2024高考數(shù)學(xué)必背公式與知識(shí)點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)（填空）

2024高考數(shù)學(xué)必背公式與知識(shí)點(diǎn)過(guò)關(guān)檢測(cè)

§第一部分:集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.子集個(gè)數(shù):含幾個(gè)元素的集合有個(gè)子集，有個(gè)真子集，有個(gè)非空子集，

有個(gè)非空真子集

2.常見(jiàn)數(shù)集：

自然數(shù)集:正整數(shù)集:或整數(shù)集:有理數(shù)集:實(shí)數(shù)集.

3.空集：0是任何集合的，是任何非空集合的.

4.元素特點(diǎn):、、.

5.集合的的運(yùn)算：集運(yùn)算、集運(yùn)算、集運(yùn)算

6.主要性質(zhì)和運(yùn)算律：

①重要結(jié)論：AC人=力，API0=0nA=0；AUA=A,AU0=0UA=A；UHA=A,U^A=U.

②包含關(guān)系：AUA,0UA,AUU,CuAJU;AJB,BUCnAUC；APIBUA,APlBUB,AUB2

A,AUB^BO

③等價(jià)關(guān)系：=i)B^B^CvA3CVB^AA。田=0=CVAUB=U；

④集合的運(yùn)算律:交換律：人口5=6門(mén)A,AUB=BUA；

結(jié)合律：(AnB)nc=An(Bnc),(AUB)UC=AU(BUC)；

分配律：An(BUc)=(AnB)u(Anc)=(AuB)n(Auc)；

求補(bǔ)律：AHCuA=0,AUCuA=U,Cu(CuA)=A；

反演律：CV(AnB)=CVAUCVB,Cu^AUB)=CVAHCvBa

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7.四種命題：

原命題：若p,則q；逆命題：若,則;

否命題:若,則;

逆否命題:若,貝1];

原命題與逆命題，否命題與逆否命題互;原命題與否命題、逆命題與逆否命題互

;原命題與逆否命題、否命題與逆命題互為.互為逆否的命題

8.充要條件的判斷：p=是q的條件；pnq,q是p的條件；p=

q,p,q互為條件；

注意區(qū)分:“甲是乙的充分條件（甲n乙）”與“甲的充分條件是乙（乙n甲廠；

建立與p、g相應(yīng)的集合，即p：A={x\p{x）成立},q：B—{x\q{x）成立}o

（1）若則夕是q的充分條件，若4至則0是q成立的充分不必要條件；

（2）若則p是q的必要條件，若8至4,則p是q成立的必要不充分條件；

（3）若A=8,則p是q成立的充要條件；

（4）若且則p是q成立的既不充分也不必要條件。

9.邏輯聯(lián)結(jié)詞:

或命題：@Vq,p,q有一為真即為,p,q均為假時(shí)才為;

且命題：pNq,p,q均為真時(shí)才為,p,q有一為假即為;

非命題：rp和p為一真一假兩個(gè)互為對(duì)立的命題

10.全稱量詞與存在量詞：（1）全稱量詞---------“所有的”、“任意一個(gè)”等，用V表示；

全稱命題p：\/xEM,p{x）;全稱命題p的否定ip：;

（2）存在量詞-------------“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用三表示；

特稱命題p：BxE河,「（劣）;特稱命題「的否定-ip：;

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§第二部分：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.函數(shù)的定義域：

分母0；

偶次被開(kāi)方數(shù)0；

0次零的底數(shù)0；

對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)0；

指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)0且1

y=sine、y=cosx的定義域?yàn)?y=tana:的定義域?yàn)閧劍,kGz};

實(shí)際問(wèn)題應(yīng)考慮實(shí)際限制。

2.分段函數(shù):值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題，先分段解決，再下結(jié)論；

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段定義域的、值域是各段值域的.

3.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)電，及6[a,b],且對(duì)片?，那么：

(1)(幻一色)[/(電)一/(◎)]>0=/(?_'(◎)>Oo/Q)在[心切上是________函數(shù)；

Xi一

(2)(的一力2)[/(?)_/(色)]V0O—“㈤〈00/(/)在[Q,6]上是________函數(shù)；

61—劣2

(3)如果((2)>0,則f(x)為函數(shù)；/'(2)<0,則f(x)為函數(shù)；

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:根據(jù)“同異”來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.

4.函數(shù)的奇偶性：

(1)函數(shù)的定義域關(guān)于對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件

⑵6是函數(shù)0/(-2)--f(x)；B是函數(shù)of(-7)—f(x).

⑶奇函數(shù)2在。處有定義，則

⑷在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有的單調(diào)性，偶函數(shù)有的單調(diào)性

⑸偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱、奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)對(duì)稱

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!32023電酎

5J(0=O除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：

奇函數(shù)士奇函數(shù)=.奇函數(shù)x奇函數(shù)=.奇函數(shù)土偶函數(shù)=.

奇函數(shù)X偶函數(shù)=.偶函數(shù)±偶函數(shù)=.偶函數(shù)X偶函數(shù)=.

6.任意都可寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)。(,)=/㈤-/(-①)和一個(gè)偶函數(shù)砂(⑼=f(x)。(—二的和。

7.常見(jiàn)的奇函數(shù)：a>0且aAl

(1)/(，)=4—cT%(2)/(0=/(八為奇數(shù))；(3)/3)=sin,；

(f-(rx_a2a:-lax+g-x_c^x+l

⑷/㈤=tana;；(5)/(2:)，/(①)

ax+a-x~a2a;+lax-a-x~c^x-l

1一4l+ax

⑹/㈤，于⑸

l+ax1—a"

(6)/(。)=10gtt，于(x)=loga(^1);

2

(7)/(ic)=lo刀(竭+1+x),f(x)=10gti(V^TT-工),f⑻=loga(V(M+1+bx),bERa

8.常見(jiàn)的偶函數(shù)：(1)/(0=a"+或。；(2)/(c)=㈤；(3)/Q)=①"(九為偶數(shù))；(4)/Q)=cost。

9.函數(shù)的周期性:周期有關(guān)的結(jié)論：(約定a>0)

(1W)=f(①+a),則f(x)的周期T=;若T是周期的(nCZ且九片0)也是周期;

(2)/3+a)=~f(x)，或/(2+a)=±-^-(f(x)片0),則f(x)的周期T=_________;

f(x)

(3)/(rr+a)=f{x一a)的周期為.

10.函數(shù)的對(duì)稱性：

①y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱=/(a+a?)=f(a-X)o/(2a—①)=/(￡);

②￡=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱=/(a+①)=f(b—x)=f(a+b—x)=/(a;);

③/(①)關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱的充要條件是：/Q)+/(2a-x)=26,即/(a—c)+/(a+①)=26

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IL對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)律：

（1）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化:__________________________

6

（2）對(duì)數(shù)恒等式：logal=___________,lo&Q=___________,logaa=__________?lg2+1g5=_________,

Ine=___________

（3）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

M

①力口法：logaM+logaN=________________________②減法:_____________________=1Dga獷

③數(shù)乘:__________=10go"（neR）

④恒等式：i=______________⑤log卅=______________⑥換底公式：lo&N=_______9

12.二次函數(shù)：

二次函數(shù)g=ax2-\-bx-\-c（aW0）的圖象的對(duì)稱軸方程是_____________,頂點(diǎn)坐標(biāo)是________判別式△;

△>0時(shí)，圖像與c軸有_________個(gè)交點(diǎn)；△=（）時(shí)，圖像與rc軸有_________個(gè)交點(diǎn)；/（0）=0時(shí)，圖像與

伍=上處軸沒(méi)有交點(diǎn)；

13.韋達(dá)定理：若為,少2是一元二次方程a/2+b/+c=0（QW0）的兩個(gè)根，則：61+◎=______,力口2=_____?

14.氟函數(shù)

定義：一般地，形如9=砂（"為常數(shù)，kGQ）叫做事函數(shù)，需要注意：（1）系數(shù)為_(kāi)________（2）指數(shù)是有理

數(shù)并且為常數(shù)；（3）后面不加任何項(xiàng)；如：9=3力,夕=^+2,夕=/+2都不是號(hào)函數(shù).

2y.

2、嘉函數(shù)在（0,+8）（第一象限內(nèi)）性質(zhì)

1）所有的事函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖像都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)_________,\:

J,-2-K

1

2）當(dāng)k>0時(shí)，則器函數(shù)圖像戊屏1K，開(kāi)且仕區(qū)間（0,+但）為_(kāi)________;"/?1O'12左

y=x~^\^

3）當(dāng)kV0時(shí)，則嘉函數(shù)在區(qū)間（0,+8）為_(kāi)________；A-1|

-2!

4）當(dāng)1fc為奇數(shù)時(shí)，零函數(shù)為_(kāi)________函數(shù)；當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)，嘉函數(shù)為_(kāi)________函數(shù)；

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15.指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

形如a'(a>0,aW1)函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中力是自變量.

定義

需要注意：(1)系數(shù)為1;(2)自變量在指數(shù)位置上；(3)函數(shù)的底數(shù)必須大于。且不等于1;

a>l0<a<l

圖象

定義域

值域

過(guò)定點(diǎn)

奇偶性

單調(diào)性

函數(shù)值的

變化情況

a變化對(duì)

圖象的影

響

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16.對(duì)數(shù)函數(shù)及性質(zhì)

函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)

形如y—logaX（a>0且aW1）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

定義需要注意：⑴系數(shù)為1；（2）自變量在指數(shù)位置上；（3）函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等

于1;

a>10<a<l

圖象

定義域

值域

過(guò)定點(diǎn)

奇偶性

單調(diào)性

函數(shù)值的

變化情況

a變化對(duì)圖

象的影響

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!72023電酎

17.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)解對(duì)數(shù)不等式

①同底的對(duì)數(shù)形式：借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于真數(shù)的不等式

Q>10<a<l

/㈤>0

logj(a:)>log^Q)=<或取>。

q{x]>0g(x)>0

J(x)<g^x)

②不同底的對(duì)數(shù)形式:運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，化為同底的對(duì)數(shù)形式

(2)解指數(shù)不等式

①同底的指數(shù)形式:利用單調(diào)性

㈤>成㈤。！°>i或

②不同底的指數(shù)形式：化成同底

18.解指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程

(1)解指數(shù)方程

①同底的指數(shù)方程：小力=成⑸，等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程/(力)=9(c)；

②不同底指數(shù)方程：/)=/⑺，兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(￡c}lga=g(x)lSb;

③二次方程型：at2x+bfc+a=0(t>0,t#:1),換元法

(2)解對(duì)數(shù)方程

[73)>o

①同底的對(duì)數(shù)方程：log"(a：)=logag(rc),等價(jià)轉(zhuǎn)化為：<g(x)>0特別地，log/G)=6,等價(jià)為：

1/(?)=3(?)

廳(，)>0

1/(，)=〃

②不同底的指數(shù)形式：化為同底，③/(logj(工))=0型:換元法

19.反函數(shù)：

(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線沙=工對(duì)稱.

⑵若點(diǎn)(a,b)在原函數(shù)的圖像上，則點(diǎn)(b,a)必在反函數(shù)圖像上，反之亦然；

(3)原函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

20221Sji(er8MeessenceofmathematicsResinitsfreedom!

20.函數(shù)的圖象

作函數(shù)圖象的兩種方法：

(1)描點(diǎn)法:①列表;②描點(diǎn);③連點(diǎn)成線.

(2)象變換法包括:平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換.

平移變換：

(1)夕=/(,)的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位得到函數(shù)沙=/(c+a)的圖象.

(2)y—f(x—&)(6>0)的圖象可由y=f(x)的圖象向右平移b個(gè)單位.

對(duì)于左、右平移變換，往往容易出錯(cuò)，在實(shí)際判斷中可熟記口訣:左加右減.而對(duì)于上、下平移，相比較則

容易掌握，原則是上加下減.這里要注意的是加、減指的是在/(立)整體上.

對(duì)稱變換：

(1)y=f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

(2)y=—f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于a;軸對(duì)稱；

(3)y=與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(4)9=/(㈤)的圖象：可先作出y=f(x)，當(dāng)/>0時(shí)的圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于沙軸對(duì)稱，作出沙

=/(2)(reW0)的圖象.

21.零點(diǎn)定理:若y=/Q)在［a,6］上滿足,則夕=/(,)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)

22.常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①(C)'=;②(，")'=;(九尤)'=③(sine)'=;

④(cos/)=虐(64=;⑥(*=;⑦(In/)?

⑧(log。=.

23.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：⑴[/(⑼±9(2)了=

(2)［.(t)?g(c)；T=____________________

特別提示：[C"(0]'=C"'(c),即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

TheessencecfmathematicsResinitsfreedom!92023電酎

24.曲線的切線方程：函數(shù)y=/(⑼在點(diǎn)g處的導(dǎo)數(shù)是曲線夕=/(,)在P(gJ(與))處的切線的斜率為廣(為),

相應(yīng)的切線方程是.

25.函數(shù)的單調(diào)性:在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果/'(⑼>,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。

在某個(gè)區(qū)間(a,6)內(nèi)，如果/(工)<，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

若函數(shù)單調(diào)遞增，則/'(⑦)>，；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)&,；

26.函數(shù)的極值:設(shè)函數(shù)/(2)在點(diǎn)&附近有定義，如果對(duì)然附近所有的點(diǎn)多,都有f(x)</(g),那么/(g)是函

數(shù)的一個(gè)極大值，記作強(qiáng)大值=/(g)；如果對(duì)g附近的所有的點(diǎn)都有/(劣)>/(&),那么f(x0)是函數(shù)的一個(gè)

極小值,記作砌小值=f(x0)。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。

函數(shù)的最值：將函數(shù)9=/(工)在［a,b］內(nèi)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、于(b)比較，其中最大的一個(gè)是

最大值，最小的一個(gè)是最小值。

27.三次函數(shù)/(①)=arc3+ba?+cx+d的圖象關(guān)于點(diǎn)(一*，/(—4))中心對(duì)稱

28.常用于求或恒成立、或有解、或無(wú)解命題中的參數(shù)取值范圍：

設(shè)函數(shù)/(，)的值域?yàn)?a,b)或［a,b］或(a,b］或［a,b)中之一種，則

①若A>/(力)恒成立(即4<f(X)無(wú)解)，則4>［/㈤1m

②若44/Q)恒成立(即>>f(x)無(wú)解)，則/!4If(①)］min；

③若A^f(X)有解(即存在工使得4>/(工)成立)，則4>

④若A&f(x)有解(即存在，使得A4/(工)成立)，則44［/(rc)］max；

⑤若4=/(工)有解(即4―/㈤無(wú)解)，則AE{y\y=f(x)}；

⑥若分=，3)無(wú)解(即1片/3)有解)，則Aeu{y\y—f(x)}.

2022期ter10MeessenceofmathematicsResinitsfreedom!

§第三部分:三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.角度制與弧度制互化：

360°=rad,1800=rad,10=七rad,Irad=七

2.若扇形的圓心角為a（a為弧度制），半徑為,,弧長(zhǎng)為周長(zhǎng)為C,面積為S,則

I=,C=,S==.

3.三角函數(shù)定義式：sina=,cost=,tana=

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系:（2）商數(shù)關(guān)系：tana=

5.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：口訣:.

(l)sin(2fc7U+a)=sina,,.(fc6Z)

(2),,tan(7u+(7)=tana.

(3),,tan(—df)=-tana.

(4),,tan(7L—a)——tana.

⑸sin(冷-a)=cosdf,.(6),cos(^-+a)=-sin以.

6.特殊角的三角函數(shù)值:

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

弧度

Sina

Cosa

tan(7

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!112023電酎

7.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):

y-sinxy-cos力y-tanrc

圖像

定義域

值域

周期

奇偶性

單調(diào)性

對(duì)稱性

8.幾個(gè)常見(jiàn)三角函數(shù)的周期：

①r-we4與v=\com\的周期為.②y-sin(mr?0或V=cos(s+@)(3,0)的周期為

③,l;m：的周期為.④'的周期為.

2023期ter12MeessenceofmathematicsResinitsfreedom!

9.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(l)cos(df-0)=；⑵cos(a+B)—;

⑶sin(a—B)=;⑷sin(a+0)=；

⑸tan(a—0)=;(6)tan(ar+/3)=.

10.二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin2a=cos2a===

0降次公式：cos2^=,sin2df=,sinacosa=

tan2(7=__________________

11.引入輔助角公式：

asina+bcosa=.(其中，輔助角。所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限決定,tan。=：).

12.正弦定理:.(R是外接圓直徑)

注：①a:b:c=sinA:sinB:sinC;②a=2RsinA,b=2J?sinB,c=2RsinC;

應(yīng)abca+b+c

sinA-sinB-sinC-sinA+sinB+sinC

13.余弦定理:o.（變式）（以4角和其對(duì)邊來(lái)表示）

14.三角形面積公式：&A反;===,（用邊與角的正弦值來(lái)表示）

三角形面積導(dǎo)出公式：SbABc=（r為^ABC內(nèi)切圓半徑）=（R外接圓半徑）

15.三角形內(nèi)切圓半徑廠=外接圓直徑2R===

16.射影定理：a—b-cosC+c-cosB,b—,c—；

17.角的變換在bABC中，4+_8+。=兀，則sin（A+B）=sin。；cos（A+B）=—cos。；tan（A+B）=—

c.A+BCA+B.C

tanG；sm——=cos-^-,cos——=sm^-；

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!132023欠似加

§第四部分:平面向量、數(shù)列與不等式

1.平面向量的基本運(yùn)算，設(shè)方=Qi,為）,；=（◎,幼）;（，片①：

（1）a+b=;a—b=;

（2）a-b=（定義公式）=（坐標(biāo)公式）.

（3）日在X方向上的投影為.=（坐標(biāo)公式）

（4）a±6o（一般表示）=（坐標(biāo)表示）.

（5）a//bQ（一般表示）。（坐標(biāo)表示）.

（6）夾角公式：cos。==（坐標(biāo)公式）.

（7）三角形不等式:||a|-|fe||<|a±b|<|a|+|&|.

（8）重要結(jié)論:若|五+向=—由，則。

（9）向量的模：a|=Va?a=y/a?

（10）（a+b）（a—b）=\a\2—|6|2=a2—fe2；（a+b）2=\a+b|2=a2+2a-b+b~=|a|2+2a-b+\b\2；

222222

（a—b）=\a-b\=a-2a-b+b=\a\—2a-b+\b\c

2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)8⑶，"），￡（如神），4為實(shí)數(shù)，且瘠=4可L則點(diǎn)P坐標(biāo)為

我們稱4為點(diǎn)P分銀所成的比。

3.若G為^ABC的重心，則=。；且G點(diǎn)坐標(biāo)為（,）

4.三點(diǎn)共線的充要條件：P,三點(diǎn)共線OP^xOl+yOS且=1

5.三角形的四心

重心：三角形三條交點(diǎn).

外心：三角形三邊相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的相交于一點(diǎn).

2023期ter14MeessenceofmathematicsResinitsfreedom!

6.數(shù)列｛斯｝中0n與&的關(guān)系斯=

7.等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié):

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

1.斯=1.斯=

公式

2.Sn=2.Sn—

1.Q,b,c成等差數(shù)列01.a,b,c成等比數(shù)列0稱b為

性質(zhì)稱b為a與c的等差中項(xiàng)a與c的等比中項(xiàng)

2.若?n+n=p+q,則2.若?n+n=0+q,則

8.常見(jiàn)數(shù)列的和：

①1+2+3+…+n=②V+22+32+…+n2=0l3+23+33+…+n3=

9.數(shù)列單調(diào)性的判定及其應(yīng)用:

斯+i>1,0>0或%+i<1,0V0

斯+1>^Tl為+1—%>onn單調(diào)增數(shù)列

Q九CLn

況或況>1,冊(cè)<0

斯+1V單調(diào)減數(shù)列

MCLn

Q*n+11

^n+1-斯+i一斯=0------=1常數(shù)列

TheessencecfmathematicsResinitsfreedom!152023電酎

10.證明｛斯｝為等差數(shù)列的方法：

（1）定義法：0n—0nT=d（d為常數(shù),71>2）=｛冊(cè)｝為等差數(shù)列；

（2）中項(xiàng)法：24+i=?+?+20｛4｝為等差數(shù)列；

（3）通項(xiàng)法：0n為71的一次函數(shù)Q｛@｝為等差數(shù)列；

（4）前n項(xiàng)和法：&=An2+或&="電；%）。

11.等差數(shù)列的性質(zhì)

（1）在等差數(shù)列中，若？n+?i=p+k,則0m+冊(cè)=a「+a^m、n、p、k￡N+）。

（2）在等差數(shù)列｛斯｝中，魚(yú)、保上、、。孰、…仍為等差數(shù)列，公差為O

（3）若｛斯｝為等差數(shù)列，則&、S2k—&、S3k—S2八…仍為等差數(shù)列，公差為肥d。

色+電+.-I---卜％+猴+1+：…+■+.k+l+…+。3?

sk隊(duì)一Sk隊(duì)-82k

（4）等差數(shù)列的增減性：d>0時(shí)為遞增數(shù)列，且當(dāng)Q1V0時(shí)前71項(xiàng)和&有最小值。

dVO時(shí)為遞減數(shù)列，且當(dāng)Qi>0時(shí)前n項(xiàng)和&有最大值。

（5）等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)是Q1,公差為d。

若其前幾項(xiàng)之和可以寫(xiě)成&=A"+B"，則人=9，B=aj-9，當(dāng)dWO時(shí)它表示二次函數(shù)，數(shù)列｛冊(cè)｝

的前九項(xiàng)和a=4稼+即是｛冊(cè)｝成等差數(shù)列的充要條件。

12.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有三種方法：

（1）利用源:①當(dāng)5>0,d<0,前幾項(xiàng)和有最大值，可由冊(cè)>0且4+140,求得九的值；

②當(dāng)?shù)?lt;0,d>0,前幾項(xiàng)和有最小值，可由4W0且％+1>0,求得幾的值。

注意：求&的最值時(shí)，當(dāng)趣=0時(shí)幾取兩個(gè)值。

⑵利用S“：由&=和+（為一號(hào)九利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)九的值。

（3）利用函數(shù)的單調(diào)性

2023做成r16TfteessenceofmathematicsResinitsfreedom!

13.等比數(shù)列的判定與證明方法

（1）定義法：若&^=9（九G乂，qWG）或&—=q（n>2,n￡N+,q#0）,則｛廝｝是等比數(shù)列。

%斯-1

（2）等比中項(xiàng)法:若數(shù)列｛&｝中,一#=0且成+1=以?4+2（九￡乂）,則｛@｝是等比數(shù)列。

（3）通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成%=c?qn（c#0,Q#0,nENj,則｛斯｝是等比數(shù)列。

14.等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a、G、b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為Q與b的等比

中項(xiàng)。即G=±（a、b同號(hào)）。

如果在a與&中間插入一個(gè)數(shù)G,使a、G、b成等比數(shù)列，則,=，茄；

反之，若d=血?jiǎng)t'即a、G、b成等比數(shù)列,

CLCr

:.Q、G、b成等比數(shù)列oCP=abb（abW0）o

（2）等比中項(xiàng)的性質(zhì)：

①成=斯_1?冊(cè)+"口>2）；成=0n_卜?0n+4n>k>0）；

t

②若？71+n二'+阮則aman=ap'akQ

（3）數(shù)列｛%｝首項(xiàng)是s,公比為3,數(shù)列｛bn｝首項(xiàng)為伍,公比為例,則數(shù)列｛%,葭｝是首項(xiàng)為6,仇,公比為

曳9的等比數(shù)列，同理數(shù)列｛畀是首項(xiàng)為F公比為的等比數(shù)列。

（4）在公比為q的等比數(shù)列｛%｝中，數(shù)列0m、為0m+2八0?+3「?仍是等比數(shù)列。

（5）公比為心數(shù)列豆、%-2、%-%、…仍是等比數(shù)列（此時(shí)qW—1）。

彌

.+電+.-I---FQA；+猴+1+：…+??+.k+i+：…+034

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!172023期成

15.遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié):

（1）定義法：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：％=ai+（九一l）d或an—am+（n-m）do

nm

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：%=m?g"T（a/qW0）或an=am-q-（n>rn）

（2）做差法：由4與&（即a2H----F%=/（n））的關(guān)系求源，。

1szi—S九—1，Tb-2

（3）累加法：由%+1—￡1n=/（九）求為，%=—+（*-4-2）+…+（出-的）+的（n〉2）。

（4）累乘法：已知馬巴=/（"）求通項(xiàng)冊(cè)，%=工?烏曰…四?ai（n>2）。

斯MT飆-2Q1

（5）已知遞推關(guān)系求斯，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）：

形如％+1=00n+/（九），只需構(gòu)造數(shù)列｛勾｝，消去/（打）帶來(lái)的差異，/仇）的形式有：

①/伍）為常數(shù)，即遞推公式為On+i=p%+q（其中0、q均為常數(shù)且。q（p—1）W0）。

解法:先設(shè)參轉(zhuǎn)化為冊(cè)”+4=p（源+為,其中4，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

②于（n）為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an+1=p-an+r-n+so

③/（九）為n的二次式，則可設(shè)鼠=a1n+Bi+Co

遞推公式為0n+i=p?斯+qY其中p、q為常數(shù)且pq（p—1）（q-1）WO）或冊(cè)+i=p?斯+/?礦其中p、q、r

為常數(shù)）。

解法：一般地要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得：筌=2?笠+工,引入輔助數(shù)列也“｝（其中勾=

qn+qqq

—，得：勾+1=2?廉+工,再應(yīng)用類型（1）的方法解決。

qqq

遞推公式為4+2=p?an+i+q?%（其中0、q均為常數(shù)）。

解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為4+2—S?詼+1=力（冊(cè)+1-S?冊(cè)），其中S、力滿足卜：*J解出S、九于是

[st=-q

｛斯+1—S斯｝是公比為力的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。

2022出伍r18MeessenceofmathematicsResinitsfreedom!

形如冊(cè)或斯-1—>@=/源?％_1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

k0nt+b

形如源+l=p-&;型，該類型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等

比數(shù)列求通項(xiàng)。兩邊取對(duì)數(shù)lga?+i=lg（p?或）=Igp+rTg0n，設(shè)bn=\gan,原等式變?yōu)閎n+1=r-bn+igp

即變?yōu)榛拘汀?/p>

16.數(shù)列常用求和方法

小絲呈就到七行a（出+冊(cè)）n（%+%_（時(shí)i））7in（n-l）c?e.e.,

（1）等差數(shù)列求和：&=---------=-------2----------=77,01---------2------；6n+n=&1+&+mnd°

pzai（q=1）

mn

（2）等比數(shù)列求和：&=電（1—q"）_a「0nq（;Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSmO

[1—q—]_q?）

（3）分組求和法:把數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求和。

對(duì)于求|叫的前幾項(xiàng)和的問(wèn)題一般都是分類討論。

（4）倒序求和法:將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求

出，這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。

（5）裂項(xiàng)相消法:就是把數(shù)列的各項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，相鄰的兩項(xiàng)彼此相消，只余有限幾項(xiàng)，就可以化簡(jiǎn)后

求和。適用條件:

①其中｛冊(cè)｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)，可拆解為」

IJ^n^n+1

②部分無(wú)理數(shù)列C

■\f^n+VOn+1

（6）一些常用的裂項(xiàng)公式:

①—1—=x__1_.②]=_______1_______=________

n(n+1)nn+14儲(chǔ)一1(2n-l)(2n+l)2,2n—12n+l八

1

④—Vn+1—Vn；

n(n+2)21nn+2'Vn+1+Vn

TfoessencecfmathematicsResinitsfreedom!192022和fer

⑤__1_=9___L_)i____xr__i________]

n(n+%)k'n九+n(n+1)(n+2)=2Ln(n+1)(n+1)(n+2)

(7)常見(jiàn)放縮公式：

①2(Vn+1—Vn)=/?----『VV—j=—)/=2(Vn——/)

vn+1+vnvnvn+vn—1

J妒fc2-l—2Vfc-lfc+l^

11=11=11-

kfc+1k(k+1)fc2k[k—1)k—1k

（8）錯(cuò)位相減法：主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得的新數(shù)列求和

（9）周期法:有的數(shù)列是周期數(shù)列，把握了數(shù)列的周期則可順利求和

17.常用不等式的重要性質(zhì)

名稱式子表達(dá)

性質(zhì)1（對(duì)稱性）Q>b=bVa

性質(zhì)2（傳遞性）a>b,b>c=a>c

推論1：a+b>cna>c—b

性質(zhì)3（可加性）Q>b=a+c>b+c

推論2：a>b,c>d=a+c>b+d

推論1：a〉b>0,c>d>00ac>bd

a>b,c>0=>ac>be

性質(zhì)4（可乘性）推論2：a>b>O^ar>bn(neA^)

a>b,cV00acVbc

推論3：a>b>0oyfa>/F(nEN+)

18.實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)：a—b>0=a>b；a—b=O0a=b；a—b<0Vo

2022顆er20TfteessenceofmathematicsResinitsfreedom!

19.三個(gè)“二次”的關(guān)系:

判別式△=b?—4acA>0A=0