2023-2024學(xué)年北京某中學(xué)高二（下）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年北京二中高二(下)段考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

L為了得到函數(shù)y=sin(2x+》的圖象，只需要把函數(shù)y=s譏x的圖象上()

A.各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向左平移弓個單位長度

B.各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的〈，再向左平移［個單位長度

C.各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移與個單位長度

D.各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移［個單位長度

2.已知等差數(shù)列｛即｝前9項的和為27,a10=8,則的。。=()

A.100B.99C.98D.97

3.已知TH,ri是兩條不同直線，a,/?,y是三個不同平面，下列命題中正確的是()

A.若zn〃a,n//a,則m〃?iB.若a1y,/?1y,則?！ā?/p>

C.若m//p,貝b〃SD.若7nla,n1a,則？TI〃?I

4.若拋物線y?=2px(p>0)上的點到其焦點的距離是/到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于

()

13

AqB.1C.|D.2

5.已知橢圓C4+，=l(a>b>0)的左、右頂點分別為A2,且以線段&&為直徑的圓與直線人一

ay+2ab=。相切，則C的離心率為

()

6.反射性元素的特征是不斷發(fā)生同位素衰變，而衰變的結(jié)果是放射性同位素母體的數(shù)目不斷減少，但其子

體的原子數(shù)目將不斷增加，假設(shè)在某放射性同位素的衰變對程中，其含量N(單位：貝克)與時間t(單位：

天)滿足函數(shù)關(guān)系N(t)=為/克(e為自然對數(shù)的底數(shù))，其中治為「=0時該同位素的含量，已知當(dāng)t=48

時，該放射性同位素含量的瞬時變化率為-1,則N(48)=()

A.12貝克B.12e貝克C.24貝克D.24e貝克

7.直線y=5%+6是曲線y=婕+2%+1的一條切線，則實數(shù)b=()

A.-1或1B.—1或3C.-1D.3

8.如圖，中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲,

乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙安排2人，夢天實驗艙安

排1人.若安排甲、乙兩人同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（）

夢天

實驗艙II

A.12種B.16種C.20種D.24種

9?數(shù)列L擊，急，…，木心后的前幾項和堤，則正整數(shù)附值為

()

A.6B.8C.9D.10

10.已知直線x+y-a=0(a>0)與圓/+*=4交于不同的兩點力，B,。是坐標(biāo)原點，且有|雨+

OB\>\AB\,那么a的取值范圍是()

A.(72,+oo)B.2,4-00)C.[2,2/2)D.[<2,272)

11.若直線ax+by=1(協(xié)40)經(jīng)過點M(cosa,s譏a),貝!|()

A.滔+/W1B.滔+/21C.a?+b?<1D.a?+塊>1

12.如圖，在棱長為2的正方體ABC。中，P為線段&Q的中點,

Q為線段BC］上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點Q,使得PQ〃B。

B.存在點Q,使得PQ1平面4B1QD

C.三棱錐Q-4PD的體積是定值

D.存在點Q,使得PQ與4。所成的角為！

O

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

13.已知函數(shù)f(x)=exlnx,(0)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則r(1)的值為.

14.已知雙曲線捻-A=IQ>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為亨c,則其離心率為

15.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一

共有個.(用數(shù)字作答)

16.四面體ABCD中，。是BD的中點，△4BD和△BCD均為等邊三角形，AB=2,4C=/石，點。到平面

4BC的距離為.

17.在AABC中，角4B和C所對的邊長為a,b和c,面積為寺9？+c?-肝)，且乙。為鈍角，貝U

tanB=_(1)_；:的取值范圍是_(2)_

18.對于數(shù)列｛tin｝，令Tn=a1—a?+a3—<24+…+(―,給出下列四個結(jié)論：

①右廝=71,則72023=1012;

②若％=n,則a2022=-1；

③存在各項均為整數(shù)的數(shù)列｛%J，使得>|Tn+ll對任意的n￡N*都成立；

④若對任意的neN*,都有|7J<M,則有|廝+1—即|<2M.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面力BCD是邊長為2的正方形，PA=2,PA1AB,E為BC的中點，F(xiàn)為

PD的中點.

(1)求證：EF〃平面P4B；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線4D與平面4EF所成角的正弦值.

條件①：ADLPB-,

條件②：PC=26.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

p

D

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=x3—ax2—a2x+1,其中a>0.

(1)當(dāng)。=1時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

-1

(II)若曲線y=f(x)在點a))處的切線與y軸的交點為(0,爪)，求機+(的最小值.

21.(本小題12分)

已知橢圓C；務(wù)，=l(a>6>0)的左、右頂點分別為點4,B,且網(wǎng)=4,橢圓C離心率為去

(I)求橢圓C的方程；

(II)過橢圓C的右焦點，且斜率不為0的直線，交橢圓C于M,N兩點、,直線AM,8N的交于點Q,求證：點Q

在直線x=4上.

22.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=x+alnx(aeR).

(1)當(dāng)。=一1時，求函數(shù)/(X)的極值;

(11)若不等式/(%)<+ax對任意久>。恒成立，求a的取值范圍.

23.(本小題12分)

已知有窮數(shù)列力：的,a2,ajv(NeN*,N23)滿足a,e{—l,0,l}(i=1,2,N).給定正整數(shù)m,若

存在正整數(shù)s,t(s中t),使得對任意的ke[0,1,2,1),都有cis+k=at+k,則稱數(shù)列力是m-連續(xù)等

項數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列2：-1,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續(xù)等項數(shù)列？是否為4-連續(xù)等項數(shù)列？說明理

由；

(II)若項數(shù)為N的任意數(shù)列4都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N的最小值；

(III)若數(shù)列2：di，a2,(2N不是4一連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列&：a1a2,aN,-1,數(shù)列4：ara2,

a

aN,。與數(shù)列43：■■■>N>1都是4一連續(xù)等項數(shù)列，且口3=0，求心的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：把函數(shù)y=s譏久的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,得到函數(shù)y=s譏2x的圖象，

接下來若向左平移5個單位長度，得到函數(shù)y=sin2（x+與）=sin（2x+等的圖象；

若向左平移［個單位長度，得到函數(shù)y=sin2（x+勺=sin（2x+勺的圖象；

oo5

故A錯誤，8正確；

C、。中伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，=sin^的圖象，在無論怎樣平移都得不到所要求的函數(shù)的圖象，

故。錯誤.

故選:B.

利用函數(shù)圖象平移、伸縮變換的法則依次判定各個選擇支的變化之后的函數(shù)解析式是否符合題目要求即可

作出判定.

本題主要考查函數(shù)y=Asin^x+⑴）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和運算，屬于基礎(chǔ)題.

由前9項的和和的。，求解首項與公差，進而利用通項公式求解即可.

【解答】

解:由已知19al七及弓n”,所以%_=—1,d=1,的。。=a1+99d=-1+99=98.

十ya=o

故選：c.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查空間中線線關(guān)系、面面關(guān)系判斷，考查空間想象能力，屬于中檔題.

由線面的位置關(guān)系可判斷4C；由面面位置關(guān)系可判斷8；由線面垂直的性質(zhì)可判斷。，進而可得正確選

項.

【解答】

解：對于選項A：若?n〃a,n//a,則m,n異面或n相交，故選項A不正確；

對于選項B：若aly,貝！|a〃/?或a,￡相交，故選項B不正確;

對于選項C：若mJla,m//p,則a〃.或a,0相交，故選項C不正確；

對于選項。：若m1a,n1a,由線面垂直的性質(zhì)可得m〃n，故選項。正確.

故選：D.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì).考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)拋物線的定義及題意可知3久°=比+基得出均求得p,可得答案.

【解答】

解：,??拋物線y2=2Px（p>0）上的點4（久0，，^）到其焦點的距離是4到y(tǒng)軸距離的3倍，

則3%0=%（）+,XQ=

.P2_

.?萬-27,

vp>0,

???p=2,

故選D

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了橢圓的性質(zhì)，點到直線的距離公式，考查了計算能力，屬于中檔題.

根據(jù)題意，可得產(chǎn)組=。，進而求得離心率.

Ja2+b2

【解答】解：以線段/遇2為直徑的圓與直線故-叼+2ab=0相切，

二原點到直線b%-ay+2ab=。的距離等于a,

即Ma”—CL9

Ja2+b2

化為。2=3接,

:橢圓C的離心率e=（=J1—=苧.

故選A.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)的瞬時變化率的求解，指數(shù)函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知可求出No,把t=48代入即可求解.

【解答】解：因為N(t)=Me-",

1t

所以N，(t)=-^-Ne-^,

Z4o

當(dāng)t=48時，-黑?-2=—1,

24

所以M=24e2,

則N(48)=24e2Xe-2=24.

故選：C.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)切點M(7n,n),y'=3/+2,

則3ni?+2=5,解得m=1或-1；

若m=1,則幾=5+6=13+2x1+1=4^6=—1；

若m=-1,貝！Jn=-5+b=(―I)3+2X(-1)+1=—2=>b=3；

綜上所述，b=-1或3,

故選：B.

設(shè)切點M(m,也利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得機=1或-1,繼而可求得6.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運算能力等核心素養(yǎng)，屬

于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：按照甲是否在天和核心艙劃分，

①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的4人中再選取1人，剩下3人去剩下兩個艙位，則

有盤?Cj=12種可能；

②若甲不在天和核心艙，則在問天實驗艙，剩下4人中選取3人進入天和核心艙即可，則有盤=4種可能；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有12+4=16種可能.

故選：B.

可以按照元素甲分類討論，特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮即可得解.

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：a=-上上=(二、=2(-—")，

“n1+2+3H--\-n(n+l)nn+ly

111112n

+++-

------一

;該數(shù)列的刖71項和為%=2(1223n

n+

令含建得"9

故選C

利用等差數(shù)列的求和公式得出所給數(shù)列的通項公式，使用裂項法求和，列出方程解出71即可.

本題考查了等差數(shù)列的求和公式，裂項法求和，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：設(shè)4B的中點為C,

因為|瓦？+話|>\AB\,

所以|OC|>\AC\,

因為|OC|=號，|AC|2=4—|OC|2,

所以2（騁丁>4,

所以a<一2或a>2,

因為騁<2,所以-22<a<2，Z

因為a>0,所以實數(shù)a的取值范圍是［2,2/2）,

故選：C.

設(shè)4B的中點為C,因為|瓦？+4|N|荏所以|0C|2|4C|,因為|OC|=號，|4C|2=4—|OC『，所以

2（瞿）224,可得a<-2或aN2,結(jié)合黑<1,a>0,即可求出實數(shù)a的取值范圍.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

1L【答案】D

【解析】解：因為cos2a+sin2a=1,

所以點M在單位圓/+y2=1上,

因為直線ax+by=H0）經(jīng)過點M,

所以直線a%+by=l（abW0）與單位圓有公共點，

所以圓心到直線的距離為d=<1,可得a?+b2>l.

、a2+廬

故選：D.

由點M（cosa,s譏a）可知點M在單位圓上運動，由題意可得直線和單位圓有公共點，借助圓心到直線的距離

與半徑的關(guān)系可求.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查線線平行的判斷，線面垂直的判定定理，三棱錐的體積，線線角的求解，屬綜合題.

對4由BiDiflPQ=P即可判斷；對B若Q為BC1中點，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判

斷；對C只需求證與面4PD是否平行；對。利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.

【解答】

解：對于4：正方體中BZV/BiA，而P為線段&的的中點，即為當(dāng)名的中點,

所以BiAnPQ=P,故瓦），PQ不可能平行，所以4錯；

對于B：若Q為8G中點，貝UPQ〃2i8,而41814故PQ144,

又4D_1_面438141，4/u面ABB/i，則故PQ14D,

ABrCiAD=A,ABr,ADa^AB^D,貝i]PQlElX^QD,

所以存在Q使得PQ，平面ABiG。，所以B對;

對于C：由正方體性質(zhì)知：BCJ/ADr,而面4PD=4故與面力PD不平行,

所以Q在線段BCi上運動時，至1」面4PD的距離不一定相等,

故三棱錐Q-4PD的體積不是定值，所以C錯;

對于D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則4(2,0,0),P(l,l,2),Q(2—a,2,a)且0WaW2,

所以51=(2,0,0)，PQ=(1-a,l,a-2)，設(shè)<育，PQ>=0，

_______2(1-a)_______I_l—al

則cos。=|

2xJ(l-a)2+l+(a-2)2________a213a+3,

令t=則8S"不J號,

當(dāng)t=。則cos。=0；

|t|1

當(dāng)tKO時，cos"

/2-Jt2+t+l夕]1+1+：

當(dāng)te(0,1]>貝壯e[1,+oo),cosde(0,孚]；

t6

當(dāng)te[-1,0),貝葉e(-00,-1],cosee(。,爭;

所以cosg=￥不在上述范圍內(nèi)，所以D錯.

62

故選：B.

13.【答案】e

【解析】【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算公式與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求出函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)，再計算尸(1)的值.

【解答】

解：函數(shù)/'(x)=ex\nx

則f'(久)=exlnx+%,

/(1)=e1-Ini+y=e.

故答案為e.

14.【答案】2

【解析】解：雙曲線占一方=〉。,6>。)的漸近線為：y=±如即6x±ay=0,

因為右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為容c,

所以^^=苧的

JaW2

FbV-3

叫1n=子

解得2b=^3c,

又a?+b2=c2,

所以4(c?-a2)=3c2=>c?=4a2=>^=4=>e2=4,

因為e>1,所以e=2,

故答案為：2.

根據(jù)給定條件求出雙曲線的漸近線，再用點到直線的距離公式建立a,b,c的等量關(guān)系式，計算可得結(jié)

果.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點是離心率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】408

【解析】解：根據(jù)題意，分成兩類情況：

①四位數(shù)中沒有偶數(shù)，即在1,3,5,7中任選4個，共有用=24種，

②四位數(shù)中只有一個偶數(shù)，即在1,3,5,7中任選3個，在2,4,6,8種選一個，共有盤盤用=384

種，

故共有24+384=408.

故答案為：408.

根據(jù)題意，分成兩類情況：①四位數(shù)中沒有偶數(shù)，即在1,3,5,7中任選4個，②四位數(shù)中只有一個偶

數(shù)，即在1,3,5,7中任選3個，在2,4,6,8種選一個，然后結(jié)合排列組合即可求解.

本題主要考查了分類與分步計數(shù)原理，還考查了排列組合知識的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】雪

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)D到平面ABC的距離為h,連接。C,入

為等邊三角形,。為BD的中點，.??力。1BD

由于=2,貝!Jz。=V4—1=

同理：CO=/3-

又由4c=，后，

在AAOC中，AO2+CO2AC2,貝!］有N力。C=90°,即4。1OC,

又由2。1BD,

則有4。_L平面BCD,

過點E作。E18C,交BC與點E,連接AE,

貝UOE=OBs譏60°=亨，

又由4。=貝1UE=7A。2+OE2=苧，

2

故S-BC=|xX￡xBC=1x2x^p=^>S^BDC=^Jx2=73-

ZZZZ4

11

^A-BCD=§XAOXS^BCD，^D-ABC=3^LBCD'

...由等體積法可得：VA_BCD=VD_ABC,即力xCxJ^=gx苧/1，

變形可得：h=接=罕.

.?.點。到平面2BC的距離為=雪.

故答案為：爭.

根據(jù)題意，設(shè)D到平面2BC的距離為九，連接0C,先證4。_L平面BCD,過。作。E1BC于E,連接4E,利用

等體積能求出。到平面力BC的距離.從而能求出點。到平面4BC的距離.

本題考查點到平面的距離，涉及棱錐的體積公式，屬于中檔題.

17.【答案】白(|，+8)

【解析】解：根據(jù)題意，由余弦定理可知：a2+c2-b2=2accosB,

則S=|acsinB=1(a2+c2—b2)=|x2accosB,變形可得sinB=cosB,則tcmB=g,

又由B銳角，貝！JsinB=卷，cosB=|,

CsinC_sin(714-5)_sinAcosB+cosAsinB

=cosB…+si?nBnx--1--=-4x--1--+.3

asinAsinAsinAtanA5tanA5

又由力=77■—(B+C)=(兀一C)一B,且C為鈍角，則則tcmAWtan?—B)=',

ZZ4

1ic、44,35

MTha-5X3+5=3

即;的取值范圍是(|,+8);

故答案為：+oo).

根據(jù)題意，對于第一空：先由余弦定理和三角形面積公式可得S=：acs譏B=g(a2+c2-62)=^x

2accosB,變形可得s譏B=：cosB,據(jù)此可得答案；對于第二空：由正弦定理可得二=*=變吟曳=

包上叫發(fā)生姓=cosB+s出BX」=gx」+|,結(jié)合誘導(dǎo)公式分析tcm力的范圍，計算可得答案.

sinAtanA5tanA5

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用.解題的過程中主要是利用了余弦定理的變形公式，把邊的問題轉(zhuǎn)化為角

的問題.

18.【答案】①②④

【解析】【分析】

本題考查數(shù)列的求和以及和與項之間的關(guān)系，側(cè)重考查了學(xué)生的邏輯推理和運算能力，屬于難題.

對于①，利用并項法判斷，對于②，利用和與項的關(guān)系判斷；對于③，利用反證法推出矛盾；對于④結(jié)

合不等式的性質(zhì)推導(dǎo).

【解答】

aaaa

解：對于①，利用并項法得：Tn=(a1—a2)+(43—4)+…+(2021—2022)+2023=一1。11+

2023=1012,故①對；

對于②，Tn=n,令%=(一1)"+1%”則卻=瓦+歷H----\-bn-n,故=所以6n=*-

n+1n+1

T'n-i=1=(-l)an,故an=(-l),故口2022=-1，故②對；

對于③，假設(shè)存在各項均為整數(shù)的數(shù)列{5},使得|〃|>|〃+1|對任意的neN*都成立，則必有憶|>

\T2\>\T3\>且都是正整數(shù)，令|A|=N,則必有莊|WN—1,禽|WN—2,……,\TN\<1,

|TW+1|<0,|7^+2|<-1,則與|母+212。矛盾，故③錯；

對于④，由已知7^=%_—口2++…+(-l)"+lo[n，可知(―l)”+2an+i=7n+1—當(dāng)n22時，有

(一1尸+】即=/一7；-1，

即7122時，a“+i=(—1尸+2(7“+1—七)，廝=(—1產(chǎn)1(6—T…)，

+1

故小+i-an\=|(-ir||Tn-Tn+1-Tn+rn_J=心_1-Tn+1\<\Tn_r\+\Tn+1\<M+M=2M,(n>

2)，

當(dāng)n=1時，|42-=|一T2I<M<2M,

故對任意的n￡N*,都有|廝+1-an\<2M成立，即④成立.

故答案為：①②④.

19.【答案】證明：（1）取P4中點G,連接GB,GF,

因為尸為PD的中點，所以FG〃加FG=^AD,

因為四邊形A8CD為正方形，E為8c中點，

所以BE〃71D,BE=^AD.

所以尸G//BE,FG=BE.

所以四邊形BEFG為平行四邊形，

所以EF〃BG,又EFC平面PAB,BGu平面P48.

所以EF//平面P4B.

解：（2）若①：AD1PB,SLABVAD,又PBCAB=B,PBu平面PAB,ABu平面P4B,

所以4。1平面PA8,又PAu平面P4B,所以力。1PA,B.PA1AB,

以點力為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

所以2(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(2,l,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

所以荏=(2,1,0)，/=(0,1,1)，AD=(0,2,0)，

設(shè)平面4EF的法向量為元=(x,y,z),則故1rx[°，

令％=，，則y=-1,z=1,元=弓,一1,1),n-24D=0x1-2xl+0xl=-2,

設(shè)直線4。與平面4EF所成角8,

貝.”|cos同㈤=I瀛I="+]+]=I-

所以直線2D與平面2EF所成角的正弦值為:

選條件②：PC=2，5.由于AB=P4=BC=2,所以PC?=AC?+2壽，^PALAC,

由于PAIAB,S.ABnAC=A,ABu平面ABC。，ACu平面ABC。，

故PAL平面ABC。，底面4BCD是邊長為2的正方形，PA=2,

以點a為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz,

所以2(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),E(2,l,0),P(0,0,2),

F(0,l,l)，

所以荏=(2,1,0),AF=(0,1,1)>AD=(0,2,0)，

設(shè)平面4EF的法向量為元=Qy,z),g,巫二。，故

1九,AF—0Iy

令久=：,則y=-1,z—1,所以元=(：,—1,1),n-AD=0x1-2xl+0xl=-2,

設(shè)直線4D與平面AEF所成角仇貝戶加=|cosZD,n|=|湍篙|=羨市==|,

所以直線4。與平面4EF所成角的正弦值為|.

【解析】(1)利用中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；

(2)選擇條件①，利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，分別

求出直線4D的方向向量與平面力EF的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合線面角與向量夾角公式即可求

解；

選擇條件②，利用勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)

點的坐標(biāo)，分別求出直線4。的方向向量與平面2EF的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合線面角與向量夾

角公式即可求解.

本題考查的知識要點：直線和平面平行的判定和性質(zhì)，空間直角坐標(biāo)系，線面的夾角，向量的模和向量的

數(shù)量積，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)當(dāng)@=1時，/(x)=%3—x2—x+1,

;(x)=3——2%—1=(3%+1)(%—1),

令((%)>0,可得％<一,或%>1,令/'(%)<0,可得一,<%<1,

所以/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(_8,-當(dāng)，(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(—/I).

(II)/'(%)=3%2—2ax—a2,

—3a2+2a2—a2=4a2,

f(—a)=_q3_q3_|_Q3+]=_q3_|_],

所以曲線y=/(%)在點(—a,/(—a))處的切線方程為y—(—a3+1)=4a2(%+a),

即y=4a2%+3a3+1,令％=0,可得TH=3a3+1,

所以TH+-=3a3+i+_,

aa

令g(a)—3a3+1+/,a〉0,則g'(a)=9Q2——―———,

令"(a)>0,可得令“(a)V0,可得0<aV苧，

所以g(a)在(0,苧)上單調(diào)遞減，在薛+8)上單調(diào)遞增，

所以9(。)加九=9(停)=苧+L

即m+工的最小值為巧亙+1.

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能

力，屬于中檔題.

(I)對/(久)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；

(II)利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，從而可求得m=3a3+1,令g(a)=m+:=3a3+1+；,a>0,利用導(dǎo)數(shù)

即可求得最值.

21.【答案】解：(I)因為阿|=4,橢圓C離心率為

"2a=4,

所以上解得a2=4,62=3.

a2

<a2=拉+c2.

所以橢圓C的方程是F+4=l.

43

(II)①若直線/的斜率不存在時，如圖,

因為橢圓C的右焦點為(1,0),所以直線2的方程是x=1.

所以點M的坐標(biāo)是(1,|),點N的坐標(biāo)是(1,一|).

所以直線4M的方程是y=|(%+2),

直線BN的方程是y=5(x-2).

所以直線AM,BN的交點Q的坐標(biāo)是(4,3).

所以點(4,3)在直線x=4上.

②若直線/的斜率存在時，如圖.

設(shè)直線I的斜率為鼠所以直線，的方程為y=k(x-1).

y=k(x-1),

聯(lián)立方程組/y2

1-4---T1--3=1,

消去y,整理得(3+41)%2―81%+4k2-I20,

顯然△＞。不妨設(shè)N(%2，y2)，

所以"】+"2=黑’”「冷=亶缶

所以直線力M的方程是y=需(無+2).令久=4,得y=獸.

十乙十乙

直線BN的方程是y=為。-2).令X=4,得y=老.

九2乙4

所以6yl_2y2_6koi-1)_2攵(%2-1)

%1+2%2—2/+2%2—2

6k(x^—1)(%2—2)—2k(X1+2)(%2—1)

(%i+2)3-2)

6k(%1—1)(%2—2)—2k(X]+2)(%2—1)

=2fc[3(x1x2一%2—2%i+2)—(%i%2—+2%2—2)]

=2fc[2x1x2—5(久1+%2)+8]

2戰(zhàn)-12)5x8k2

=2k[+8]

3+4fc23+4k2

“，8/—24-40廿+24+32今.

=2k（-----------n-------）=0.

3+4/

所以點Q在直線％=4上.

【解析】（I）根據(jù)題意列方程組，得a,b,進而可得橢圓的方程.

（II）分兩種情況①若直線/的斜率不存在時，②若直線/的斜率存在時，直線AM,BN的交于點Q,是否在

定直線X=4上.

本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：函數(shù)/（%）的定義域是（0,+8）,（（%）=1+?

（1）當(dāng)&=—1時，/⑶=1—;=

令「。）=0,解得：%=1,

X,1（X）,/（X）的變化如下：

X(0,1)1(1,+00)

「（X）—0+

遞減極小值遞增

故/(久)的極小值是f(l)=1,無極大值；

(11)不等式/(久)<|%2+a久恒成立

等價于+ax—x—alnx>。恒成立，

令0(%)=2%2+a%—%—alnx,xG(0,+oo),

.,yax^+ax—x—a(%—

故g(%)=%+a—1——=---------=--------二

D'xxx

(1)當(dāng)aNO時，xG(0,+oo),%+a>0,

令"(%)=。，解得：X=1,

x,“(%),g(%)的變化如下:

X(0,1)1(l,+8)

g'(x)—0+

1

g(x)遞減最小值g(l)=a--遞增

當(dāng)a20時，不等式g(%)20恒成立當(dāng)且僅當(dāng)a-g20,

故a之2符合題意；

2

(2)當(dāng)a=-1時，g，(x)=殳券20,

故g(%)在(0,+8)遞增，而g(l)<0,故不合題意，

(3)—1<a<0時，令g'(%)=0,解得：x=1或x=-a,

則0V-。<1,

x,“(%),g(%)的變化如下：

X(0,—a)一d(—a,1)1(1,+8)

g'Q)+0—0+

g(x)遞增極大值遞減極小值遞增

顯然g(l)=a<0,故不合題意，

(4)當(dāng)a<一1時，令“(%)=0,解得：x—1或％=—a,

則—a>1,

x,g'(%),g(%)