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文檔簡(jiǎn)介
上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
一、填空題
1.已知復(fù)數(shù)z=(3—4i).i(i為虛數(shù)單位),則2=.
2.不等式|x-2|<1的解集為.
3.拋物線/=4尤上一點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離最小值為.
4.已知圓錐的底面半徑為0,母線長(zhǎng)為2,則該圓錐的側(cè)面積為.
5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃),且尸(2<X<2.5)=0.36,則
P(X>2.5)=.
6.已知。6[。,兀],且2cos2i-3cosa=5,則a=.
7.某商品的成本C與產(chǎn)量9之間滿(mǎn)足關(guān)系式。=c(q),定義平均成本心=g(9),其
中心=詈,假設(shè)C(q)=:q2+ioo,當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí),平均成本最少.
8.已知向量a=(l,1),b=(2,-1),則。在a方向上的投影向量為.
3456
9.已知多項(xiàng)式(1+力(1-%)5=。0+%%+。2尤2+a3x+a4x+o5x+a6x對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成
立,則aQ+a3=.
10.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3。打印技術(shù)制作模型,如圖所示.該模型為長(zhǎng)方體
ABC。-44G2中挖去一個(gè)四棱錐。一£取汨,其中。為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,
”分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC^4cm,AA,=2cm,3。打印所用原料密度為
0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.
n.點(diǎn)p是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-棱上一點(diǎn),則滿(mǎn)足|Q4|+|PG|=2的點(diǎn)P
的個(gè)數(shù)為.
12.函數(shù),=5由0"+0)e〉0,同<:|的圖像記為曲線「如圖所示.A,B,C是曲線
R與坐標(biāo)軸相交的三個(gè)點(diǎn),直線BC與曲線/的圖像交于點(diǎn)M,若直線40的斜率為
心,直線BM的斜率為修,&w2kl,則直線AB的斜率為.(用匕,匕表
二、選擇題
13.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高龍(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,
根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x”y)(z=l,2,…,〃),用最小二乘法建立的回歸方程為
y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是()
A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,力
C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg
14.已知函數(shù)y=/(x),其中y=Y+l,y=g(x),其中g(shù)(x)=4sinx,則圖象如圖
所示的函數(shù)可能是()
C.y=/(x)+g(x)-lD.y=/(x)-g(x)-l
15.有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6從中有放回地隨機(jī)取兩次,每
次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件“第二次取出的球的
數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”,丁表示事件“兩次取出的球的
數(shù)字之和是6",貝!]()
A.甲與乙相互獨(dú)立B.乙與丙相互獨(dú)立
C.甲與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立
16.如圖,在等腰梯形A5CD中,AD//BC,AD=1,BC=m(m>l),NA3C=巴.點(diǎn)
3
DF
E是線段A3上的一點(diǎn),點(diǎn)/在線段。C上,——=t.
DC
一.1_,
命題①:若AE=—EB,則E?AD隨著/的增大而減少.
2
命題②:設(shè)色=x,若存在線段所把梯形ABCD的面積分成上下相等的兩個(gè)部分,
AB
那么x'S,/=〃尤)隨著x的增大而減少.
2m
則下列選項(xiàng)正確的是()
A.命題①不正確,命題②正確B.命題①,命題②都不正確
C.命題①正確,命題②不正確D.命題①,命題②都正確
三、解答題
17.已知{%}是公差d=2的等差數(shù)列,其前5項(xiàng)和為15,也}是公比q為實(shí)數(shù)的等比
數(shù)列,4=1,-b2=6.
(1)求{。“}和也}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)c“=2%+Z22“(〃NL〃eN),計(jì)算
1=1
18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛
煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):
鍛煉人次空氣質(zhì)量等(200,400](400,600]
[0,200]
級(jí)
1(優(yōu))31825
2(良)6X14
3(輕度污染)556
4(中度污染)630
(1)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)
值為代表);
(2)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等
級(jí)為3或4,則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2x2列聯(lián)表,請(qǐng)根
據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷:一天中到該公園鍛煉的人次是否與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?
(規(guī)定顯著性水平a=0.05)
人次W400人次>400總計(jì)
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
總計(jì)
附:必~p(2>3,841)?0.05.
(a+b)(c+d)(a+c)[b+d)'z'
19.如圖1是由兩個(gè)三角形組成的圖形,其中NAPC=90。,ZPAC=3Q°,
AC=2AB,4C4=30。.將三角形ABC沿AC折起,使得平面PAC,平面ABC,如
圖2.設(shè)。是AC的中點(diǎn),。是AP的中點(diǎn).
圖1圖2
(1)求直線與平面PAC所成角的大??;
(2)連接PB,設(shè)平面與平面P5C的交線為直線/,判別/與PC的位置關(guān)系,
并說(shuō)明理由.
22
20.已知曲線C:?+三=1,。是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)T(1,O)的直線乙與曲線C交于P,
Q兩點(diǎn).
(1)當(dāng)4與x軸垂直時(shí),求△OPQ的面積;
(2)過(guò)圓好+/=6上任意一點(diǎn)/作直線MA,MB,分別與曲線C切于A,3兩
點(diǎn),求證:MAVMB-,
(3)過(guò)點(diǎn)N(”,0)(“>2)的直線4與雙曲線\-/=1交于凡s兩點(diǎn)(4,右不與左軸
重合).記直線77?的斜率為得R,直線7斜率為品s,當(dāng)NONP=NONQ時(shí),求證:〃
與與口+kTS都是定值.
21.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(x),其圖象是連續(xù)的曲線,且存在定義域也為R的
導(dǎo)函數(shù)y=/'(%).
(1)求函數(shù)“X)=/+葭在點(diǎn)(0,/(0))的切線方程;
(2)已知/(x)=acosx+〃sinx,當(dāng)a與Z?滿(mǎn)足什么條件時(shí),存在非零實(shí)數(shù)左,對(duì)任意
的實(shí)數(shù)x使得/(-x)=-爐⑴恒成立?
(3)若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù),且滿(mǎn)足/(x)+/(2—x)=3.試判斷/'(x+2)=r(2—%)
對(duì)任意的實(shí)數(shù)X是否恒成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
1.答案:4+3i/3i+4
解析:z=(3-4i)-i=3i-4i2=4+3i.
故答案為:4+3i.
2.答案:(1,3)
解析:由卜一2|<1得一l<x—2<1,解得l<x<3,
故不等式卜-2|<1的解集為(1,3).
故答案為:(1,3).
3.答案:1
2
解析:設(shè)拋物線丫?=4x上一點(diǎn)人壯-,?。?,則點(diǎn)A到點(diǎn)3(1,0)的距離為
-4'
因yeR,則9NO,故當(dāng)y=0時(shí),拋物線產(chǎn)=?上任一點(diǎn)A到點(diǎn)3(1,0)的距離最小值
為L(zhǎng)
故答案為:1.
4.答案:2&兀
解析:因?yàn)閳A錐的底面半徑為夜,母線長(zhǎng)為2,
所以圓錐的側(cè)面積為S=Tirl=2缶,
故答案為:2缶.
7
5.答案:0.14/—
50
解析:因?yàn)閄N(2,4),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此
P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.
故答案為:0.14.
6.答案:71
解析:已知2cos2cr-3cose=5,由倍角公式得
4cos2?-3cos?-7=(4cos?-7)(cos?+1)=0,
由?!闧0,可,coscif,解得cosa=—l,則戊=兀.
故答案為:71.
7.答案:20
12_____
解析:由題知=律=1。,
qq4qy4q
當(dāng)且僅當(dāng)幺=W2,即q=20時(shí)取等號(hào),
4q
故答案為:20.
8?答案:匿]
解析:b在q方向上的投影向量為粵『=3.型=口2].
|?||?|①叵U2;
故答案為:0J
9.答案:1
解析:令x=0可得。()=1,
r
又(1-x)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為*=C5(-X),
令r=3可得C;(-l)3=-10;令,=2,可得C;(-1)2=10,
所以%=1x(—10)+1x10=0,
a。+/=1,
故答案為:1.
10.答案:當(dāng)
解析:易知四棱錐O-EFGH的底面積SEFGH=SBCCB-4SA£CF=4x2-4xlx2xl=4,
1,1vjnuv_^v?zjj/\/Jv1
高為/z=2cm,
1Q
所以四棱錐。"GH的體積為%2千皿二而,
長(zhǎng)方體ABCD-為V=4x4x2=32cm3,
因此該模型的體積為32-§=^cm3,
33
所以該模型所需原料的質(zhì)量為型x0.9=%g.
35
故答案為:當(dāng).
11.答案:6
解析:因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,所以|ACj=g,
又回+用|=2,
所以點(diǎn)P是以2c=行為焦距,以。=1為長(zhǎng)半軸,以1=工為短半軸的橢球
2
上的一點(diǎn),且焦點(diǎn)分別為A,G,
所以點(diǎn)P是橢球與正方體棱的交點(diǎn),在以A,G為頂點(diǎn)的棱上,所以共有6個(gè),
故答案為:6.
12.答案:秘2
2k1—k2
2kiz一(D
解析:由題意w%+°=2hi,keZ,x=.........—,則數(shù)/+夕=2左兀+兀,ZreZ,
cw
2kn+Tt-(p
XA=-------------'
W
B(0,sin(p),由|同〈二得0〈夕(二,貝!J,
22w
wsin。wsin。wsm(p
k]—,h=,kAR=,
(P-24兀+7i(p~2kji(p-2kii-7i
所以5—!=4-,又&彳2左,所以以〃=產(chǎn)二,
k2k[kAB2左i-K2
故答案為:
2k1—k2
13.答案:D
解析:根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x-85.71,則6=0.85〉0,y與x具有正的
線性相關(guān)關(guān)系,A正確;
回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心伉歹),B正確;
該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;
該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85x170-85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.
故選D.
14.答案:A
解析:易知〃可=爐+1是偶函數(shù),g(x)=4sin尤是奇函數(shù),給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是
奇函數(shù),
5皿=耦=靄,定義域?yàn)镽'
4sin(-x)
又/?(-%)=當(dāng)出=_無(wú)(力,所以可力是奇函數(shù),符合題意,故正確;
(一力~+1X+1
B.y=44=J,x手尿,
keZ,不符合圖象,故錯(cuò)誤;
g(x)4sinx
C.y=/z(x)=/(%)+g(x)-l=x2+l+4sinx-l=x2+4sinx,定義域?yàn)镽,
但可-可力丸⑴,M-x)w-MH,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤;
D.y=/z(x)=/(x)-g(x)-l=x2+l-4sinx-l=x2-4sinx,定義域?yàn)镽,
但M-X)W/1(X),M-X)W-Mx),故函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故錯(cuò)誤,
故選:A
15.答案:A
解析:由題意得,尸(甲)=L「(乙)=L尸(丙)=/一=L。(?。?2=9.
666x696x636
對(duì)于A,P(甲乙)=」,所以P(甲)xP(乙)=P(甲乙),所以甲與乙相互獨(dú)立,故A正
36
確;
對(duì)于B,P(乙丙)=工,所以P(乙)xP(丙)HP(乙丙),所以乙與丙不是相互獨(dú)立,故B
36
不正確;
對(duì)于C,尸(甲丙)=工,所以P(甲)XP(丙)/P(甲丙),所以甲與丙不是相互獨(dú)立,故C
36
不正確;
對(duì)于D,P(乙?。?工,所以P(乙)"(?。〩P(乙?。?,所以乙與丁不是相互獨(dú)立,故D
不正確.
故選:A.
16.答案:A
解析:命題①錯(cuò)誤,理由如下:
EF-AD的大小等價(jià)于EF在AD上的投影,
由圖可知,投影是不斷增加的;
命題②正確,理由如下:
G
設(shè)S[=^/^ADE9S?=S^FDE、S3=S4FCE9^4~^Z^BCE
m-1
因?yàn)锽C=m,AB=--—二m—1,
兀
cos—
3
做四,OC,垂足為
所以〃=EH=(£4+AG)sinZ.G=-1)+1]sin60°,
所以S]=1%(777-l)sinl2O0,
-1)+1]/(m-1),
-1)+1](1T)("Z-1),
S4=^-m(l-x)(m-l)sin60°,
Xs1+s2=s3+s4,
所以化簡(jiǎn)得到2/(x)=(::;高,
求導(dǎo)可得2?x)=<0恒成立,
所以/=〃司隨著x的增大而減少,故②正確;
故選:A.
17.答案:(1)a“=2n—3,2=2小
(2)|(4"-1)
5x4
解析:(1)d=2,且S5=5%■!—-—x2=15,二%=—1,an—2n—3.
nx
4=],且4—4=6,:.d_q=6,:.q=2,bn=2~.
(2)由題可知,c〃=22"-3+22"T=9><4",
8
"s
fc,為等比數(shù)列求和,首項(xiàng)為2,公比為4,
!=12
"lx。"]
孕
18.答案:(1)350
(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)
解析:(1)由題知,一天中到該公園鍛煉的平均人次約為:
10°X20+3℃IX35+5CI°><45=350,即一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為350.
100
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),計(jì)算出x=9,則完成2x2列聯(lián)表為:
人次W400人次〉400總計(jì)
空氣質(zhì)量好363975
空氣質(zhì)量不好19625
總計(jì)5545100
假設(shè)一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無(wú)關(guān).
100(36x6-19x39)2
z2-5.9394,
55x45x25x75
由/>3.841可得,原假設(shè)不成立,
即一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).
19.答案:(1)-
3
(2)Z//PC,理由見(jiàn)解析
解析:(1)過(guò)3作卸/JLAC于連接
平面PACL平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,BH±AC,BHu平面
ABC,
平面率C,NSDH為直線3。與平面PAC所成角.
AC=2AB,不妨設(shè)AB=a,AC=2a,
AHAC
在△ABC中,由正弦定理得-----二-----nsin3=ln5=90。.
sin30°sinB
易知PC=a,AP=y/3a,AD=a,AH=—,
22
DH=y]AD2+AH2-2AD-AH-cosZPAC=-,
2
.,.在RtABZ史中,BH=—a,DH=-a,tanZBDH=—=^3,
22DH
71
...ZBDH=~,
3
直線與平面PAC所成角的大小為三.
3
(2)。是AC的中點(diǎn),。是AP的中點(diǎn),.?.DO/PC;
又PCu平面PBC,DOuPBC,二。。〃平面P3C;
又平面DBO平面PBC=1,DOHI,
:.l//PC.
20.答案:(1)—
2
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
解析:(1)由題可知,直線為x=l,
代入橢圓方程工+.=1,解得丫=±邁,
422
所以=gx^xl=".
(2)設(shè)〃(無(wú)o,%),
當(dāng)3=±2時(shí),%=±五,不妨取M(2,應(yīng)),4(2,0),B(0,也),
則AM=(0,四),BM=(2,0),所以即成立;
當(dāng)/?!?時(shí),設(shè)M4,MB的斜率分別為k2,直線M4:y—%=左(%—
卜f=屹一%0)
由爐產(chǎn)=>(2左之+1)%2+4%(,0—kx0)x+2(ALXQ—%)2—4=0,
—+—=1
[42
因?yàn)橹本€M4與橢圓相切,所以△=(),
——
即16k2(左環(huán)_先y—4(2左之+l)[2(fcv0y0)4]=0,
化間可得(質(zhì)0—%)2—2(242+1)=。,
化為關(guān)于k的一元二次方程為(片-4)42—2%%左+X;-2=0,
所以匕?右
因?yàn)楹樱ü?九)在圓上,所以君+y:=6,
62
代入上式可得"=-5~=-1
Xn-4
綜上可得
(3)設(shè)尸(%,%)、。(々,為)、區(qū)(%3,>4)、5(%,”),
k
直線PN、QN的斜率分別為左PN、QN>
設(shè)直線l,;x=ky+l,與橢圓聯(lián)立得信2+2)y2+2。-3=0,
則A>0,%1+%2=——>7%17%2=——7--,
左2+242+2
由ZONP=ZONQ得kpN+kQN=0,
M+%=%(/2+l—
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