2025屆上海市交大附中嘉定高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

2025屆上海市交大附中嘉定高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知的定義域為，若對于，，，，，分別為某個三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”，下例四個函數(shù)為“三角形函數(shù)”的是（）A．； B．；C．； D．2．若變量滿足約束條件，則的最大值是()A．0 B．2 C．5 D．63．祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜淼?祖暅原理的內(nèi)容是：“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積.意思是，如果夾在兩平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知，兩個平行平面間有三個幾何體，分別是三棱錐、四棱錐、圓錐（高度都是h），其中：三棱錐的體積為V，四棱錐的底面是邊長為a的正方形，圓錐的底面半徑為r，現(xiàn)用平行于這兩個平面的平面去截三個幾何體，如果得到的三個截面面積總相等，那么，下面關(guān)系式正確的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．已知在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則等于()A． B． C． D．5．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度6．產(chǎn)能利用率是指實際產(chǎn)出與生產(chǎn)能力的比率，工業(yè)產(chǎn)能利用率是衡量工業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營狀況的重要指標(biāo)．下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2015年至2018年第2季度我國工業(yè)產(chǎn)能利用率的折線圖．在統(tǒng)計學(xué)中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較．據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A．2015年第三季度環(huán)比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度環(huán)比有所提高7．圓的半徑為()A．1 B．2 C．3 D．48．將的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的圖象，若，則（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，若，則的值為()A．15 B．21 C．24 D．1810．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列、、、滿足，，，則的取值范圍為__________．12．已知cosθ，θ∈（π，2π），則sinθ＝_____，tan_____.13．已知等比數(shù)列的前項和為，，則的值是__________.14．無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)為________15．不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是______.16．在平面直角坐標(biāo)系中，點，，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)二次函數(shù).（1）若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.18．已知數(shù)列前n項和滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．19．已知，為兩非零有理數(shù)列（即對任意的，，均為有理數(shù)），為一個無理數(shù)列（即對任意的，為無理數(shù)）．（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；（2）若為有理數(shù)列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；（3）已知，，試計算．20．在中，A,B,C所對的邊分別為，滿足．(I)求角A的大??；(Ⅱ)若，D為BC的中點，且的值．21．設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且，數(shù)列滿足，對任意的，且成等比數(shù)列，其中.（1）求數(shù)列的通項公式（2）記，證明：當(dāng)且時，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由三角形的三邊關(guān)系，可得“三角形函數(shù)”的最大值小于最小值的二倍，因為單調(diào)遞增，無最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函數(shù)”的條件，即B正確，單調(diào)遞增，最大值為4，最小值為1，故排除C，單調(diào)遞增，最小值為1，最大值為，故排除D.故選B.點睛：本題以新定義為載體考查函數(shù)的單調(diào)性和最值；解決本題的關(guān)鍵在于正確理解“三角形函數(shù)”的含義，正確將問題轉(zhuǎn)化為“判定函數(shù)的最大值和最小值間的關(guān)系”進行處理，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2、C【解析】

由題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將化為，相當(dāng)于直線的縱截距，由幾何意義可得結(jié)果．【詳解】由題意作出其平面區(qū)域，令，化為，相當(dāng)于直線的縱截距，由圖可知，，解得，，則的最大值是，故選C．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.3、D【解析】

由祖暅原理可知：三個幾何體的體積相等，根據(jù)椎體體積公式即可求解.【詳解】由祖暅原理可知：三個幾何體的體積相等，則，解得，由，解得，所以.故選：D【點睛】本題考查了椎體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由題意變形，運用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方關(guān)系，可得所求值．【詳解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，則cosB，可得B＜π，即有sinB．故選A．【點睛】本題考查余弦定理的運用，考查同角的平方關(guān)系，以及運算能力，屬于中檔題．5、D【解析】

由圖象求得函數(shù)解析式的參數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式將異名函數(shù)化為同名函數(shù)根據(jù)圖象間平移方法求解.【詳解】由圖象可知，又，所以，又因為，所以，所以，又因為，又，所以所以又因為故選D.【點睛】本題考查由圖象確定函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象之間的平移，關(guān)鍵在于將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，屬于中檔題.6、C【解析】

根據(jù)同比和環(huán)比的定義比較兩期數(shù)據(jù)得出結(jié)論．【詳解】解：2015年第二季度利用率為74.3%，第三季度利用率為74.0%，故2015年第三季度環(huán)比有所下降，故A錯誤；2015年第一季度利用率為74.2%，2016年第一季度利用率為72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B錯誤；2016年底三季度利用率率為73.2%，2017年第三季度利用率為76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正確；2017年第四季度利用率為78%，2018年第一季度利用率為76.5%，故2018年第一季度環(huán)比有所下降，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了新定義的理解，圖表認知，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定所求.【詳解】因為圓，所以，所以，故選A.【點睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程互化，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通過展開化為一般方程，圓的一般方程通過配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡單題.8、D【解析】因為，所以，因此，選D.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.9、D【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，將等式全部化為的形式，再計算?！驹斀狻恳驗?，且，則，所以．故選D【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

由題意得到，再由兩角差的余弦及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求解.【詳解】解：∵角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，

∴，

，

故選：D.【點睛】本題考查了兩角差的余弦公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，由和計算出的取值范圍，再由可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，，，，所以，，，.所以，，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.12、﹣2.【解析】

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得式子的值.【詳解】由，，知，則，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，由可得，通過化簡可得，代入的值即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項和公式，本題解題的關(guān)鍵是看出數(shù)列的公比的值，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

由參變量分離法可得知，由二倍角的余弦公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解，等價于存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，故只需.令，，由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當(dāng)時，該函數(shù)取得最小值，即，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查不等式有解的問題，涉及二倍角余弦公式以及二次函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，考查計算能力，屬于中等題.16、.【解析】

設(shè)由，求出點軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點又在直線，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，，整理得，又點在直線，直線與圓共公共點，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【點睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）是關(guān)于m的一次函數(shù)，計算得到答案.（2）易知，討論和兩種情況計算得到答案.【詳解】（1）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，是關(guān)于m的一次函數(shù)，，解得或，所以實數(shù)x的取值范圍是.（2）存在，使得成立，即，顯然.（i）當(dāng)時，要使成立，即需成立，即需成立.，(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，，.（ii）當(dāng)時，要使成立，即需成立，即需成立，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），.綜上得實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查了恒成立問題和存在性問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、（1）（2）【解析】

（1）利用當(dāng)時，，當(dāng)時，即可求解（2）由裂項相消求解即可【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以可得.（2）由題意知，可設(shè)則.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求解，考查裂項相消求和，注意相消時提出系數(shù)和剩余項數(shù)，是中檔題19、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】

（1）根據(jù)不等式可得，把代入即可解出（2）根據(jù)化簡，利用為有理數(shù)即可解決（3）根據(jù)題意可知，本題需分為奇數(shù)和偶數(shù)時討論，通過求出．【詳解】（1）∵，∴，即，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，∴，∴，以上每一步可逆．（3），∴．∵，∴，當(dāng)時，∴當(dāng)時，∴，∴為有理數(shù)列，∵，∴，∴，∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，∴，∴，∴當(dāng)時，∴當(dāng)時，∴，∴．【點睛】本題數(shù)列的分類問題，數(shù)列通項式的求法、有關(guān)數(shù)列的綜合問題等．本題難度、計算量較大，屬于難題．20、(I);(II).【解析】

(I)得，求出.(Ⅱ)由題意可知，化簡得，再結(jié)合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【詳解】(I)，所以，所以因為，所以，所以(Ⅱ)由題意可知：所以所以又因為，所以，因為，所以由正弦定理可得，所以【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)