廣西壯族自治區(qū)欽州市浦北縣2023-2024學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題(含解析)

2023-2024學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題（考試時間：120分鐘滿分：120分）第Ⅰ卷一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分．）1．下列關(guān)系式中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．與點關(guān)于原點對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．3．下列事件中，是必然事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．五邊形的外角和等于C．購買一張彩票，中獎 D．隨意翻開數(shù)學課本的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)4．如圖，在⊙O中，，，則的度數(shù)是（

）A．10 B．20 C．30 D．405．若方程沒有實數(shù)根，則k值可以是（

）A． B． C． D．6．如圖，轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤1次，當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在灰色區(qū)域的概率是（

）

A． B． C． D．7．如圖，的半徑為13，弦，于點，則的長為（

）A．10 B．6 C．5 D．128．將拋物線通過一次平移可得到拋物線．對這一平移過程描述正確的是（

）A．向右平移個單位長度 B．向上平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向下平移個單位長度9．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點D是BC的中點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，那么線段DE的長為（）A． B．6 C． D．10．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進行綠化，原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余一塊面積為的矩形空地.設(shè)原正方形空地的邊長為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．11．某品牌自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫與通電時間成反比例關(guān)系．當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中正確的是（

）

A．上午點接通電源，可以保證當天能喝到不超過的水B．水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系式是C．水溫從加熱到，需要D．水溫不低于的時間為12．如圖，在四邊形中，點，，，分別是，，，的中點，若四邊形是矩形，且其周長是20，則四邊形的面積的最大值是（

）A．25 B．30 C．40 D．50第Ⅱ卷二、填空題（共6小題，每小題2分，共12分．）13．隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的股子，朝上的點是3的概率是．14．如果一元二次方程的兩根為，，那么．15．如圖，的頂點都在方格紙的格點上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，使各頂點仍在格點上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．16．已知圓錐的高h＝2cm，底面半徑r＝2cm，則圓錐的全面積是．17．下列是關(guān)于拋物線的性質(zhì)：①圖象開口向上；②對稱軸是直線；③當時，隨的增大而減小；④當或時，，其中正確的是（填寫序號）．18．如圖，三個頂點分別在反比例函數(shù)，的圖象上，若，軸，軸，，則k的值為．

三、解答題（共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．解方程：．20．如圖，和關(guān)于點成中心對稱．

(1)找出它們的對稱中心；(2)若，求的周長；21．一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標有編號，這些小球除編號外都相同．(1)攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為________________．(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）22．直線與雙曲線相交于點，與軸交于點．(1)求雙曲線表達式；(2)請在平面直角坐標系中直接畫出直線與雙曲線的圖像．23．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成．長方形的長為，寬為，拋物線的最高點離路面的距離為．

(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，求出表示拋物線的函數(shù)表達式．(2)一大型貨車裝載設(shè)備后高為，寬為，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，那么這輛貨車能否安全通過？24．如圖，為的直徑，點在直徑上（點與，兩點不重合），，點在上且滿足，連接并延長到點，使．

(1)求證：是的切線；(2)當時，求半徑的長．25．已知拋物線．(1)拋物線的對稱軸為直線______；拋物線與軸的交點坐標為______；(2)若拋物線的頂點恰好在軸上，寫出拋物線的頂點坐標，求它的解析式并畫出函數(shù)圖象；(3)在（2）的條件下，若，，為拋物線上三點，且總有，結(jié)合圖象，求的取值范圍．26．綜合與探究．【問題情境】數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)同學們一起探索旋轉(zhuǎn)的奧秘．老師出示了一個問題：如圖1所示，在中，，，點是邊上一點（），連接，將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到．（1）連接，試判斷的形狀，并說明理由；【深入探究】（2）希望小組受此啟發(fā)，如圖2，在線段上取一點，連接，使得，連接，發(fā)現(xiàn)和有一定的關(guān)系，猜想兩者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）智慧小組在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)，，三條線段之間也有一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

參考答案與解析

1．C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，掌握“反比例函數(shù)解析式的一般式”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即可判斷各函數(shù)類型是否符合題意．【詳解】A、，是的正比例函數(shù)，不符合題意；B、，不是的反比例函數(shù)，不符合題意；C、，是的反比例函數(shù)，符合題意；D、，該函數(shù)與成反比例函數(shù)關(guān)系，故本選項不符合題意；故選：C．2．A【分析】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，關(guān)鍵是熟練掌握坐標的變化規(guī)律．根據(jù)“關(guān)于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反”，即可求解．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標是，故選：A．3．A【分析】本題考查了事件的分類：必然事件、隨機事件及不可能事件，一定發(fā)生的事件是必然事件，可發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機事件，不可能發(fā)生的事件是不可能事件；根據(jù)這三種事件的意義進行判斷即可．【詳解】解：A、明天太陽從東方升起，是必然事件，符合題意；B、五邊形的外角和等于，是不可能事件，不符合題意；C、購買一張彩票，中獎，是隨機事件，不符合題意；D、隨意翻開數(shù)學課本的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)，是隨機事件，不符合題意；故選：A．4．B【分析】利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，．故選：B．【點睛】此題考查了圓周角定理,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓周角的一半這個定理的應(yīng)用．5．B【分析】利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵方程沒有實數(shù)根，∴，解得：，∵∴值可以是．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)灰色區(qū)域與整個面積的比即可求解．【詳解】解：∵轉(zhuǎn)盤中四個扇形的面積都相等，設(shè)整個圓的面積為1，∴灰色區(qū)域的面積為,∴當轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在灰色區(qū)域的概率是，故選：C．【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】由于于點，所以由垂徑定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．【詳解】解：在中，∵，，∴，∵在中，，，∴由勾股定理可得：故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理的性質(zhì)，熟練運用垂徑定理并結(jié)合勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．8．A【分析】先利用頂點式得到兩拋物線的頂點坐標，然后通過點的平移情況判斷拋物線平移的情況．【詳解】解：拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），拋物線y＝（x?3）2的頂點坐標為（3，0），∵點（0，0）向右平移3個單位可得到（3，0），∴將拋物線y＝x2向右平移3個單位得到拋物線．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．9．C【分析】首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知△ADE為等邊三角形，則DE=AD．【詳解】∵在等邊△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中點，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，∴AD=ABcos30°=6×=3．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，∴△ADE的等邊三角形，∴DE=AD=3，即線段DE的長度為3．故選C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．10．A【分析】設(shè)原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x﹣2）m，寬為（x﹣3）m．根據(jù)長方形的面積公式即可列出方程.【詳解】設(shè)原正方形的邊長為xm，則剩余的空地長為（x﹣2）m，寬為（x﹣3）m．根據(jù)題意得：（x﹣3）（x﹣2）=20．故選A.【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，掌握長方形的面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．11．D【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．該題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用的典型題目——濃度、溫度問題，先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，再利用解析式求得對應(yīng)信息．【詳解】A、根據(jù)題意可得與的函數(shù)關(guān)系式是，令，則，，即飲水機每經(jīng)過，要重新從開始加熱一次從點至，經(jīng)過的時間為，，而水溫加熱到，需要的時間為，故時，飲水機第三次從開始加熱了，令，則，即時，飲水機的水溫為，故A選項不符合題意；B、由題意可得點在反比例函數(shù)的圖像上，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，將點代入，可得，水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系式是，故B選項不符合題意；C、開機加熱時水溫每分鐘上升，水溫從升高到，需要的時間為，故C選項不符合題意；D、水溫從加熱到所需要的時間為，令，則，解得，水溫不低于的時間為，故D選項符合題意．故選：D．12．D【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，三角形的中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，得到四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．連接、，交于點，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，，由四邊形是矩形，即可得到，進而即可得出四邊形的面積，設(shè)的長為，則相鄰的邊為，從而得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【詳解】解：連接、，交于點，點、、、分別是邊、、、的中點，，，，，四邊形是矩形，，四邊形的面積，四邊形的周長為20，設(shè)的長為，則相鄰的邊為，，，，四邊形的面積的最大值是50．故選：D．13．【分析】列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，進而求出朝上點數(shù)為3的概率．【詳解】解：隨機投擲一枚質(zhì)地均勻的股子，朝上的點數(shù)可能為1，2，3，4，5，6，共六種，且每一種發(fā)生的可能性相同，因此朝上的點數(shù)是3的概率為，故答案為：．【點睛】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵．14．【分析】本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)“若一元二次方程的兩實數(shù)根為，，則有，”，即可求解．【詳解】解：一元二次方程的兩根為，，，故答案為：．15．##度【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角的概念，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)角的概念．根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念找到是旋轉(zhuǎn)角，從圖形中可求出其度數(shù)即可．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的概念：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角，可知是旋轉(zhuǎn)角，且，故答案為：．16．【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求得側(cè)面積，即圓錐的側(cè)面積，再求得圓錐的底面積，側(cè)面積與底面積的和就是全面積．【詳解】解：∵圓錐的高為2cm，底面半徑為2cm，∴圓錐的母線長為：＝4（cm），底面周長是：2×2π＝4π（cm），則側(cè)面積是：×4π×4＝8π（cm2），底面積是：π×22＝4π（cm2），則全面積是：8π+4π＝12π（cm2）故答案為：12πcm2．【點睛】本題考查了圓錐的面積，掌握知識點是解題關(guān)鍵．17．①③##③①【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．將解析式化為頂點式，進而判斷①②③，令，得出函數(shù)圖像與軸的交點，根據(jù)函數(shù)圖像即可判斷④，即可求解．【詳解】解：，，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，隨的增大而減??；故①正確，②錯誤，③正確；令，即，解得：，，如圖，當或時，，故④不正確，故答案為：①③．18．5【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三角形的面積，設(shè)點C的坐標為，則點A的坐標為點B的坐標為，由此即可得出的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合，即可求出k值，取其正值即可．【詳解】解：設(shè)點C的坐標為，則點A的坐標為，點B的坐標為，∴，，∵，∴或．∵反比例函數(shù)在第一象限有圖象，∴．故答案為5．19．，【分析】通過觀察方程形式，利用二次三項式的因式分解法解方程比較簡單．【詳解】解：原方程變形為∴，．【點睛】此題考查因式分解法解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則．20．(1)見解析(2)15【分析】（1）連接，，其交點就是對稱中心；（2）依據(jù)和關(guān)于點成中心對稱，即可得到，進而得出的周長【詳解】（1）解：如圖所示，點即為所求；

（2）解：和關(guān)于點成中心對稱，，，，，的周長；答：的周長為15．【點睛】本題主要考查了中心對稱，正確掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）畫樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，進而求出概率．【詳解】（1）解：攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為；（2）如圖，畫樹狀圖如下：

所有可能的結(jié)果數(shù)為16個，第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的結(jié)果數(shù)為3個，∴第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率為：．【點睛】本題考查簡單隨機事件的概率計算，利用列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件．22．(1)(2)見解析【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用描點法畫出函數(shù)圖像即可．【詳解】（1）解：把代入，得：，解得：，把代入，得，解得：，則雙曲線表達式為；（2）直線與雙曲線的圖像如圖所示：23．(1)(2)能【分析】（1）根據(jù)題意建立坐標系可得拋物線的頂點坐標為點，點，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把點代入，即可求解；（2）根據(jù)題意得：當時，，即可求解．【詳解】（1）解：如圖：以的中點為坐標原點，以所在直線為軸，以為一個單位建立坐標系，

∵，，∴，，，設(shè)拋物線函數(shù)表達式為，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：這輛貨車能安全通過，理由如下：根據(jù)題意得：當時，，∴這輛貨車能安全通過．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準確得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．24．(1)證明見解析；(2)．【分析】此題考查了圓的切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的運用以上知識解