2022-2023學(xué)年河南省安陽一中、安陽正一中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
2022-2023學(xué)年河南省安陽一中、安陽正一中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋物線的焦點為F,點為該拋物線上的動點,若點,則的最小值為()A. B. C. D.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.3.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=04.已知、分別是雙曲線的左、右焦點,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點、,過點作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.6.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.7.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.8.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.10.設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù),令.有以下6個論斷:①是奇函數(shù)時,是奇函數(shù);②是偶函數(shù)時,是奇函數(shù);③是偶函數(shù)時,是偶函數(shù);④是奇函數(shù)時,是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù);⑥對任意的實數(shù),.那么正確論斷的編號是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤11.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結(jié)論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值12.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.實數(shù)滿足,則的最大值為_____.14.已知,則_____。15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓及點,設(shè)點是圓上的動點,在中,若的角平分線與相交于點,則的取值范圍是_______.16.若隨機變量的分布列如表所示,則______,______.-101三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.18.(12分)在等比數(shù)列中,已知,.設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,(,).(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)是否存在等差數(shù)列,使得對任意,都有?若存在,求出所有符合題意的等差數(shù)列;若不存在,請說明理由.19.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.20.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面,,點在線段上,且.(1)求證:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為,由,解得,即函數(shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時,增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.3、A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點評:本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

設(shè)點位于第二象限,可求得點的坐標(biāo),再由直線與直線垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值,進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點位于第二象限,由于軸,則點的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,即點,由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算,解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系,考查計算能力,屬于中等題.5、A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.7、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

分類討論,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個,再取沒有陽爻的坤卦,計算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進(jìn)而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因為,所以,所以,所以,又,所以當(dāng)時,,,因為,整理得,因為,,,則所以.故選:C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性,考查學(xué)生分析能力和計算能力,是一道難度較大的題目.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)是奇函數(shù)時,則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時,例如:,則,,此時,故⑥錯誤;故③④正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.12、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為,且,,則.故選:.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】

畫出可行域,解出可行域的頂點坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當(dāng)直線過點時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.14、【解析】

由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15、【解析】

由角平分線成比例定理推理可得,進(jìn)而設(shè)點表示向量構(gòu)建方程組表示點P坐標(biāo),代入圓C方程即可表示動點Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離,所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因為AQ是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點,點,即,則,所以.又因為點是圓上的動點,則,故點Q的運功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點與原點間的距離,因為,所以故答案為:【點睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動點的軌跡方程,屬于中檔題.16、【解析】

首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計算性質(zhì)得.【點睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計算公式,方差的計算公式,方差的性質(zhì)等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解析】

(1)利用組合進(jìn)行計算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬基礎(chǔ)題。18、(1)(2)見解析(3)存在唯一的等差數(shù)列,其通項公式為,滿足題設(shè)【解析】

(1)由,可得公比,即得;(2)由(1)和可得數(shù)列的遞推公式,即可知結(jié)果為常數(shù),即得證;(3)由(2)可得數(shù)列的通項公式,,設(shè)出等差數(shù)列,再根據(jù)不等關(guān)系來算出的首項和公差即可.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為,,所以,解得.所以數(shù)列的通項公式為:.(2)由(1)得,當(dāng),時,可得①,②②①得,,則有,即,,.因為,由①得,,所以,所以,.所以數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列.(3)由(2)得,所以,.假設(shè)存在等差數(shù)列,其通項,使得對任意,都有,即對任意,都有.③首先證明滿足③的.若不然,,則,或.(i)若,則當(dāng),時,,這與矛盾.(ii)若,則當(dāng),時,.而,,所以.故,這與矛盾.所以.其次證明:當(dāng)時,.因為,所以在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時,.所以當(dāng),時,.再次證明.(iii)若時,則當(dāng),,,,這與③矛盾.(iv)若時,同(i)可得矛盾.所以.當(dāng)時,因為,,所以對任意,都有.所以,.綜上,存在唯一的等差數(shù)列,其通項公式為,滿足題設(shè).【點睛】本題考查求等比數(shù)列通項公式,證明等差數(shù)列,以及數(shù)列中的探索性問題,是一道數(shù)列綜合題,考查學(xué)生的分析,推理能力.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點,由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標(biāo)系,以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點,連接,又為菱形,故,為的中點.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標(biāo)原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角

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