也就是要估計(jì)的大小，即先估計(jì)的大小.追問：你能估計(jì)的大小嗎？學(xué)生活動(dòng)：討論得出它大于7而小于8，因此大于21，即大于20.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從被開方數(shù)與算術(shù)平方根的關(guān)系著手進(jìn)行探究.設(shè)計(jì)意圖：借助實(shí)際問題的解決，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：生活中，我們也會(huì)經(jīng)常遇到無理數(shù)大小的估計(jì)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)源自生活也應(yīng)用于生活．同時(shí)問題解決過程中涉及的估算與比較大小，可以進(jìn)一步鞏固本節(jié)知識(shí)的掌握．課堂小結(jié)（1）請(qǐng)談?wù)劚竟?jié)課的學(xué)習(xí)過程，你有哪些收獲與體會(huì)？（2）說說你是如何研究的？（3）你能估計(jì)介于哪兩個(gè)整數(shù)之間嗎？你能用計(jì)算器求出的近似值嗎？說說你的做法．設(shè)計(jì)意圖：第1個(gè)問題讓學(xué)生充分發(fā)表自己的看法，并通過教師的適