備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練集合知識+真題+8類高頻考點 精講（原卷版）

第01講集合目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：集合的基本概念 3高頻考點二：元素與集合的關(guān)系 4高頻考點三：集合中元素的特性 5高頻考點四：集合的表示方法 5高頻考點五：集合的基本關(guān)系 6高頻考點六：集合的運算 7高頻考點七：圖的應(yīng)用 8高頻考點八：集合新定義問題 9第四部分：典型易錯題型 11第五部分：新定義題（解答題） 11第一部分：基礎(chǔ)知識1、元素與集合（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或說明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．4、集合的運算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．5、高頻考點結(jié)論（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．第二部分：高考真題回顧1．（2023·全國·（乙卷文））設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國（甲卷理））設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·（新課標Ⅰ））設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．4．（2023·全國（新課標Ⅱ））已知集合，，則（

）A． B． C． D．2第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：集合的基本概念典型例題例題1．（多選）（2024上·河南安陽·高一安陽一中校聯(lián)考期末）下列說法中不正確的是（）A．0與表示同一個集合；B．集合與是兩個相同的集合；C．方程的所有解組成的集合可表示為；D．集合可以用列舉法表示．例題2．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．；B．某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個集合；C．集合有兩個元素；D．小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到不同的兩個集合.練透核心考點1．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．0與的意義相同B．某市文明市民可以組成一個集合C．集合是無限集D．方程的解集有二個元素2．（多選）（2024上·全國·高一專題練習(xí)）(多選題)下列各組對象能組成集合的是（

）A．大于6的所有整數(shù)B．高中數(shù)學(xué)的所有難題C．被3除余2的所有整數(shù)D．函數(shù)圖象上所有的點高頻考點二：元素與集合的關(guān)系典型例題例題1．（2024上·河南省直轄縣級單位·高一統(tǒng)考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2024上·四川德陽·高一統(tǒng)考期末）若，則．例題3．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，其中.(1)若集合中有且僅有一個元素，求實數(shù)組成的集合.(2)若集合中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（2024上·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，82．（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）集合，若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是．3．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知集合.(1)當時，求集合；(2)若集合只有2個子集，求實數(shù)的值.高頻考點三：集合中元素的特性典型例題例題1．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）若集合中的三個元素分別為,則元素應(yīng)滿足的條件是．例題2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知集合若，則.例題3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，，則.練透核心考點1．（多選）（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）集合，若，則3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合}中各元素之和等于3，求實數(shù)的值，并用列舉法表示集合.高頻考點四：集合的表示方法典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．5例題2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題3．（2024下·上?！じ咭婚_學(xué)考試）用列舉法表示集合為：.練透核心考點1．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┘嫌昧信e法表示為（

）A． B． C． D．2．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2024上·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎?，則集合用列舉法表示為.高頻考點五：集合的基本關(guān)系典型例題例題1．（2023·福建寧德·福建省寧德第一中學(xué)?？级＃┮阎?，，．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．例題2．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．例題3．（2024上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域為，的定義域為．(1)求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．練透核心考點1．（2024下·浙江溫州·高一浙江省樂清中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，．(1)求；(2)記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍．2．（2024上·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知集合或．(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．3．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合．(1)求集合；(2)記或，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．高頻考點六：集合的運算典型例題例題1．（2024上·陜西西安·高一西安市西光中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一個非空集合，實數(shù)a的取值范圍.例題2．（2024上·山東菏澤·高一菏澤一中校考階段練習(xí)）已知集合，，若滿足，則實數(shù)a的值為．例題3．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎希?，其中(1)若；(2)若，求的取值范圍．練透核心考點1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，則，則實數(shù)a的取值范圍為.2．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若集合，，，則的最小值為.3．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知全集為，，．(1)求；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．高頻考點七：圖的應(yīng)用典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某小學(xué)對小學(xué)生的課外活動進行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動的有15人.問接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（

）A．120 B．144 C．177 D．192例題2．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谀┒x集合運算且稱為集合A與集合B的差集；定義集合運算稱為集合A與集合B的對稱差，有以下4個等式：①；②；③；④，則4個等式中恒成立的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④例題3．（2024上·山東濱州·高一校考期末）某班舉行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學(xué)競賽的有27人，其中同時只參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，同時只參加物理、化學(xué)兩科的有7人，同時只參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的有4人，則全班共有人．練透核心考點1．（2024上·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┮阎癁閁，集合M，N滿足，則下列運算結(jié)果為U的是（

）．A． B．C． D．2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班課程共有90人報名，其中有45人報名舞蹈，有26人報名太極，有33人報名聲樂，同時報名舞蹈和報名聲樂的有8人，同時報名聲樂和報名太極的有5人，沒有人同時報名三門課程，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①同時報名舞蹈和報名太極的有3人；②只報名舞蹈的有36人；③只報名聲樂的有20人；④報名兩門課程的有14人.其中，所有正確結(jié)論的序號是.3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.高頻考點八：集合新定義問題典型例題例題1．（2024上·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）記為非空集合A中的元素個數(shù)，定義.若，，且，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4例題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積．兩個集合和，用中元素為第一元素，中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作與的笛卡兒積，又稱直積，記為．即且．關(guān)于任意非空集合，下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．例題3．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合中含有三個元素，同時滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.練透核心考點1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合為實數(shù)集的非空子集，若對任意，，都有，，，則稱集合S為“完美集合”，給出下列命題：①若為“完美集合”，則一定有；②“完美集合”一定是無限集；③集合為“完美集合”；④若為“完美集合”，則滿足的任意集合也是“完美集合”.其中真命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素且互不為對方的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（）A． B． C． D．3．（2024上·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知有個連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合（，），記有序數(shù)對，若對任意，，，且，A同時滿足下列條件，則稱為元完備數(shù)對.