北京市海淀區(qū)第二十中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

北京市海淀區(qū)第二十中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．圓x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．32．閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為（）A．0 B．1 C．2 D．33．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在()A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列4．已知，且，，則（）A． B． C． D．5．甲、乙兩人在相同條件下，射擊5次，命中環(huán)數(shù)如下：甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)（）A．甲比乙的射擊技術(shù)穩(wěn)定 B．乙.比甲的射擊技術(shù)穩(wěn)定C．兩人沒有區(qū)別 D．兩人區(qū)別不大6．已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．7．若、、，且，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．8．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，若，則的外接圓面積為（）A． B． C． D．9．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實(shí)數(shù)（）A．1 B．－1 C．2 D．－210．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的值為__________．12．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側(cè)面積__________．13．已知向量，向量，若與垂直，則__________．14．已知函數(shù)，若，且，則__________．15．已知點(diǎn)，，若向量，則向量______.16．已知函數(shù)，若，則的取值圍為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和滿足:當(dāng)時(shí),都有.(1)求c的值;(2)求證:為等差數(shù)列,并求出.(3)若數(shù)列前n項(xiàng)和為,是否存在實(shí)數(shù)m,使得對(duì)于任意的都有,若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說明理由.18．某校高二年級(jí)共有800名學(xué)生參加2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽，為了解學(xué)生成績，現(xiàn)隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績（單位：分），并列成如下表所示的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)⑴試估計(jì)該年級(jí)成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)；⑵成績在的5名學(xué)生中有3名男生，2名女生，現(xiàn)從中選出2名學(xué)生參加訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．19．如圖所示，已知三棱錐的側(cè)棱長都為1，底面ABC是邊長為的正三角形．（1）求三棱錐的表面積；（2）求三棱錐的體積．20．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出回歸方程；（3）已知該廠技改前噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（注：，）21．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，.（1）求的值；（2）若，求周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先計(jì)算圓心到y(tǒng)軸的距離，再利用勾股定理得到弦長.【詳解】x-12+y-32=2圓心到y(tǒng)軸的距離d=1弦長l=2r故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的弦長公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次循環(huán)計(jì)算，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，第一循環(huán)：，能被3整除，不成立，第二循環(huán)：，不能被3整除，不成立，第三循環(huán)：，不能被3整除，成立，終止循環(huán)，輸出，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的識(shí)別與應(yīng)用，其中解答中根據(jù)條件進(jìn)行模擬循環(huán)計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

計(jì)算每行首個(gè)數(shù)字的通項(xiàng)公式，再判斷出現(xiàn)在第幾列，得到答案.【詳解】每行的首個(gè)數(shù)字為：1,2,4,7,11…利用累加法：計(jì)算知：數(shù)出現(xiàn)在第行列故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的應(yīng)用，計(jì)算首數(shù)字的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以．所以．故選：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.5、A【解析】

先計(jì)算甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)，再計(jì)算出各自的方差，根據(jù)方差的數(shù)值的比較，得出正確的答案.【詳解】甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)分別為：，甲、乙兩人射擊5次，命中環(huán)數(shù)的方差分別為：，，因?yàn)?，所以甲比乙的射擊技術(shù)穩(wěn)定，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了用方差解決實(shí)際問題的能力，考查了方差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.6、D【解析】∵，，⊥，∴，解得．∴．∴，又．設(shè)向量與的夾角為，則．又，∴．選D．7、D【解析】

對(duì)，利用分析法證明；對(duì)，不式等兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，乘以0再根據(jù)不等式是否取等進(jìn)行考慮；對(duì)，考慮的情況；對(duì)，利用同向不等式的可乘性.【詳解】對(duì)，，因?yàn)榇笮o法確定，故不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)，才能成立，故也不一定成立；對(duì)，當(dāng)時(shí)不成立，故也不一定成立；對(duì)，，故一定成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查不等式在特殊情況下能否成立的問題，考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.8、D【解析】

先化簡得，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即得的外接圓面積.【詳解】由題得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圓面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】

由投影的定義計(jì)算．【詳解】由題意，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．10、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，計(jì)算得到，，，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：成等比數(shù)列，設(shè)則，；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前N項(xiàng)和，利用性質(zhì)成等比數(shù)列可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【詳解】,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)題意將三棱錐放入對(duì)應(yīng)長方體中，計(jì)算各個(gè)面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個(gè)面都是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的側(cè)面積，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長方體是解題的關(guān)鍵.13、；【解析】

由計(jì)算可得．【詳解】，∵與垂直，∴，．故答案為－1．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算．由向量垂直得其數(shù)量積為0，本題屬于基礎(chǔ)題．14、2【解析】不妨設(shè)a＞1，

則令f（x）=|loga|x-1||=b＞0，

則loga|x-1|=b或loga|x-1|=-b；

故x1=-ab+1，x2=-a-b+1，x3=a-b+1，x4=ab+1，

故故答案為2點(diǎn)睛：本題考查了絕對(duì)值方程及對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，同時(shí)考查了指數(shù)的運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.15、【解析】

通過向量的加減運(yùn)算即可得到答案.【詳解】，.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，難度很小.16、【解析】

由函數(shù)，根據(jù)，得到，再由，得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，又由，即，即，因?yàn)?，則，所以或，即或，所以實(shí)數(shù)的取值圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1;(2)證明見解析,;(3)存在,.【解析】

(1)根據(jù)題意可得，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出c(2)根據(jù)題意可得，然后求出和(3)利用裂項(xiàng)求和法求出前n項(xiàng)和為，然后就可得出m的范圍【詳解】(1)因?yàn)樗?，即即前n項(xiàng)和為,所以，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列所以有，即解得(2)且數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以，即

所以(3)因?yàn)閷?duì)于任意的都有所以【點(diǎn)睛】常見的數(shù)列求和方法有公式法即等差等比數(shù)列的求和公式、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法.18、(1)300人；(2)【解析】

（1）由頻數(shù)分布表可得40人中成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)為15人，由此可計(jì)算出該年級(jí)成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出所有的基本事件，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可計(jì)算出恰好選中一名男生一名女生的概率．【詳解】⑴40名學(xué)生中成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)為15人；所以估計(jì)該年級(jí)成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)為⑵分別記男生為1,2,3號(hào)，女生為4,5號(hào)，從中選出2名學(xué)生，有如下基本事件（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）因此，共有10個(gè)基本事件，上述10個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，且只有6個(gè)基本事件是選中一名男生一名女生（記為事件），即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）∴【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表以及古典概型的概率計(jì)算，，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）【解析】

（1）分析得到側(cè)面均為等腰直角三角形，再求每一個(gè)面的面積即得解；（2）先證明平面SAB，再求幾何體體積.【詳解】（1）如圖三棱錐的側(cè)棱長為都為1，底面為正三角形且邊長為，所以側(cè)面均為等腰直角三角形．又，所以，又，．（2）因?yàn)閭?cè)棱SB，SA，SC互相垂直，平面SAB，所以平面SAB，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面位置關(guān)系的證明，考查面積和體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(1)見解析.(2).(3)噸.【解析】

（1）直接描點(diǎn)即可（2）計(jì)算出的平均數(shù)，，及，，利用公式即可求得，問題得解．（3）將代入可得，結(jié)合已知即可得解．【詳解】解：（1）把所給的四對(duì)數(shù)據(jù)寫成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點(diǎn)圖；（2）計(jì)算，，，，∴回歸方程的系數(shù)為：.，∴所求線性回歸方程為；（3）利用線性回歸方程計(jì)算時(shí)，，則，即比技改前降低了19.65噸.【點(diǎn)睛】本