2025屆甘肅省天水市秦安縣二中數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題含解析

2025屆甘肅省天水市秦安縣二中數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若樣本的平均數(shù)為10，其方差為2，則對于樣本的下列結(jié)論正確的是A．平均數(shù)為20，方差為8 B．平均數(shù)為20，方差為10C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為21，方差為102．等差數(shù)列中，已知，則()A．1 B．2 C．3 D．43．己知數(shù)列和的通項公式分別內(nèi)，，若，則數(shù)列中最小項的值為（）A． B．24 C．6 D．74．等差數(shù)列中，，則數(shù)列前9項的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．2975．直線與圓相交于點，則（）A． B． C． D．6．設(shè)在中,角所對的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定7．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．8．在中，，，則（）A． B． C． D．9．已知是函數(shù)的兩個零點，則（）A． B．C． D．10．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則_____.12．函數(shù)f（x）＝2cos（x）﹣1的對稱軸為_____，最小值為_____．13．已知，則的值為______14．設(shè)，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是______．(1)若，，，則；(2)若，，，則；(3)若，，，，則；(4)若，，,則．15．已知的圓心角所對的弧長等于，則該圓的半徑為______.16．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側(cè)面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．18．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？19．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得，100張獎券為一個開獎單位，每個開獎單位設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設(shè)一張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，可知其概率平分別為．（1）求1張獎券中獎的概率；（2）求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．20．記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．21．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且.(1)求；(2)若，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

利用和差積的平均數(shù)和方差公式解答.【詳解】由題得樣本的平均數(shù)為，方差為.故選A【點睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

已知等差數(shù)列中一個獨立條件，考慮利用等差中項求解.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，由，,故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列中若，則,或用基本量、表示，整體代換計算可得,屬于簡單題.3、D【解析】

根據(jù)兩個數(shù)列的單調(diào)性，可確定數(shù)列，也就確定了其中的最小項．【詳解】由已知數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，且計算后知，又，∴數(shù)列中最小項的值是1．故選D．【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的最值．解題時依據(jù)題意確定大小即可．本題難度一般．4、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合條件可得，進(jìn)而求得.再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式表示出，即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，解得，因而，由等差數(shù)列前n項和公式可得，故選：B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列前n項和公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用直線與圓相交的性質(zhì)可知，要求，只要求解圓心到直線的距離.【詳解】由題意圓，可得圓心，半徑，圓心到直線的距離.則由圓的性質(zhì)可得，所以.故選：D【點睛】本題考查了求弦長、圓的性質(zhì)，同時考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【點睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.7、C【解析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【點睛】本題考查了異面直線所成的角．8、A【解析】

本題首先可根據(jù)計算出的值，然后根據(jù)正弦定理以及即可計算出的值，最后得出結(jié)果。【詳解】因為，所以.由正弦定理可知，即，解得，故選A。【點睛】本題考查根據(jù)解三角形的相關(guān)公式計算的值，考查同角三角函數(shù)的相關(guān)公式，考查正弦定理的使用，是簡單題。9、A【解析】

在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，設(shè)兩函數(shù)圖象的交點，依題意可得，利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合圖象即可得答案．【詳解】解：，在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，依題意可得是關(guān)鍵，考查作圖能力與運算求解能力，屬于難題．10、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】當(dāng)時，A不成立；當(dāng)時，B不成立；當(dāng)時，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負(fù)數(shù)，不等式號方向改變，這個性質(zhì)容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為1．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再結(jié)合正弦定理及余弦定理化簡可得，然后求解即可.【詳解】解：因為，則，所以，即，所以，則，即，即即，故答案為：.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，重點考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.12、﹣3【解析】

利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的最值，求得結(jié)論．【詳解】解：對于函數(shù)，令，求得，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的最小值為，故答案為：；．【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡，解出的值，再平方，即可求解.【詳解】由題意，可知，，平方可得則故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)常用公式關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.14、(1)【解析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定．【詳解】(1)，，，則，正確(2)若，，，則，錯誤(3)若，則不成立，錯誤(4)若，，,則，錯誤【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題.15、【解析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長公式求解．【詳解】解：圓心角，弧長為，，即該圓的半徑長．故答案為：．【點睛】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

圓柱的側(cè)面打開是一個矩形，長為底面的周長，寬為圓柱的高，即，帶入數(shù)據(jù)即可．【詳解】因為圓柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長為，則該圓柱的側(cè)面積為.【點睛】此題考察圓柱側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題目．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對應(yīng)角θ的值．【詳解】（1）因為，所以（2）因為與垂直，所以即，所以又，所以【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計算問題，是基礎(chǔ)題．18、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當(dāng)時，所以得到因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當(dāng)時，所以得到其中，因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對任何正整數(shù)，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因為為無理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【點睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,且、、兩兩互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”的對立事件為“1張獎券中特等獎或中一等獎”,則利用互斥事件的概率公式求解即可【詳解】（1）1張獎券中獎包括中特等獎、一等獎、二等獎,設(shè)“1張獎券中獎”為事件,則,因為、、兩兩互斥,所以故1張獎券中獎的概率為（2）設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件,則事件與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,所以,故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為【點睛】本題考查互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用,考查古典概型,考查利用對立事件求概率20、（1），（2），最小值為?1．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得Sn=n2-8n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得Sn的最小值.【詳解】（I）設(shè)的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當(dāng)n