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文檔簡介
江蘇省江陰市普通高中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在中,根據(jù)下列條件解三角形,其中有一解的是()A.,,B.,,C.,,D.,,2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面積為,則BC的長為().A. B.2 C. D.3.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.在等差數(shù)列an中,若a3+A.6 B.7 C.8 D.95.在數(shù)列{an}中,若a1,且對(duì)任意的n∈N*有,則數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和為()A. B. C. D.6.右圖中,小方格是邊長為1的正方形,圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.在數(shù)列中,若,,則()A. B. C. D.8.若直線與圓相切,則()A. B. C. D.9.若不等式對(duì)實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍()A.或 B.C. D.10.直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在圓上,則面積的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若正四棱錐的底面邊長為,側(cè)棱長為,則該正四棱錐的體積為______.12.382與1337的最大公約數(shù)是__________.13.某校選修“營養(yǎng)與衛(wèi)生”課程的學(xué)生中,高一年級(jí)有30名,高二年級(jí)有40名.現(xiàn)用分層抽樣的方法從這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本,已知在高二年級(jí)的學(xué)生中抽取了8名,則在該校高一年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為________.14.設(shè)ω為正實(shí)數(shù).若存在a、b(π≤a<b≤2π),使得15.某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品,數(shù)量分別為120件,80件,60件,為了了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異,用分層抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查,其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件,則n=.16.若直線與曲線相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí),實(shí)數(shù)m的取值____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.定義在R上的函數(shù)f(x)=|x2﹣ax|(a∈R),設(shè)g(x)=f(x+l)﹣f(x).(1)若y=g(x)為奇函數(shù),求a的值:(2)設(shè)h(x),x∈(0,+∞)①若a≤0,證明:h(x)>2:②若h(x)的最小值為﹣1,求a的取值范圍.18.在平面直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊,作兩個(gè)角,它們終邊分別經(jīng)過點(diǎn)和,其中,,且.(1)求的值;(2)求的值.19.如圖在四棱錐中,底面是矩形,點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,且平面平面,證明平面.20.某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取輛純電動(dòng)汽車調(diào)查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值;(2)求輛純電動(dòng)汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù);(3)若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機(jī)抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.21.解答下列問題:(1)求平行于直線3x+4y-2=0,且與它的距離是1的直線方程;(2)求垂直于直線x+3y-5=0且與點(diǎn)P(-1,0)的距離是的直線方程.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】
根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷條件得出各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的解的個(gè)數(shù),于此可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),,,此時(shí),無解;對(duì)于B選項(xiàng),,,此時(shí),有兩解;對(duì)于C選項(xiàng),,則為最大角,由于,此時(shí),無解;對(duì)于D選項(xiàng),,且,此時(shí),有且只有一解.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷,解題時(shí)要熟悉三角形個(gè)數(shù)的判斷條件,考查推理能力,屬于中等題.2、D【解析】
利用三角形面積公式列出關(guān)系式,把,已知面積代入求出的長,再利用余弦定理即可求出的長.【詳解】∵在中,,且的面積為,
∴,
解得:,
由余弦定理得:,
則.
故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了余弦定理,三角形面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.3、C【解析】由題意,得,設(shè)過的拋物線的切線方程為,聯(lián)立,,令,解得,即,不妨設(shè),由雙曲線的定義得,,則該雙曲線的離心率為.故選C.4、C【解析】
通過等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)閍3+a9=17【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大.5、A【解析】
用累乘法可得.利用錯(cuò)位相減法可得S,即可求解S10=22.【詳解】∵,則.∴,.Sn,.∴,∴S,則S10=22.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了累乘法求通項(xiàng),考查了錯(cuò)位相減法求和,意在考查計(jì)算能力,屬于中檔題.6、D【解析】
由三視圖可知,該幾何體為棱長為2的正方體截去一個(gè)三棱錐,由正方體的體積減去三棱錐的體積求解.【詳解】根據(jù)三視圖,可知原幾何體如下圖所示,該幾何體為棱長為的正方體截去一個(gè)三棱錐,則該幾何體的體積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體三視圖的應(yīng)用問題以及幾何體體積的求法,關(guān)鍵是根據(jù)三視圖還原原來的空間幾何體,是中檔題.7、C【解析】
利用倒數(shù)法構(gòu)造等差數(shù)列,求解通項(xiàng)公式后即可求解某一項(xiàng)的值.【詳解】∵,∴,即,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列,∴,即,∴.故選C.【點(diǎn)睛】對(duì)于形如,可將其轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列形式,然后根據(jù)等差數(shù)列去計(jì)算.8、C【解析】
利用圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為(0,0),所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
對(duì)m分m≠0和m=0兩種情況討論分析得解.【詳解】由題得時(shí),x<0,與已知不符,所以m≠0.當(dāng)m≠0時(shí),,所以.綜合得m的取值范圍為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的恒成立問題,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】
先求出AB的長,再求點(diǎn)P到直線AB的最小距離和最大距離,即得△ABP面積的最小值和最大值,即得解.【詳解】由題得,由題得圓心到直線AB的距離為,所以點(diǎn)P到直線AB的最小距離為2-1=1,最大距離為2+1=3,所以△ABP的面積的最小值為,最大值為.所以△ABP的面積的取值范圍為[1,3].故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算,考查面積的最值問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、4.【解析】
設(shè)正四棱錐的高為PO,連結(jié)AO,在直角三角形POA中,求得高,利用體積公式,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,正四棱錐P-ABCD中,AB=,PA=設(shè)正四棱錐的高為PO,連結(jié)AO,則AO=,在直角三角形POA中,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐體積的計(jì)算,其中解答中熟記正棱錐的性質(zhì),以及棱錐的體積公式,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、191【解析】
利用輾轉(zhuǎn)相除法,求382與1337的最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)?,,所?82與1337的最大公約數(shù)為191,故填:.【點(diǎn)睛】本題考查利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù),屬于容易題.13、6【解析】
利用分層抽樣的定義求解.【詳解】設(shè)從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取x名,由分層抽樣的知識(shí)可知,解得x=6.故答案為6.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.14、ω∈[【解析】
由sinωa+sinωb=2?sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]【詳解】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ],故已知條件等價(jià)于:存在整數(shù)ωπ當(dāng)ω≥4時(shí),區(qū)間[ωπ,2ωπ]的長度不小于4π當(dāng)0<ω<4時(shí),注意到,[ωπ故只要考慮如下幾種情形:(1)ωπ≤π2<(2)ωπ≤5(3)ωπ≤9綜上,并注意到ω≥4也滿足條件,知ω∈[9故答案為:ω∈[【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.15、13【解析】(解法1)由分層抽樣得,解得n=13.(解法2)從甲乙丙三個(gè)車間依次抽取a,b,c個(gè)樣本,則120∶80∶60=a∶b∶3a=6,b=4,所以n=a+b+c=13.16、【解析】
點(diǎn)O到的距離,將的面積用表示出來,再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓的上半圓,若直線與曲線相交于A,B兩點(diǎn),則直線的斜率,則點(diǎn)O到的距離,又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最大值.所以,解得舍去).故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離,三角形面積,均值不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)a=1(2)①證明見解析②(1,+∞)【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),令,即可求出的值;(2)①先去絕對(duì)值,再把分離常數(shù)即可證明;②根據(jù)的最小值為,分和兩種情況討論即可得出的取值范圍.【詳解】(1)∵g(x)=|(x+1)2﹣a(x+1)|﹣|x2﹣ax|,一方面,由g(0)=0,得|1﹣a|=0,a=1,另一方面,當(dāng)a=1時(shí),g(x)=|(x+1)2﹣a(x+1)|﹣|x2﹣x|=|x2+x|﹣|x2﹣x|,所以,g(﹣x)=|x2﹣x|﹣|x2+x|=﹣g(x),即g(x)是奇函數(shù).綜上可知a=1.(2)(i)∵a≤0,x>0,x+1>0,所以h(x)2,∵1﹣a>0,x>0,∴h(x)>2.(ii)由(i)知,a>0,情形1:a∈(0,1],此時(shí)當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),有2,當(dāng)x∈(0,a]時(shí),有h(x),由上可知此時(shí)h(x)>0不合題意.情形2:a∈(1,+∞)時(shí),當(dāng)x∈(0,a﹣1)時(shí),有h(x),當(dāng)x∈[a﹣1,a)時(shí),有h(x)當(dāng)x∈[a,+∞)時(shí),有h(x),從而可知此時(shí)h(x)的最小值是﹣1,綜上所述,所求a的取值范圍為(1,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的定義求參數(shù)的值,考查去絕對(duì)值方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)正弦的定義求得,再運(yùn)用余弦的二倍角公式求解,(2)由(1)問可得、兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而再運(yùn)用正切的和角公式求解.【詳解】(1)由得:所以:(2)由則故因此.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義和余弦的二倍角公式和正切的和角公式,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見證明;(2)見證明【解析】
(1)可證,從而得到要求證的線面平行.(2)可證,再由及是棱的中點(diǎn)可得,從而得到平面.【詳解】(1)證明:因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn),所以,又在矩形中,,所以,又面,面,所以平面(2)證明:在矩形中,,又平面平面,平面平面,面,所以平面,又面,所以①因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn),所以,②由①②及面,面,,所以平面.【點(diǎn)睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線,找線的方法可利用三角形的中位線或平行公理.線面垂直的判定可由線線垂直得到,注意線線是相交的,而要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直(有時(shí)它來自面面垂直)來考慮.20、(1)(2)(3)【解析】
(1)利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;(2)中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo),即可求得答案;(3)據(jù)直方圖求出續(xù)駛里程在和續(xù)駛里程在的車輛數(shù),利用排列組合和概率公式求出其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率,即可求得答案.【詳解】(1)由直方圖可得:(2)根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標(biāo).直方圖可得:可得:輛純電動(dòng)汽車?yán)m(xù)駛里程的中位數(shù).(3)續(xù)駛里程在的車輛數(shù)為:續(xù)駛里程在第五組的車輛數(shù)為.從輛車中隨機(jī)抽取輛車,共有中抽法,其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的抽法有種,其中恰有一輛車的續(xù)駛里程在的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)條型統(tǒng)計(jì)圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)和根據(jù)組合數(shù)求概率問題,解題關(guān)鍵是掌握條型統(tǒng)計(jì)圖基礎(chǔ)知識(shí)和概率的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、
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