小學六年級經典奧數練習題20題附答案

小學六年級經典奧數練習題20題

第一部分

第一題：巧算

1719、

計算：1155x(--—+—--+H-----------------1----------------)=__________

2x3x43x4x58x9x109x10x11

y

第二題：水和牛奶

一個賣牛奶的人告訴兩個小學生：這兒的一個鋼桶里盛著水，另一個鋼桶里盛著

牛奶，由于牛奶乳脂含量過高，必須用水稀釋才能飲用.現在我把A桶里的液體倒入

8桶，使其中液體的體積翻了一番，然后我又把8桶里的液體倒進A桶，使A桶內的

液體體積翻番.最后，我又將A桶中的液體倒進8桶中，使8桶中液體的體積翻番.此

時我發(fā)現兩個桶里盛有同量的液體，而在B桶中，水比牛奶多出1升.現在要問你們，

開始時有多少水和牛奶，而在結束時，每個桶里又有多少水和牛奶？

\y

第三題：濃度問題

瓶中裝有濃度為15%的酒精溶液1000克，現在又分別倒入100克和400克的A、8

兩種酒精溶液，瓶中的濃度變成了14%.已知4種酒精溶液濃度是8種酒精溶液濃度

的2倍，那么A種酒精溶液的濃度是百分之幾？

k_______________________________________________________________________________)

第四題：灌水問題

公園水池每周需換一次水.水池有甲、乙、丙三根進水管.第一周小李按甲、乙、

丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時，恰好在打開某根進水管1小時后灌滿空水

池.第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時，灌滿一池水比

第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小

時，比第一周多用了15分鐘.第四周他三個管同時打開，灌滿一池水用了2小時20分，

第五周他只打開甲管，那么灌滿一池水需用小時.

\/

第五題：填數字

請在下圖的每個空格內填入1至8中的一個數字，使每行、每列、每條對角線上

8個數字都互不相同.

答案

第一題答案:

解答：本題的重點在于計算括號內的算式：高+U+

H-----------------1--.--這-------------

8x9x109x10x11

個算式不同于我們常見的分數裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數列，而非常見的分

子相同、或分子是分母的差或和的情況.所以應當對分子進行適當的變形，使之轉化成我們

熟悉的形式.

法一：

觀察可知5=2+3,7=3+4,……即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數的和，所以

571719

2x3x4+3x4x5+"+8x9x10+9x10x11

_2+33+49+10

2x3x4+3x4x5++9x10x11

11111,1

3x42x44x53x510x119x11

13x44x510x11；12x43x59x1

fl1.111.1l./l1.11.111.11.I

【344510W21243546810911J

U11J2bto3nJ

81(28、31

=33+2Xl5+W=55

所以原式=1155x^=651.

（法二）

上面的方法是最直觀的轉化方法，但不是唯一的轉化方法.由于分子成等差數列，而等差數

列的通項公式為。+偌，其中”為公差.如果能把分子變成這樣的形式，再將。與，以分開,

每一項都變成兩個分數，接下來就可以裂項了.

5十7一17工19

2x3x4+3x4x5+-+8x9x10+9x10x11

」+2x2J+3x2,l1+8x2,1+9x2

=2x3x4+3x4x5+"+8x9xl0+9xl0xll

[2x2]3x2[8x2]9x2

-2x3x4+2x3x4+3x4x5+3x4x5+''+8x9x10+8x9x10+9x10x11+9x10x11

,2x3x43x4x58x9x109xjOxllJ13x44x59x10lOxllJ

IxfJ---L+JL+...+JL_\2xfl-l+l-i+...+l-il

212x33x43x44x59x1010x11；(344510llj

-ixp___q+2xfi-n

212x310x11；(311J

_1_22_2_4￡31

*i2-220+3~n'4-220-w55，

31

岫原式=1155喘=651.

(法三)

本題不對分子進行轉化也是可以進行計算的:

5,717,19

2x3x43x4x58x9x109x10x11

5(1117(11)17J__19■J___1_,

212x33x4；213x44x5)2麗一兩,2,pno-ioxii.

U2)4x5122)9x10210x11

51111191

=-x---+---+---+■■+------x-----

22x33x44x59x10210x11

~123-10~220-55

所以原苴?U55x機651.

(法四)對于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項歸納.先找每一項的通項公式:

a“=—生上!一(”=2,3,

,9)

n(n+1)(〃+2)

如果將分子2〃+1分成2〃和1,就是上面的法二；如果將分子分成“和”+1,就是上面的法

第二題答案：

解答：假設一開始A桶中有液體x升，8桶中有y升.第一次將A桶的液體倒入8桶后，B

桶有液體2y升，A桶剩(x-y)升；第二次將8桶的液體倒入A桶后，A桶有液體2(x-y)升,

8桶乘U(3y-x)升；第三次將A桶的液體倒入8桶后，8桶有液體(6y-2x)升，A桶剩

(3x-5y)升.由此時兩桶的液體體積相等，得3x-5y=6y-2x,5x=lly,x:y=11:5.

現在還不知道A桶中裝的是牛奶還是水，可以將稀釋牛奶的過程列成下表：

A桶B桶

原A桶液體：原A桶液體：

原8桶液體原B桶液體

初始狀態(tài)11:00:5

第一次A桶6:05:5

倒入B桶

第二次B桶9:32:2

倒入A桶

第三次A桶6:25:3

倒入3桶

由上表看出，最后8桶中的液體，原A桶液體與原B桶液體的比是5:3,而題目中說“水比

牛奶多1升”，所以原A桶中是水，原8桶中是牛奶.

因為在5:3中，“5-3”相當于1升，所以2個單位相當于1升.由此得到，開始時，4桶

中有U升水，8桶中有2升牛奶；結束時，A桶中有3升水和1升牛奶，8桶中有2升

222

水和士升牛奶.

2

第三題答案:

解答：(法1)方程法.新倒入純酒精：(1000+100+400)x14%-1000xl5%=60(克).

設A種酒精溶液的濃度為x,則8種為土.根據新倒入的純酒精量，可列方程：

2

100x+400x-=60,解得x=20%,即A種酒精溶液的濃度是20%.

2

(法2)濃度三角法.設A種酒精溶液的濃度為x,則B種為土.

2

根據題意，假設先把100克A種酒精和400克8種酒精混合，得到500克的酒精溶液，再

與1000克15%的酒精溶液混合，所以A、8兩種酒精混合得到的酒精溶液的濃度為

1000

14%-(15%-14%)*玉［12%.

根據濃度三角，有

(x-12%):^12%-^=400:100,解得x=20%.

故A種酒精溶液的濃度是20%.

第四題答案：

解答：如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時，恰好在打開丙

管1小時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時,

應在打開甲管1小時后灌滿一池水.不合題意.

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時.，恰好在打開乙管1小

時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時，應在

打開丙管45分鐘后灌滿一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1

小時，應在打開甲管后15分鐘灌滿一池水.比較第二周和第三周，發(fā)現開乙管1小時和丙管

45分鐘的進水量與開丙管、乙管各1小時加開甲管15分鐘的進水量相同，矛盾.

所以第一周是在開甲管1小時后灌滿水池的.比較三周發(fā)現，甲管1小時的進水量與乙管45

分鐘的進水量相同，乙管30分鐘的進水量與丙管1小時的進水量相同.三管單位時間內的進

水量之比為3:4:2.

第五題答案：

解答：解此類數獨題的關鍵在于觀察那些位置較特殊的方格(對角線上的或者所在行、列空

格比較少的)，選作突破口.本題可以選擇兩條對角線上的方格為突破口，因為它們同時涉

及三條線，所受的限制最嚴，所能填的數的空間也就最小.

副對角線上面已經填了2,3,8,6四個數，剩下1,4,5和7,這是突破口.觀察這四個

格，發(fā)現左下角的格所在的行已經有5,所在的列已經有1和4,所以只能填7.然后，第

六行第三列的格所在的行已經有5,所在的列已經有4,所以只能填1.第四行第五列的格

所在的行和列都已經有5,所以只能填4,剩下右上角填5.

再看主對角線，已經填了1和2,依次觀察剩余的6個方格，發(fā)現第四行第四列的方格只能

填7,因為第四行和第四列已經有了5,4,6,8,3.再看第五行第五列，已經有了4,8,

3,5,所以只能填6.

此時似乎無法繼續(xù)填主對角線的格子，但是，可觀察空格較少的行列，例如第四列已經填了

5個數，只剩下1,2,5,則很明顯第六格填2,第八格填1,第三格填5.此時可以填主對

角線的格子了，第三行第三列填8,第二行第二列填3,第六行第六列填4,第七行第七列

填5.

繼續(xù)依次分析空格較少的行和列（例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……），可得出

結果如下圖.

12763845

63547128

47852316

25374681

51486273

38125467

86231754

74618532

第二部分

第一題：陰影面積

如右圖，在以AB為直徑的半圓上取一點C,分別以AC和BC為直徑在AABC外作

半圓AEC和BFC.當C點在什么位置時，圖中兩個彎月型（陰影部分）AEC和BFC

的面積和最大。

第二題：求面積

右圖中，ABC。是邊長為1的正方形，A,E,F,G,，分別是四條邊A8,BC,

CD,D4的中點，計算圖中紅色八邊形的面積。

A凄:

第三題：正方形

如圖所示，ABCD是一邊長為4cm的正方形，E是A。的中點，而F是8C

的中點。以《為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交防于G,以尸為圓

心、半徑為2cm的四分之一圓的圓弧交所于H點，若圖中5和$2兩塊面積之

差為"譏一"（cn?）（其中〃？、〃為正整數），請問〃之值為何？

第四題：追擊問題

如下圖，甲從A出發(fā)，不斷往返于43之間行走。乙從C出發(fā)，沿C-E-F-

D—C圍繞矩形不斷行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲從背后第一

次追上乙的地點離。點米。

EF

（AC。8J

AC=80米，C￡>=￡F=120X，CE=QF=30米，08=100米

第五題：平均數

有4個不同的數字共可組成18個不同的4位數.將這18個不同的4位數由小到

大排成一排，其中第一個是一個完全平方數，倒數第二個也是完全平方數.那么這18

個數的平均數是：

\/

答案:

第一題答案:

解答：

兩彎月形面積=

1

乃X

-^xAC2+-rrxBC28-人卜,右心時本題即ACXBC何時有最大值.因為

88

ACc+BC=A月，當472=8。2時，472、3。2=（力。2、3。2）有最大值，此時AC

XBC有最大值，即AC=BC時，陰影面積最大.

第二題答案:

解答：如圖，易知藍邊正方形面積為一，AABD面積為一，ABCD面積為—,

5820

113

所以AABC面積為-----=一，可證AE：EB=1：4,

82040

黃色三角形面積為aABC的工，等于」一,由此可得，所求八邊形的面積是:

9120

111

——4x---=一.

51206

至此，我們對各部分的面積都已計算出來，如下圖所示.

【又解】設O為正方形中心（對角線交點），連接OE、OF,分別與AF、BG交于M、N,

設AF與EC的交點為P,連接OP,△MOF的面積為正方形面積的N為OF中點，△

16

OPN面積等于△FPN面積，又aOPN面積與△OPM面積相等，所以aOPN面積為△MOF

面積的為正方形面積的八邊形面積等于aOPM面積的8倍，為正方形面積的

3486

第三題答案:

2

2S扇形6CO=；XIX42=4I(cm),

解答：(法1)SFCDE=2x4=8cm

S扇形8F”一]^■x22=^(cm2)

而S\_S?=S扇形BCD~S扇形BFH-SFCDE&兀-兀$=3兀-8(cm),

所以機=3,〃=8,機+〃=3+8=11.

(法2)如右上圖，

S+S|=s瓦詡一S扇形*?42x4-2x2x714-4=8-71(cm2),

吊+52=5他°-5扇形88=4X4-4X4X"+4=16-4=(cm2),

所以，

2

S1-S2=(8-7：)-(16-4n)=3九一8(cm),故“+〃=3+8=11.

第四題答案:

解答：若甲要從背后追上乙，只有甲從。一C時才有可能，且當甲到達。時，在。C上乙

離。的距離不能超過120-120+5x4=24米.

而甲第一次以上述行走方向到達。時，要用(80+120+100+100)+5=80秒，以后每隔

(80+120+100)x2+5=120秒到達一次.

乙走一圈的距離為(120+30)x2=300米.

設當甲第x次以上述行走方向到達。時，乙在DC上離D的距離不超過24米.

由于此時甲共走了[80+120(x7)]秒，所以乙走了4x[80+120(x-l)]米，而乙走的路程比300

米的整數倍多出來的部分在30x2+1281米和180h242米之間，所以有

4x[8012rt)6除以300的余數在180到204之間，即(480x-160)除以300的余數在

180-204之間.

即480x除以300的余數在40~64之間，也即180x除以300的余數在40~64之間.

顯然當x=2時，360―300的余數為60,在40~64之間.

這時，乙走了4x[80+120x(2-l)]=800米，離。點800-300x2-180=20米.那么當甲追

上乙時離。點20+(5-4)、5=100米.

第五題答案：

解答：一般而言，4個不同的數字共可組成用=24個不同的4位數.

如果只能組成18個不同的4位數，說明其中必有0,這樣才會組成3x3x2x1=18個不同

的4位數.

在這四個不同的數中，則設最小的數麗=機2,倒數第二個則是瘋=〃2,兩數正好

是一對反序數.

根據完全平方數的特點，a、c兩數必是1、4、5、6、9之中的兩個，且分在。、c之間.

可以分為以下4類：

⑴當c=4時,在1024、1034中,只有1024為完全平方數,但4201不是;

⑵當c=5時，在1025、1035、1045中沒有完全平方數;

⑶當c=6時，在1026、1036、1046、1056、4056中也沒有完全平方數;

⑷當c=9時，在形為麗的數中，只有33?=1089,而9801=992,符合題意；在形為而為

的數中，由于63?=3969,672=4489,均不符合;

在形為麗的數中，由于73?=5329,不符合;

在形為麗的數中，由于77?=5929,不符合.

所以，符合條件的數只能是由1、0、8、9四個數組成的四位數.

求這18個數的和，有兩種方法，一種是枚舉法，另一種是概率法.

概率法的大致思路如下：對于沒有0的四位數a,b,c,d排列成互不相同的四位數時，

共有24個數，每個數字在每個數位上出現的概率是一樣的，所以，每個數字在每個數位上

都出現24+4=6次.則總和為：(a+b+c+d)x6xllll.

而其中如果有一個數是0,則在此基礎上，考慮0作首位的部分要排除.即為：

(a+b+c+0)x6xllll-(a+b+c)x(6+3)xlll=(a+b+c)x6444所以，本題中18個數的總和為

(1+8+9)x6444,所以，這18個數的平均數為(1+8+9)x6444+18=6444.

第三部分

第一題：唐老鴨和米老師賽跑

唐老鴨與米老鼠進行一萬米賽跑，米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度

是每分鐘100米。唐老鴨手中掌握一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過這種遙控

器發(fā)出第n次指令，米老鼠就以原來速度的nXl(?倒退一分鐘，然后再按原來的速度

繼續(xù)前進。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過遙控器發(fā)出指令的次數至少是

第二題：乒乓球訓練(邏輯)

甲、乙、丙三人用擂臺賽形式進行乒乓球訓練，每局2人進行比賽，另1人當裁

判.每一局的輸方去當下一局的裁判，而由原來的裁判向勝者挑戰(zhàn).半天訓練結束時,

發(fā)現甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共當裁判5局.那么整個訓練中的第3局

當裁判的是.

第三題：應用題

我國某城市煤氣收費規(guī)定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收69元，

用量超過8立方米的除交69元外，超過部分每立方米按一定費用交費，某飯店1月

份煤氣費是8226元，8月份煤氣費是40.02元，又知道8月份煤氣用量相當于1月

I份的15,那么超過8立方米后，每立方米煤氣應收多少元？

第四題：圖形面積

直角三角形ABC的兩直角邊AC=8cm,BC=6cm,以4c、8c為邊向形外分別

作正方形ACOE與BCFG,再以4B為邊向上作正方形A8MN,其中7點落在

OE上,BM交CF于點、T.問:圖中陰影部分(“NE、ANPD與梯形87FG)的總

面積等于多少？

D

NX\P

第五題：圖形A

如圖，長方形ABCO中，E為的中點，AF與BE、BD分別交于G、H,

0E垂直AD于E,交AF于。，已知A”=5cvn,HF=3cm，求4G.

y

答案

第一題答案：

第n次米倒退距離?xl0%xl25=12.5?

設唐需對米發(fā)x次指令x次共計125(1+2+…+幻=12*+x)x+2=6.25x(l+x)唐老鴨時間

是100。。+100=100為使唐勝利，米在lOOmin內距離必須小于1000

(100-r)xl25-6.25x(x+l)<10000

嘗試得至少13次

第二題答案：

本題是一道邏輯推理要求較高的試題.首先應該確定比賽是在甲乙、乙丙、甲丙之間進行

的.那么可以根據題目中三人打的總局數求出甲乙、乙丙、甲丙之間的比賽進行的局數.

⑴丙當了5局裁判，則甲乙進行了5局；

⑵甲一共打了15局，則甲丙之間進行了15-5=10局；

⑶乙一共打了21局，則乙丙之間進行了21-5=16局；

所以一共打的比賽是5+10+16=31局.

此時根據已知條件無法求得第三局的裁判.但是，由于每局都有勝負，所以任意連續(xù)兩局之

間不可能是同樣的對手搭配，就是說不可能出現上一局是甲乙，接下來的一局還是甲乙的情

況，必然被別的對陣隔開.而總共31局比賽中，乙丙就進行了16局，剩下的甲乙、甲丙共

進行了15局，所以類似于植樹問題，一定是開始和結尾的兩局都是乙丙，中間被甲乙、甲

丙隔開.所以可以知道第奇數局(第1、3、5、……局)的比賽是在乙丙之間進行的.那么，

第三局的裁判應該是甲.

第三題答案：

根據題意可知，這兩個月份都超出了8立方米，8月份交了6.9元加上40.02-6.9=33.12元,

1月份交了6.9元加上82.26-6.9=75.36元,其中33.12元和75.36元是超出的部分.

由于8月份煤氣用量相當于1月份的工，可以把8月份煤氣用量看作7份，1月份煤氣用量

15

看作15份.1月份比8月份多用了8份，多交了75.36-33.12=42.24元.所以這42.24元就

對應8份，那么33.12元對應33.12-42.24x8=竺份，所以6.9元部分(8立方米)對應

11

7-竺=色份，1份為8+*=11立方米.由于42.24元就對應8份，所以超過8立方米后，

111111

每立方米煤氣應收42.24+(11x8)=0.48元.

第四題答案：

如右圖，4?是直角三角形板的斜邊.

所以A82=AC2+8C2=82+62=1()2.即A3=10cm,設四邊形ACPN的面積為S1，\BTC

的面積為S2,四邊形CTMP的面積為S3.而根據勾股定理，有

S[+$2+S陰影=S]+$2+S3+SMBC?

9

所以S陰影=53+S^BC.而5AA37=S.MB即SM8C+52=S24-53,所以SMBC=S3,

所以S陰影-=2x8x6-J-2=48cm2.

第五題答案:

由于AB〃。尸，利用相似三角形性質可以得到A3:。尸=4":"尸=5:3,又因為￡為AD中

點，那么有。￡五。=1:2,

所以A5:Q￡；=5：m=10:3,利用相似三角形性質可以得到47:60=48:0石=10:3,

2

11inAcs

而AO=—AF=—x(5+3)=4(cm),所以AG=4xy^=可(cm).

第四部分

第一題：購買

有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若購甲4

、住7」?；?性It雪27麗肱迎田7.而夕J件.玨雷建三,

<\

第二題：質數

如果一些不同質數的平均數為21,那么它們中最大的一個數的最大可能值

為o

\/

第三題：圖形

如圖，長方形ABCO的邊上有兩點E、F，線段W、BE、CE、8E把

長方形分成若干塊，其中三個小木塊的面積標注在圖上，陰影部分面積是平

方米。