云南省開遠(yuǎn)市某中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題

云南省開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合八N"2xW3},N=W=21,貝嚴(yán)cN=（）

A.（川）B-（0,+8）C[o,3]D-（0,3]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足^^=[2。23（i為虛數(shù)單位），則（）

1+2i

A.3B.由C.5D-也

3.設(shè)ct,尸是兩個不同的平面是兩條直線,且7〃ua,/_La.則"/_L尸"是"加//萬"

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量/==（2,3”則B在萬上的投影向量的坐標(biāo)為（）

Ad

-（14}B.。,一切。色,一；[-

5.安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個學(xué)校,

每個學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（）

A.36種B.30種C.24種D.12種

'FLa=2°）1，兀c=ln2吊”,\

o.攻，b=sm—，，則（）

12

「

A?c<b<aR*b<c<a'a<b<c*b<a<c

試卷第11頁，共33頁

7.已知cos-sina=《,則"&-焉的值是()

AV3B.-1C.1D.也

?F444

8.過圓c：(x+l)2+/=i上的48兩點分別作圓C的切線，若兩切線的交點“恰好在直

線/:x+y-2=0上，則阿Cl明的最小值為()

叵

A.B,3c372D.

2,

二、多選題

9.下列命題中，真命題有()

A.若隨機變量X?則。(X)=g

B,數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的70%分位數(shù)是&5

C.若隨機變量x?NR,。?),尸(X>l)=0.68,則尸(2Wx<3)=0.28

D.若事件A,8滿足0<P(4),P(8)<l且尸(4)=p⑷.[l_p(8)1則A與B獨立

10.已知拋物線/=2px(p>0)經(jīng)過點/(1,2)，其焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線交

于點4(%,%)，5(%,%)，設(shè)直線。8的斜率分別為今公，則()

A.p=2

C.OAOB=-^D.3=-4

11.已知函數(shù)/㈤和g(x)是定義域為R的函數(shù)?若f(x-2)=f(r)J(x)+g(x+3)=3,

試卷第21頁，共33頁

/(-x-2)-g(x+l)=-l>且/(-1)=2，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.g(l)=2

C.函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線尤=T對稱

2023

D.，g(⑼=4046

m=0

三、填空題

12.在［的展開式中，常數(shù)項為—.(用數(shù)字作答)

S"{""}n［177為奇數(shù)"=

13.記為數(shù)列的前項和，已知%=?(〃+2)'刀句數(shù)'則—

a?i，〃為偶數(shù),

14.已知雙曲線,：］一(=1(°>0,6>0)的左、右焦點分別為耳，外，尸是。右支上一

點，線段尸片與C的左支交于點若WA里為正三角形，則C的離心率為一.

四、解答題

15.已知“Be的內(nèi)角A，8，C的對邊分別為°,b'C'且2acosC_ccos8=6cosC.

⑴求角C；

(2)若CD是//C8的角平分線，CD=4也，418c的面積為18』，求。的值.

16.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸

大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長和繁殖.其

試卷第31頁，共33頁

次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮

力增強，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對男、女學(xué)生是否喜歡長跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查

男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計得到以下2x2列聯(lián)表:

喜歡不喜歡合計

男生12080200

女生100100200

合計220180400

(1)試根據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)?

(2)為弄清學(xué)生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方

法隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進(jìn)行面對面交流，記隨機變量X表示抽到的3人

中女生的人數(shù)，求X的分布列；

(3)將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取12人，記其中喜歡長

跑的人數(shù)為匕求y的數(shù)學(xué)期望.

附.2n(ad-bcy其中"=a+b+c+d

*(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.1000.0500.0250.0100.001

X2.7063.8415.0246.63510.828

17.如圖，在四棱臺/BCQ-43cA中，底而NBCD為平行四邊形，側(cè)棱平面

ABCD，。/=44=4，AB=8,ZADC=120°-

(1)證明：BD±AXA；

試卷第41頁，共33頁

(2)若四棱臺"88-44GA的體積為生也,求平面""'4與平面所成的銳二面

3

角的余弦值.

18.已知橢圓0：1+r=1,>6>0)的短軸長等于2指，離心率e=g.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過右焦點尸的直線/與橢圓c交于A、3兩點，線段的垂直平分線交x軸于點尸，證

明：(4為定值.

19.已知曲線c：〃x)=e*-xe*在點/(1J⑴)處的切線為人

(1)求直線/的方程；

(2)證明：除點A外，曲線c在直線/的下方；

(3)設(shè)/a)=〃Z)=G產(chǎn)乙，求證：再

e

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)一元二次不等式解法和指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)求出集合M,N，即可求得結(jié)果.

【詳解】解不等式/一工分可得屈=3-叱尤"}，

由指數(shù)函數(shù)y=2T的值域可得N={"A0}，

所以McN={x[0<xV3}，即為加|"|"=(0,3}

故選：D

2.D

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡復(fù)數(shù)，應(yīng)用公式求復(fù)數(shù)的模.

【詳解】復(fù)數(shù)z=i27i+2i)=_i(l+2i)=-i-2i?=2-i，故忖=5

故選：D.

3.A

【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.

【詳解】I1/3,且/_Lct，所以ct//Q,又mua,所以機〃夕，充分性滿足,

如圖：滿足“//萬，7〃ua,/_La,但/_LQ不成立，故必要性不滿足，

所以是“〃〃￡”的充分而不必要條件.

故選：A.

4.D

【分析】利用B在d上的投影向量的定義求解?

答案第11頁，共22頁

【詳解】因為,4=(_1,1).(2,3)=-2+3=1,|殲=2，

所以不在。上的投影向量的坐標(biāo)為魯.芻

同同2I22)

故選：D.

5.B

【分析】利用間接法，先求所有的可能情況，再排除甲、乙安排在同一所學(xué)校的可能情況.

【詳解】若每名大學(xué)生只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有

C；A；=36種，

若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有A：=6種，

所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有36—6=30種.

故選：B.

6.B

【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助1，；進(jìn)行比較判

斷選項.

「二王冷刀』a=20,3>2°=11.兀兀1.

【詳角?！?，b=sm——<sin—,

1262

而血<2<e,則L<ln2<l,即Lc<l,所以

22

故選:B

7.B

【分析】先根據(jù)差角公式和輔助角公式將題中所給的條件化簡，求得sin[c+^]=；，再利

用誘導(dǎo)公式得到結(jié)果.

【詳解】因為

答案第21頁，共22頁

cosL_^+sin?j￡cosa+.si3a+sina3K3sina+￡cosa=^sinr+j=/

I6J2222(4

可得sin]a+EJ=a，

故選：B.

8.D

【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)平面幾何的知識可知48YMC，貝!1|此卜|/同=2|加4，

又幽=從而只需求|MCLn,利用點到直線的距離公式求出IMCL),即可得

解.

【詳解】因為圓C的方程為(x+l)2+/=i，所以圓心c(_l,O)，半徑r=L

因為是圓C的兩條切線，所以M4_LNC,〃5J-BC，

由圓的知識可知4M,8,C四點共圓，且_LMC,

所以|MC|-以同=4s.M4c=4X|X|M4|X|^C|=2|M4|,

又“一所以當(dāng)照最小，即時，匹卜|/

1,"C,"8取得最小值,

此時MG1一1+：一2|=逑,

yJ22

所以(即口/喉，=23L=213f-1=^4.

答案第31頁，共22頁

故選：D.

【分析】對于A：利用方差公式求解；對于B：通過百分位數(shù)的概念計算；對于C：利用

正態(tài)分布的對稱性計算；對于D：利用獨立事件的概念判斷.

24

【詳解】對于A：根據(jù)二項分布的方差公式可得。（X）=6x；x=A正確;

3-3

對于B：數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6,7,8,9,1。的70%分位數(shù)，j=10X70%=7，則

-=7.5,B錯誤；

2

對于C：隨機變量*?尸（X>l）=0.68，貝。（2Vx<3）=0.68-0.5=0.18，。錯

誤；

對于D：因為尸（―卜尸⑷「一尸⑻卜尸⑷"⑷尸（8）=尸（土）+尸（疝）一尸⑷尸⑻,

所以尸（48）=尸（/）尸（8），故A與3獨立，D正確.

故選：AD

10.ABD

【分析】由加點坐標(biāo)代入求出P,即可求出拋物線方程與焦點坐標(biāo)，設(shè)直線/:x=my+l,

聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點弦公式判斷B,根據(jù)數(shù)量積的坐

標(biāo)表示判斷C,根據(jù)斜率公式判斷D.

【詳解】因為拋物線/=20尤（°>0）經(jīng)過點”（1,2），所以2'2p，解得p=2,故A正確;

答案第41頁，共22頁

所以拋物線方程為丁=4尤，則焦點/0,0)，

設(shè)直線/"=沖+'則卜0x,消去x整理得丁-4叼-4=0,

[x=my+l

貝l」A=16加2+16>0，所以必+%=4加，乂%=-4，

2

則xx+x2=加(必+%)+2=4m+2，

再々二(叩1+1)(即2+1)=加2Vly2+加(%+)+1=1*

所以14sl=3+9+2=4加2+4之4，故B正確；

所以刀目督,必必礪口隹,”。，所以德商=無述2+必必=3故C錯誤；

上向=&-匹=一4,故D正確；

再

故選：ABD

11.BC

【分析】先由/(x=2)=/(f)判斷選項,；得出/(-x_2)=/(x)，再令x為-x-2結(jié)合已

知可判斷B選項；由BC的計算可判斷A選項；最后得出4是g(x)的周期，并計算出

g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=8，最終判斷D選項即可.

【詳解】由〃x_2)=〃-x)可知"X)的圖象關(guān)于直線--1對稱，C正確；

所以f(-x-2)=f(x),則g(x+3)+g(x+l)=4①，

令x為-x-2,/(-x-2)+g(-x+l)=3，則g(-x+l)+g(x+l)=4②.

g(x)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱，g(1)=2,令x=0,g(3)=g(l)=2，故B正確；

答案第51頁，共22頁

由①②可知g(x+3)=g(-x+l)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.故A錯誤;

所以4是8⑴的周期，由=+g⑵=3,得g⑵=1，令x=-l，由①得

g(0)=3,4是g(x)的周期-g(O)+g⑴+g⑵+g(3)=8,g(2023)有2。24項,故

2023

Zg("2)=4048，故D錯誤?

m=Q

故選：BC.

12.448

【分析】由題可得展開式通項，令x的指數(shù)為°，可得常數(shù)項為第幾項，即可得答案?

【詳解】(丁_2[展開式的通項為

_(,,7

3-r

7；+1=C；(x)"(-2y=C；(-2/x(r=0,l,--,7),

I7

421--r=0,解得'=6,故常數(shù)項為4(-2)6=448.

2

故答案為：448.

13.12

11

【分析】注意到°=a后eN*，進(jìn)一步由裂項相消法即可求解.

【詳解】由題意出〃=/5攵CN*，

所以Eo=2(%+。3+。5+%+4)=2]++++I

<1x33x55x77x99xllJ

答案第61頁，共22頁

故答案為：

11

14.5

【分析】根據(jù)題意和雙曲線定義求得=|/與卜阿閭=4。且戶么|=6a,在△耳/"中，

利用余弦定理列出方程，化簡得到。2=7/，即可求得雙曲線的離心率?

【詳解】因為點P是C右支上一點，線段尸片與C的左支交于點M，且|PM|=|P6|，

因為例明為等邊三角形，所以「叫=|叫=|叫，"尸尸2=三，

由雙曲線定義得,〔尸耳卜戶用=歸閭+惘周一戶閭=|血庫|=2a，

又叫八隼|-|町|=四圖-2a=2a，解得|九照=4°，

^i\PM\=\PF2\^\MF2\=4a，且附|=|尸閭+網(wǎng)=4a+2a=6a>

在叢IP%中，由余弦定理得?os巴1=（時+伍小⑷=

32X4QX6Q2

化簡整理得c?=7/,所以雙曲線的離心率為0=￡=4.

a

故答案為：

答案第71頁，共22頁

【點睛】方法點睛：求離心率是圓錐曲線一類?？碱}，也是一個重點、難點問題，求解橢

圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：

①直接求出°、C，可計算出離心率；

②構(gòu)造0、c的齊次方程，求出離心率；

③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解.

15.(1)C=-

3

(2)c=6^3

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換求解角度即可.

(2)利用三角形的面積公式和余弦定理列出方程，求解即可.

【詳解】⑴由2accosC-ccosB=6cosC及正弦定理得'

2sinAcosC-sinCcosB=sinBcosC,

所以2sin/cosC=sinBcosC+sinCcos8=sin(B+C)=sin/，因為sinZwO，

所以cosC=L又Ce(Om),所以cJ

23

(2)由SA/8C=184="6sin—=正，得岫=72,

234ab

答案第81頁，共22頁

又S,ABC=S.ACD+SABC。=荔丹sin2+丁CDsin—，

2b62a6

=(*4百*(0+6)*(=6(°+6),所以"+"I8,

由余弦定理得c1=d$-2abcos弓=(a+6)2-3必=18?-3x72=108,

所以c=6后

16.(1)可以認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).

(2)分布列見解析

【分析】（1）根據(jù)2'2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得/=竺2,結(jié)合附表，即可求解;

（2）求得男生的人數(shù)為4人，女生的人數(shù)為5人，根據(jù)題意，得到X的可能取值為0,1,2,3,

求得相應(yīng)的概率，列出分布列；

11Y

（2）根據(jù)題意，求得任抽1人喜歡長跑的概率為？=巳，結(jié)合服從二項分布，即可求解.

【詳解】（1）解：零假設(shè)4：學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別無關(guān)聯(lián),

根據(jù)題意，由2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

2_400x(120x100-80x100)2

——?4.040>3.841,

付*——200x200x220x18099

所以在a=0.050的獨立性檢驗中，可以推斷“。不成立,

即認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).

答案第91頁，共22頁

（2）從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人,

其中男生的人數(shù)為9x^=4人，女生的人數(shù)為人,

從9人中隨機抽取3人，所以隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,

「31s

可得p(x=o)=W=J-,p(x=o)=^^=2

C；21C；14

3

尸(X=2)=:C卓Y=—10,P(X=3)=CW=5—

C；21C42

則隨機變量丫的分布列為:

10123

15105

21142142

（3）解：由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率為p=，，

所以隨機變量Y服從二項分布，即"8（12苜11，所以E（Y）=12x益11=芋33

17.（1）證明見解析

⑵巫

13

【分析】（1）利用余弦定理求出。5=46，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可證明；

（2）利用臺體體積公式求出?！?1，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求

出面面角余弦值即可.

【詳解】（1）底面48co為平行四邊形，

答案第101頁，共22頁

ZADC=120°>NDAB=60°.

■：DA=4,AB=8,

由余弦定理可得：DB2=AB2+AD2-2ABxADcos60°=48'DB=4y/3'

則DA2+DB2=AB2'DAA.DB'

側(cè)棱_L平面/BCD，08u平面/BCD，:.DDJDB，

又???o/u平面ORU平面且

DB1平面ADD,A,，

又44]u平面ADR4，DBLAAX-

（2）四棱臺中“Be。-4耳G°的體積為竺叵

3

-U=!(Ss+S

%坊S^BCD■$4與朋

3\AD\-'UJGA+

^^=--DD,-(AD-DB+A.D.-D,B.+

[AD.DB.AR.DB)，

33iiii

竺是，3*28拒，解得：DR=1

331

如圖，以點。為原點，DA,DB,"）1所在直線為X軸，y軸，z軸,

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,

答案第111頁，共22頁

則4(4,0,0),8(0,4石,0),C(-4,473,0),與(0,2后1),

.-.SC=(-4,0,0)；麗'=((),-2?1),

設(shè)平面2CC4的法向量為為=(x,y,z)，

n-BC=-4x=0力=(0,1,2班)

則有‘心西=一2島+z=0'所以

平面ADDlAi的法向量為m=(0,1,0)-

設(shè)平面4DZ)14與平面2CC[8]所成銳二面角為0，

則cos0=\cosm,n\==—L==-

11\了m\；\i，i\V1313

22

18.⑴上+2=1

43

(2)證明過程見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，列出凡6,c的方程組，求得a,6的值，即可求得橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/的方程為了=及5-1),聯(lián)立方程組得到+*L,xx,="W，進(jìn)而

12*44k2+312死+3

答案第121頁，共22頁

4k2-3k)加二31+1）,再由弦長公式求得

求得0,得出中垂線的方程，求得

4左2+3'4左2+3,?4左2+3

12儼+1）,即可求解.

M吐4r+3

橢圓。：X2,22月,離心率eJ可得,

【詳解】（1）方=1（。>6>0）的短軸長等于

/+

a=2,b=V3,c=122

2b=273工+匕=1

43

a=2c解得,所以橢圓的方程為

b2=a

(2)

由橢圓的方程片+工=1，可得右焦點尸（L°）,

43

當(dāng)直線斜率不存在時被x軸垂直平分，不符合題意;

OF

當(dāng)直線斜率為0時，—1

AB2a4

直線斜率存在且不為。時，設(shè)直線/的方程為y=MxT），/（』,％）,3（與力），23中點為

Q(xs,ye),

答案第131頁，共22頁

-x2y2_（4?l2+3）x2-8A:2x+4^2-12=0

聯(lián)立方程組了十5=1,整理得

y=k（x-1）

4--12

可得A64左斗犬左99（方2）144例+）缶西+干奴"X]X=——-------

1242左2+3

^o{—--—則中垂線的方程為y_f=」（尤__E

^[4k2+3,4k2+3Jy4k2+3左14k2+3

y=0_k23仔+1）

令，可得、=而百所以戶司=x7H4機+3一1

4后2+3

又由=A/1+k2X—4=Jl+4,J（再+%2）2—4再工2

31+1）

所以竺=疾+3」（定值）；

AB12（^2+1）4

4-2+3

綜上所述，勻為定值

AB\4

19.（l）y=_ex+e；

⑵證明見解析；

（3）證明見解析.

答案第141頁，共22頁

【分析】(1)求導(dǎo)，得至==一e，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；

(2)令g(x)=_ex+e_e'+xe、，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點函數(shù)值，得到所

以g(x)Wg(l)=O，當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號成立，得到證明；

(3)求導(dǎo)得到〃%)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到不妨令再<0,0<X2<l，結(jié)合

曲線。在(L°)點的切線方程為夕(力=一助+e,得到%<%=-2+1,轉(zhuǎn)化為證