圓錐曲線的方程專題八講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)人教A版數(shù)學(xué)--圓錐曲線的方程專題八知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)雙曲線過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線中的定值問(wèn)題典例1、已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），直線和直線與直線分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)垂直于x軸時(shí)，的面積為2．（1）求C的方程；（2）求證：為定值，并求出該定值．

隨堂練習(xí)：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：的離心率為，點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率分別為，.證明：為定值.典例2、已知雙曲線，．焦距為，浙近線方程為．（1）求雙曲線C的方程．（2）已知M，N是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)直線PM、PN分別交x軸于點(diǎn)了T、S，試問(wèn)：是否為定值．若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，請(qǐng)求出定值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）

隨堂練習(xí)：已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，且，到C的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.典例3、已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線的離心率為，左?右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)滿足（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與直線AN交于點(diǎn)D.設(shè)直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.知識(shí)點(diǎn)二拋物線的焦半徑公式,根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線中的參數(shù)范圍問(wèn)題,拋物線中的定值問(wèn)題典例4、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．

隨堂練習(xí)：已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.典例5、已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．（1）若，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且滿足，原點(diǎn)到直線的距離不小于，求的取值范圍．

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1.（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.典例6、如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)B與軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，求N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

隨堂練習(xí)：如圖，已知過(guò)點(diǎn)，圓心C在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若MN為在x軸上截得的弦，設(shè)，，當(dāng)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否變化？證明你的結(jié)論．求的最大值，并求出取最大值時(shí)值及此時(shí)方程．人教A版數(shù)學(xué)--圓錐曲線的方程專題八答案典例1、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析，90°解：（1）由題意知，則．當(dāng)軸時(shí)，，故的面積，解得，故C的方程為．（2）由（1）得，設(shè)，則直線，令，得；直線，令得．故，因?yàn)?，故，又，則．因此，故，即．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）由題知：由雙曲線的定義知：，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，，，典例2、答案：（1）；（2）是定值，定值為2．解:（1）又因?yàn)闈u近線方程為，，，，.（2）是定值，定值為2設(shè)直線的方程為，，則，將直線方程代入得，因?yàn)闈u近線方程為，與漸近線不平行，.設(shè)點(diǎn)，，則，由韋達(dá)定理可得，，由N，S，P三點(diǎn)共線得，故，，即為定值且定值為2.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）是定值，解：（1）由題意得，，漸近線方程為，則到漸近線的距離為，又因?yàn)?，所以，，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線：，，，，聯(lián)立方程組得，所以，.因?yàn)橹本€的方程為，所以的坐標(biāo)為，同理可得的坐標(biāo)為.因?yàn)椋?，即為定?典例3、答案：（1）（2）解：（1）已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，右頂點(diǎn)為，不妨取漸近線為，即，則，從而可解得，所以雙曲線C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，則，則，，，因?yàn)椋瑒t，即，即，即，整理得，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）由題意知，又，所以，由，可得，又，所以，故，所以雙曲線的方程為；（2）因?yàn)椋糁本€l的斜率不存在，則l與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，故l的斜率存在，設(shè)l：，聯(lián)立得：，設(shè)，則.因?yàn)椋?，①又，所以，②?lián)立①②，解得，于是所以為定值.典例4、答案：（1）；（2）解：（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線是，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以；（2）因?yàn)辄c(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．（ⅰ）若直線l的斜率不存在，則．由得，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即，所以，所以因?yàn)?，所以①．（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．由得，所以，且，所以（*），因?yàn)椋?，即，所以，所以，得，因?yàn)椋?，即，所以，所以則所以，得，所以②，代入（*）得，，所以③，由②得，所以④，所以，所以，⑤由④，⑤知，綜合（ⅰ）（ⅱ）知直線l在x軸上截距b的取值范圍是．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）或解：（1）易知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，依題意，所以點(diǎn)軌跡是一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，設(shè)該橢圓的方程為，則，，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）易知直線1的斜率存在，設(shè)直線1：，由得：，，即①又，故，將，代，得：，將②代入①，得：，即，即，即，且，即的取值范圍為或.典例5、答案：（1）或；（2）.解：（1）由題意及拋物線的定義得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由可得或，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）設(shè)，，聯(lián)立消去可得：，則，，因?yàn)?，所以，所以，可得，由原點(diǎn)到直線的距離不小于，可得，解得或，因?yàn)椋圆怀闪?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）因拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則p=1，所以C的方程為.（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，直線AB的方程為y=2x+m，設(shè)，由消去x得：，由題意知，得，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，再由，可得，又點(diǎn)N在直線l上，則，于是，從而有，所以l在y軸上的截距的取值范圍為.典例6、答案：（1）；（2），，．解：（1）設(shè)直線AF的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),則，.∴,,設(shè)M(x0，y0),則x1+x2=2x0,∴x0=pk,∵當(dāng)k=1時(shí)x0=2,∴p=2,則拋物線的方程為（2）設(shè)，，，．由題知不垂直于軸，可設(shè)直線由消去得，故，所以．又直線的斜率為，故直線的斜率為，從而的直線