概率統(tǒng)計課件：中心極限定理

中心極限定理定理1獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量序列相互獨立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學期望和方差：則對于任意實數(shù)x,注：則

Yn

為的標準化隨機變量.即n

足夠大時，Yn

的分布函數(shù)近似于標準正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)記近似近似服從定理2德莫佛—拉普拉斯定理（DeMoivre-Laplace）設(shè)是次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù),是事件中發(fā)生的概率,則對任意區(qū)間,成立在每次試驗證明引人隨機變量則次試驗中事件發(fā)生的次數(shù)由于是獨立試驗,所以

相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即于是由同分布的中心極限定理，得于是對任意區(qū)間有例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應(yīng)用近似比較幾個近似計算的結(jié)果用中心極限定理用二項分布(精確結(jié)果)用Poisson分布用Chebyshev不等式例2

設(shè)有30個電子器件

它們的使用情況如下:

損壞,

接著使用;

損壞,

接著使用等等.

設(shè)器件

的使用壽命服從參數(shù)的指數(shù)分布.

令

為30個器件使用的總時數(shù),問

超過350h的概率是多少？

解

設(shè)為

的使用壽命，器件

服從參數(shù)的指數(shù)分布.

相互獨立,由中心極限定理得

例3

某單位設(shè)置一電話總機,共有200架電話分機.設(shè)每個電話分機有5%的時間要使用外線通話,假定每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的,問總機需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個分機都能即時使用.解設(shè)為同時使用的電話分機個數(shù),

設(shè)安裝了N條外線,

引人隨機變量則由于使用與否是獨立的,所以相互獨立,且都服從相同的(0—1)分布,即保證每個分機都能即時使用,

由題意查標準正態(tài)分布表取

例4

某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個車間

a千瓦的電力設(shè)X為200臺車床的開工數(shù).X~B(200,0.6),問題轉(zhuǎn)化為求

a,使X~N(120,48)(近似)由于將X近似地看成正態(tài)分布，故0)32.17(481200?-=÷???è?-FF反查標準正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)例5

檢查員逐個地檢查某種產(chǎn)品,每檢查一只產(chǎn)品需要用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復檢查一次，再用去10秒鐘.假設(shè)產(chǎn)品需要重復檢查的概率為0.5,求檢驗員在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率.解檢驗員在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小時.設(shè)X為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒)設(shè)Xk

為檢查第k

個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒),k=1,2,…,1900

XkP10200.50.5相互獨立,且同分布,解法二—1900個產(chǎn)品中需重復檢查的個數(shù)例6

對敵人的防御工事用炮火進行100次轟擊,

設(shè)每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學期望為2,均方差為1.5.如果各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨立的,求100次轟擊

(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.解設(shè)Xk

表示第

k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，

設(shè)X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則(1)(2)例7

售報員在報攤上賣報,已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3.令X

是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求P(280

X320).解令Xi

為售出了第

i–1份報紙后到售出第i

份報紙時的過路人數(shù),i=1,2,…,