第18講 用二分法求方程的近似解 2024-2025年新高一暑假自學(xué)課（學(xué)生版）

第18講用二分法求方程的近似解1.了解二分法的原理及其適用條件；2.掌握二分法的實(shí)施步驟；3.體會(huì)二分法中蘊(yùn)含的逐步逼近思想和程序化思想.1二分法的概念對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.解釋求fx=x2?x?22用二分法求方程近似解的步驟(1)確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;(3)計(jì)算f(c)，(i)若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(ii)若f(a)f(c)<0，則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x(iii)若f(c)f(b)<0，則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a?b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值為a(或b)；否則重復(fù)(2)~(4)Eg：求fx=x3+解析易得fx=x而f0=?3<0，f2=9>0，即fx取區(qū)間0,2的中點(diǎn)1，而f1=?1<0，故零點(diǎn)x0取區(qū)間1,2的中點(diǎn)1.5，而f1.5=698>0，故而1.5已經(jīng)達(dá)到了精確度0.1，故x0若精確度要求是0.01，則繼續(xù)取區(qū)間1,1.5的中點(diǎn)1.25往下計(jì)算.解釋(1)使用二分法的前提是函數(shù)在所選定的區(qū)間[a,b(2)所選的區(qū)間[a,b]的范圍盡量小，且(3)利用二分法時(shí)，滿足精確度便可停止計(jì)算.【題型一】判斷二分法的適用條件【典題1】下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是()A．fx=2x C．fx=x+1變式練習(xí)1.下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求零點(diǎn)的是(

)A．B．C． D．2.下列方程中，不能用二分法求近似解的為(

)A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【題型二】二分法的求解步驟【典題1】若函數(shù)f(x)=xf(1)=?2f(1.5)=0.625f(1.25)≈?0.984f(1.375)≈?0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈?0.054那么方程x3+x2?2x?2=0A．1.25 B．1.39 C．1.41 D．1.5變式練習(xí)1.(2023·廣東梅州·二模)用二分法求方程log4x?1A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,42.設(shè)f(x)=2x+x?8，用二分法求方程2x+x?8=0A．1,2或2,3都可以B．2,3C．1,2 D．不能確定3.若函數(shù)y=f(x)的一個(gè)正零點(diǎn)用二分法計(jì)算，零點(diǎn)附近函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：f(1)=?2，f(1.25)=?0.984，f(1.375)=?0.260，f(1.40625)=?0.054，f(1.4375)=0.162，f(1.6)=0.625，那么方程f(x)=0的一個(gè)近似根(精確度0.1)為(

)A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.54.已知函數(shù)f(x)在(10,12)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值的精確度為0.001，若只從二等分區(qū)間的角度來考慮，則對(duì)區(qū)間(10,12)至少需要二等分(

)A．8次 B．9次 C．10次 D．11次5.(多選)某同學(xué)利用二分法求函數(shù)fxffffff則函數(shù)fx=lnA．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.586.(多選)教材中用二分法求方程2x+3x?7=0的近似解時(shí)，設(shè)函數(shù)x1.251.3751.406251.4221.43751.5f?0.87?0.26??0.050.020.33分析表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是：(

)A．?>0B．方程2xC．若精確度到0.1，則近似解可取為1.375D．若精確度為0.01，則近似解可取為1.4375【題型三】用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值【典題1】用二分法求方程2?x=x+2在區(qū)間變式練習(xí)1.設(shè)函數(shù)g(x)=?6x3?13x2?12x?3．則2.判斷方程x3?x?1=0在區(qū)間3.求曲線y=lnx和直線【題型四】二分法的思想應(yīng)用【典題1】現(xiàn)有12個(gè)小球，從外觀上看完全相同，除了1個(gè)小球質(zhì)量不合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的小球質(zhì)量均相同．用一架天平，限稱三次，把這個(gè)“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重．如何稱？變式練習(xí)1.在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很大．每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10km長(zhǎng)，大約有2.如圖，有一塊邊長(zhǎng)為30cm的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，如果要做成一個(gè)容積是1200cm3的無蓋盒子，那么截去的小正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米(精確到0.1【A組基礎(chǔ)題】1.下列方程中不能用二分法求近似解的為(

)A．lnx+x=0 B．C．x3?3x+1=0 2.用二分法求方程lg?x=3?x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)3.若函數(shù)fxff(2.5)=0.3340ff(2.375)=0.1624f(2.3125)=0.0756f(2.28125)=0.0319那么方程log3x+xA．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.44.(多選)在用“二分法”求函數(shù)fx零點(diǎn)的近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為?2,4，則第二次所取區(qū)間可能是(

)A．?2,?1 B．?2,1 C．2,4 D．1,45.已知方程lgx+x?2=0的根在區(qū)間1,3上，第一次用二分法求其近似解時(shí)，其根所在區(qū)間應(yīng)取為6.在用二分法求方程x2=3的正實(shí)數(shù)跟的近似解(精確度0.001)時(shí)，若我們選取初始區(qū)間是1,7,1,8，為達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是7.用二分法求方程2x8.某企業(yè)現(xiàn)有資產(chǎn)4.2億，計(jì)劃平均每年增長(zhǎng)8%，問要使資產(chǎn)達(dá)到109.已知函數(shù)f(x)=(1)證明方程f(x)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解；(2)使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)三次，指出方程f(x)=0(x∈[0，2])的實(shí)數(shù)