上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試卷(含答案)

上海市奉賢區(qū)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知復數(shù)z=（3—4i）.i（i為虛數(shù)單位），則2=.

2.不等式|x-2|<1的解集為.

3.拋物線/=4尤上一點到點（1,0）的距離最小值為.

4.已知圓錐的底面半徑為0,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為.

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸（2<X<2.5）=0.36,則

P（X>2.5）=.

6.已知。6［。，兀］,且2cos2i-3cosa=5,則a=.

7.某商品的成本C與產(chǎn)量9之間滿足關(guān)系式。=c（q）,定義平均成本心=g（9）,其

中心=詈，假設(shè)C（q）=：q2+ioo,當產(chǎn)量等于時，平均成本最少.

8.已知向量a=（l,1）,b=（2,-1）,則。在a方向上的投影向量為.

3456

9.已知多項式（1+力（1-%）5=。0+%%+。2尤2+a3x+a4x+o5x+a6x對一切實數(shù)x恒成

立，則aQ+a3=.

10.學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型，如圖所示.該模型為長方體

ABC。-44G2中挖去一個四棱錐。一￡取汨，其中。為長方體的中心，E,F,G,

”分別為所在棱的中點，AB=BC^4cm,AA,=2cm,3。打印所用原料密度為

0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

n.點p是棱長為1的正方體ABCD-棱上一點，則滿足|Q4|+|PG|=2的點P

的個數(shù)為.

12.函數(shù),=5由0"+0)e〉0,同＜：|的圖像記為曲線「如圖所示.A,B,C是曲線

R與坐標軸相交的三個點，直線BC與曲線/的圖像交于點M,若直線40的斜率為

心,直線BM的斜率為修，&w2kl,則直線AB的斜率為.(用匕，匕表

二、選擇題

13.設(shè)某大學的女生體重y(單位：kg)與身高龍(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，

根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x”y)(z=l,2,…，〃)，用最小二乘法建立的回歸方程為

y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是()

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點的中心(x,力

C.若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

14.已知函數(shù)y=/(x),其中y=Y+l,y=g(x),其中g(shù)(x)=4sinx,則圖象如圖

所示的函數(shù)可能是()

C.y=/(x)+g(x)-lD.y=/(x)-g(x)-l

15.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6從中有放回地隨機取兩次，每

次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是6"，貝!]()

A.甲與乙相互獨立B.乙與丙相互獨立

C.甲與丙相互獨立D.乙與丁相互獨立

16.如圖，在等腰梯形A5CD中，AD//BC,AD=1,BC=m(m>l),NA3C=巴.點

3

DF

E是線段A3上的一點，點/在線段。C上，——=t.

DC

一.1_,

命題①：若AE=—EB,則E?AD隨著/的增大而減少.

2

命題②：設(shè)色=x,若存在線段所把梯形ABCD的面積分成上下相等的兩個部分，

AB

那么x'S,/=〃尤)隨著x的增大而減少.

2m

則下列選項正確的是()

A.命題①不正確，命題②正確B.命題①，命題②都不正確

C.命題①正確，命題②不正確D.命題①，命題②都正確

三、解答題

17.已知｛%｝是公差d=2的等差數(shù)列，其前5項和為15,也｝是公比q為實數(shù)的等比

數(shù)列，4=1,-b2=6.

(1)求｛?！埃鸵玻耐椆?；

(2)設(shè)c“=2%+Z22“(〃NL〃eN),計算

1=1

18.某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛

煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次空氣質(zhì)量等(200,400](400,600]

[0,200]

級

1（優(yōu)）31825

2（良）6X14

3（輕度污染）556

4（中度污染）630

（1）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值為代表）；

（2）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等

級為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，請根

據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷：一天中到該公園鍛煉的人次是否與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

（規(guī)定顯著性水平a=0.05）

人次W400人次>400總計

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

總計

附：必~p（2>3,841）?0.05.

（a+b）（c+d）（a+c）［b+d）'z'

19.如圖1是由兩個三角形組成的圖形，其中NAPC=90。，ZPAC=3Q°,

AC=2AB,4C4=30。.將三角形ABC沿AC折起，使得平面PAC，平面ABC,如

圖2.設(shè)。是AC的中點，。是AP的中點.

圖1圖2

(1)求直線與平面PAC所成角的大小；

(2)連接PB,設(shè)平面與平面P5C的交線為直線/,判別/與PC的位置關(guān)系,

并說明理由.

22

20.已知曲線C：?+三=1,。是坐標原點，過點T(1,O)的直線乙與曲線C交于P,

Q兩點.

(1)當4與x軸垂直時，求△OPQ的面積；

(2)過圓好+/=6上任意一點/作直線MA,MB,分別與曲線C切于A,3兩

點，求證：MAVMB-,

(3)過點N(”,0)(“>2)的直線4與雙曲線\-/=1交于凡s兩點(4，右不與左軸

重合).記直線77?的斜率為得R,直線7斜率為品s，當NONP=NONQ時，求證：〃

與與口+kTS都是定值.

21.已知定義域為R的函數(shù)y=/(x),其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為R的

導函數(shù)y=/'(%).

(1)求函數(shù)“X)=/+葭在點(0,/(0))的切線方程；

(2)已知/(x)=acosx+〃sinx,當a與Z?滿足什么條件時，存在非零實數(shù)左，對任意

的實數(shù)x使得/(-x)=-爐⑴恒成立？

(3)若函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，且滿足/(x)+/(2—x)=3.試判斷/'(x+2)=r(2—%)

對任意的實數(shù)X是否恒成立，請說明理由.

參考答案

1.答案：4+3i/3i+4

解析：z=（3-4i）-i=3i-4i2=4+3i.

故答案為：4+3i.

2.答案：（1,3）

解析：由卜一2|<1得一l<x—2<1,解得l<x<3,

故不等式卜-2|<1的解集為（1,3）.

故答案為：（1,3）.

3.答案：1

2

解析：設(shè)拋物線丫？=4x上一點人壯-,丁），則點A到點3（1,0）的距離為

-4'

因yeR,則9NO,故當y=0時，拋物線產(chǎn)=?上任一點A到點3（1,0）的距離最小值

為L

故答案為：1.

4.答案：2&兀

解析：因為圓錐的底面半徑為夜，母線長為2,

所以圓錐的側(cè)面積為S=Tirl=2缶，

故答案為：2缶.

7

5.答案：0.14/—

50

解析：因為XN（2,4）,所以P（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

6.答案：71

解析：已知2cos2cr-3cose=5,由倍角公式得

4cos2?-3cos?-7=（4cos?-7）（cos?+1）=0,

由?！闧0,可，coscif,解得cosa=—l,則戊=兀.

故答案為：71.

7.答案：20

12_____

解析：由題知=律=1。，

qq4qy4q

當且僅當幺=W2,即q=20時取等號，

4q

故答案為：20.

8?答案:匿]

解析：b在q方向上的投影向量為粵『=3.型=口2].

|?||?|①叵U2；

故答案為：0J

9.答案：1

解析：令x=0可得。()=1，

r

又(1-x)5展開式的通項為*=C5(-X),

令r=3可得C；(-l)3=-10；令，=2,可得C；(-1)2=10,

所以%=1x(—10)+1x10=0,

a。+/=1，

故答案為：1.

10.答案：當

解析：易知四棱錐O-EFGH的底面積SEFGH=SBCCB-4SA￡CF=4x2-4xlx2xl=4,

1,1vjnuv_^v?zjj/\/Jv1

高為/z=2cm,

1Q

所以四棱錐。"GH的體積為%2千皿二而，

長方體ABCD-為V=4x4x2=32cm3,

因此該模型的體積為32-§=^cm3,

33

所以該模型所需原料的質(zhì)量為型x0.9=%g.

35

故答案為：當.

11.答案：6

解析：因為正方體的棱長為1，所以|ACj=g,

又回+用|=2,

所以點P是以2c=行為焦距，以。=1為長半軸，以1=工為短半軸的橢球

2

上的一點，且焦點分別為A,G，

所以點P是橢球與正方體棱的交點，在以A,G為頂點的棱上，所以共有6個，

故答案為：6.

12.答案：秘2

2k1—k2

2kiz一(D

解析：由題意w%+°=2hi,keZ,x=.........—,則數(shù)/+夕=2左兀+兀，ZreZ,

cw

2kn+Tt-(p

XA=-------------'

W

B(0,sin(p),由|同〈二得0〈夕(二,貝！J,

22w

wsin。wsin。wsm(p

k]—，h=，kAR=，

(P-24兀+7i(p~2kji(p-2kii-7i

所以5—!=4-，又&彳2左，所以以〃=產(chǎn)二，

k2k[kAB2左i-K2

故答案為：

2k1—k2

13.答案：D

解析：根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x-85.71,則6=0.85〉0,y與x具有正的

線性相關(guān)關(guān)系，A正確；

回歸直線過樣本點的中心伉歹)，B正確；

該大學某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確；

該大學某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85x170-85.71=58.79kg,D錯誤.

故選D.

14.答案：A

解析：易知〃可=爐+1是偶函數(shù)，g（x）=4sin尤是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對應(yīng)的是

奇函數(shù)，

5皿=耦=靄，定義域為R'

4sin(-x)

又/?(-%)=當出=_無（力，所以可力是奇函數(shù)，符合題意，故正確;

(一力~+1X+1

B.y=44=J,x手尿,

keZ,不符合圖象，故錯誤;

g(x)4sinx

C.y=/z(x)=/(%)+g(x)-l=x2+l+4sinx-l=x2+4sinx,定義域為R,

但可-可力丸⑴，M-x）w-MH，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；

D.y=/z（x）=/（x）-g（x）-l=x2+l-4sinx-l=x2-4sinx,定義域為R,

但M-X）W/1（X）,M-X）W-Mx）,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故錯誤,

故選：A

15.答案：A

解析：由題意得，尸（甲）=L「（乙）=L尸（丙）=/一=L。（?。?2=9.

666x696x636

對于A,P（甲乙）=」，所以P（甲）xP（乙）=P（甲乙），所以甲與乙相互獨立，故A正

36

確；

對于B,P（乙丙）=工，所以P（乙）xP（丙）HP（乙丙），所以乙與丙不是相互獨立，故B

36

不正確；

對于C,尸（甲丙）=工，所以P（甲）XP（丙）/P（甲丙），所以甲與丙不是相互獨立，故C

36

不正確；

對于D,P（乙?。?工，所以P（乙）"（?。〩P（乙?。砸遗c丁不是相互獨立，故D

不正確.

故選：A.

16.答案：A

解析：命題①錯誤，理由如下:

EF-AD的大小等價于EF在AD上的投影,

由圖可知，投影是不斷增加的;

命題②正確，理由如下:

G

設(shè)S[=^/^ADE9S?=S^FDE、S3=S4FCE9^4~^Z^BCE

m-1

因為BC=m，AB=--—二m—1,

兀

cos—

3

做四，OC,垂足為

所以〃=EH=(￡4+AG)sinZ.G=-1)+1]sin60°,

所以S]=1%(777-l)sinl2O0,

-1)+1]/(m-1),

-1)+1](1T)("Z-1),

S4=^-m(l-x)(m-l)sin60°,

Xs1+s2=s3+s4,

所以化簡得到2/(x)=(：：；高,

求導可得2?x）=<0恒成立,

所以/=〃司隨著x的增大而減少，故②正確;

故選：A.

17.答案：（1）a“=2n—3,2=2小

（2）|（4"-1）

5x4

解析：（1）d=2,且S5=5%■!—-—x2=15,二％=—1,an—2n—3.

nx

4=],且4—4=6,：.d_q=6,:.q=2,bn=2~.

（2）由題可知，c〃=22"-3+22"T=9><4",

8

"s

fc,為等比數(shù)列求和，首項為2,公比為4,

!=12

"lx。"]

孕

18.答案：（1）350

（2）列聯(lián)表見解析，一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)

解析：（1）由題知，一天中到該公園鍛煉的平均人次約為:

10°X20+3℃IX35+5CI°><45=350,即一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為350.

100

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計算出x=9,則完成2x2列聯(lián)表為:

人次W400人次〉400總計

空氣質(zhì)量好363975

空氣質(zhì)量不好19625

總計5545100

假設(shè)一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量無關(guān).

100(36x6-19x39)2

z2-5.9394,

55x45x25x75

由/>3.841可得，原假設(shè)不成立，

即一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).

19.答案：(1)-

3

(2)Z//PC,理由見解析

解析：(1)過3作卸/JLAC于連接

平面PACL平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,BH±AC,BHu平面

ABC,

平面率C,NSDH為直線3。與平面PAC所成角.

AC=2AB,不妨設(shè)AB=a,AC=2a,

AHAC

在△ABC中，由正弦定理得-----二-----nsin3=ln5=90。.

sin30°sinB

易知PC=a,AP=y/3a,AD=a,AH=—,

22

DH=y]AD2+AH2-2AD-AH-cosZPAC=-，

2

.,.在RtABZ史中，BH=—a,DH=-a,tanZBDH=—=^3,

22DH

71

...ZBDH=~,

3

直線與平面PAC所成角的大小為三.

3

(2)。是AC的中點，。是AP的中點，.?.DO/PC；

又PCu平面PBC,DOuPBC,二。?！ㄆ矫鍼3C；

又平面DBO平面PBC=1,DOHI,

:.l//PC.

20.答案：（1）—

2

（2）證明見解析

（3）證明見解析

解析：（1）由題可知，直線為x=l,

代入橢圓方程工+.=1,解得丫=±邁，

422

所以=gx^xl=".

（2）設(shè)〃（無o，%）,

當3=±2時,%=±五,不妨取M（2,應(yīng)），4（2,0）,B（0,也）,

則AM=（0,四），BM=（2,0）,所以即成立;

當/。±2時，設(shè)M4,MB的斜率分別為k2,直線M4:y—%=左（%—

卜f=屹一%0）

由爐產(chǎn)=>(2左之+1)%2+4%(,0—kx0)x+2(ALXQ—%)2—4=0,

—+—=1

[42

因為直線M4與橢圓相切，所以△=（）,

——

即16k2（左環(huán)_先y—4（2左之+l）[2（fcv0y0）4]=0,

化間可得（質(zhì)0—%）2—2（242+1）=。,

化為關(guān)于k的一元二次方程為（片-4）42—2%%左+X；-2=0,

所以匕?右

因為河（公,九）在圓上，所以君+y：=6,

62

代入上式可得"=-5~=-1

Xn-4

綜上可得

（3）設(shè)尸（%,％）、。（々，為）、區(qū)（%3，>4）、5（%，”），

k

直線PN、QN的斜率分別為左PN、QN>

設(shè)直線l,;x=ky+l,與橢圓聯(lián)立得信2+2）y2+2。-3=0,

則A>0,%1+%2=——>7%17%2=——7--，

左2+242+2

由ZONP=ZONQ得kpN+kQN=0,

M+%=%(/2+l—