2024年山西省運城市高三年級下冊二模數(shù)學(xué)試題及答案

運城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

試卷類型：A

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)

域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（4-3i）z=l+2i,則卜卜（)

2石

D.—

5

2.已知圓錐的側(cè)面積為12乃，它的側(cè)面展開圖是圓心角為行的扇形，則此圓錐的體積為（）

46岳B.里立C.6岳D.喳

33

3.己知向量）和否滿足問=3,限2邛+*近，則向量否在向量［上的投影向量為（）

1--1--

A.—aB.—aC.-LZD.Q

33

/v2

4.已知雙曲線?一彳=1（。>0乃>0）的兩條漸近線均和圓C：f+/+8工+7=0相切，且雙曲線的左

ab

焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為（）

X24x24y2.

A.---y"B.------^-=1

9797

4￡4必

C.-------=1D=1

79T-f

5.將函數(shù)/（x）=2sin3x+］的圖象向右平移8（9>0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)

<4，

g（x）在區(qū)間（Oy）上恰有兩個零點，則夕的取值范圍是（)

5笈3萬、3113

A.

(5%3萬U(E13;r

c\nyl~

6“五一”假期將至，某旅行社適時推出了“晉祠"五臺山x云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路

可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個名額，其余線路名額充足.現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這

四人前去報名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路.則不同的報名情況總

共有：）

A.360種B.316種C.28B種D.216種

7.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S〃，若品＞0,與＜0,則”的取值范圍是（）

（613）

B.、于五

D.[-o,-|U—13,+oo

I7八15

8.已知正方形48co的邊長為2,點P在以力為圓心，1為半徑的圓上，則歸城+|尸?！?歸。『最小值為

（）

A.18-8V2B.18-8V3

C.19-85/3D.19-8V2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個基本因素構(gòu)成.某實驗基地

有兩塊面積相等的試驗田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試

驗5次，水稻的產(chǎn)量如下：

甲（單位：kg）250240240200270

乙（單位：kg）250210280240220

則下列說法正確的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70

B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240

C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)

D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差

10.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,且對任意的都有/（k）=葉（力+W（X），若/（2）=2,則

下列說法正確的是（）

A./（1）=OB./(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

20242024

C,^/（2,）=2023x22025+2D,^/（2,）=2024x22026+2

1=11=1

11.如圖，在棱長為2的正方體458—中，點尸是側(cè)面4。。圈內(nèi)的一點，點E是線段CC上

的一點，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)點尸是線段4。的中點時，存在點E,使得平面尸&A

9

B.當(dāng)點E為線段CG的中點時，過點/,E,0的平面截該正方體所得的截面的面積為彳

C.點E到直線的距離的最小值為加

D.當(dāng)點E為棱CG的中點且尸E=2&時，則點P的軌跡長度為吃

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4=?X￡Ng<3川<27>，5={x|x2-3x+/n=0},若4n8,則4U8的子集的個數(shù)

為.

13.已知tana=2tan〃，sin（a+/?）=—,則sin（/一a）=.

14.已知橢圓C：=l(o>b>0)的左、右焦點分別為百,F2,過&的直線與C交于4,8兩點,

且M用二|力3|,若片的面積為*從，其中O為坐標(biāo)原點，則號|的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

在△NBC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,csin-^^-=—bsin2C+—csinCcosB.

242

(1)求sin/的值；

(2)如圖，a=6百，點O為邊力。上一點，且2。。=5。8,ZABD=-,求△力8c的面積.

7

B

16.（本小題滿分15分）

長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧

氣量若超過平時的7-8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長和繁殖.其次長跑鍛誠還改善了心肌供氧狀態(tài)，加

快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對男、女學(xué)生

是否喜歡長跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計得到以下2x2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計

男生12080200

女生100100200

合計220180400

（1）試根據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？

（2）為弄清學(xué)生不喜歡長跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9

人,再從這9人中抽取？人進(jìn)行面對面交流，記隨機變量Y表示抽到的？人中女生的人數(shù).求Y的分布列:

（3）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取12人，記其中喜歡長跑的人數(shù)為匕

求y的數(shù)學(xué)期望.

附”=(“+b)(L)(".+")'W=a+"c+"

a0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

%

17.（本小題滿分15分）

如圖1,在△/8C中，AC=BC=4,48=4蚯，點。是線段ZC的中點，點E是線段力8上的一點,

且DEJ.4B,將△4OE沿OE翻折到的位置，使得尸E_L3。，連接P8,PC,如圖2所示,

點尸是線段收上的?點.

⑴若BF=2PF,求證：C戶〃平面P0E；

(2)若直線C廠與平面尸所成角的正弦值為々;，求線段職的長.

18.（本小題滿分17分）

已知拋物線C：、2=2/(〃>0)的準(zhǔn)線與圓。：V+y2=l相切

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點尸是C上的一點，點48是C的準(zhǔn)線上兩個不同的點，且圓。是△尸45的內(nèi)切圓.

①若|,4邳=2后，求點P的橫坐標(biāo)；

②求△"B面積的最小值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=(x-Q)eX+x+a(4￡R).

(1)若。=4,求/(x)的圖象在x=0處的切線方程；

(2)若/(x)NO對于任意的XE[0,+8)恒成立，求〃的取值范圍；

(3)若數(shù)列｛〃“｝滿足4=1且。用=不\(〃€1<),記數(shù)列｛叫的前幾項和為S”，求證：

S〃+：<ln[(〃+D(〃+2)].

運城市2024年高三第二次模擬調(diào)研測試?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.A因為兔數(shù)z滿足（4-3i）z=l+2i,所以2=匕^=4+3—i,所以

'）4-3i（卜4-3”i）（4+3i、）

2525

|z|=

yH)+償]邛?故選A-

2.B設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為/，則%”=12%，^=-y,解得廣=2,1=6,所以此圓錐的

高〃二〃一,=4形,所以此圓錐的體積「二」4、22*4>/5="叵.故選8.

33

3人因為,+*近，所以@+2￡/+用=7,又問=3邛卜2,所以9+2屋5+4=7,解得￡*二一3,

一■*a,b31——

設(shè)〃與b的夾角為夕，貝|Jcose=2忐==-=一±,所以向量力在向量〃上的投影向量為

血力3x22

Cl1—,,

|^|cos<9-尸|=一二。.故選A.

忖3

4.D雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,所以瓜一即=0.圓C：Y+y2+8x+7=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為

a

（X+4）2+/=9,所以圓心為。（-4,0）,r=3,所以J-4」=3,又/+/=16,解得。=近,

yja1+b2

b=3,所以雙曲線的方程為三一乙=1.故選D

79

5.C將函數(shù)/（x）=2sin^3x+^j的圖象向右平移0（°>0）個單位長度,

/一、

c.6c7T

得到y(tǒng)=2sin3（x-e）+?=2sin3x-3^+—,

所以g（x）=2sin[3x-30+?）,

當(dāng)xw（0,8）時，3x-3e+（w-3。+?，?），

又函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,9)上恰有兩個零點,

JTJ7TSTT

所以—2萬<—3（pH—<—4f解得—<?V—,

4124

即。的取值范圍是（魯，,?故選C.

6.C若小張、小胡、小李、小郭這四人中，沒有人選擇“喬家大院”線路，則報名情況有C：xA：=144種.

若小張、小胡、小李、小郭這四人中，恰有1人選擇，喬家大院”線路，則報名情況有C；（C；xA；）=144種.

所以不同的報名的情況總共有144+144=288種.故選C.

7.B由題意知Sr="（4+=15%>0,所以％>0,

又￡6=16（〃；46）=8（4+的）<0,

所以4+。9<°，所以為<-。8Vo.

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,則d=%一/<°，

ae,=a.+7d>0,1d2

所以4>0.所以481,所以一一<一<一一

4+4=6+7d+4+8d=2%+15d<0,7q15

所以，管e找然｝喘的取值范圍是件田故選口

8.D以力為坐標(biāo)原點，AB,40所在的直線分別為x,丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)產(chǎn)（3）,所以/+/=1,又8（2,0）,C（2,2）,D（0,2）,

所以pB|2+|Pq2+|pq2=（x_2）2+/+（x_2）2+（y_2）2+x2+（y_2）2

=19-8（x+y）,

令x+y=Z,即x+y-f=0,所以直線x+y-f=0與圓/+/1有公共點，所以<1,

解得-

所以仍比+|PC|2+|PD|2)=19-8&.故選D.

9.ABD由表中數(shù)據(jù)可知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為270-200=70,故A正確；

由表中數(shù)據(jù)可知，乙種水稻產(chǎn)量從小到大排列為210,220,240,250,280,所以乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為

240,故B正確；

對于C,甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為:x(250+240+240+200+270)=240,乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為

1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)，故C

錯誤；

甲種水稻產(chǎn)量的方差為

-x[(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-240)2]=520,

乙種水稻產(chǎn)量的方差為

1x[(250-240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,

所以甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差，故D正確.

故選ABD.

10.AC令x=l,y=\,得/(1)=/(1)+/(1)，解得/(1)=0,故A正確；

令％=-1,y=-\t所以/(1)=一/(一1)一/(一1)=0,解得=令y=-l,所以

/(-j)=xf(-1)-/(x)=-/W?所以/(x)是奇函數(shù)，所以/(力的圖象關(guān)于原點對稱，故B錯誤；

因為/(2")=/(2”TX2)=2”T/⑵+2/(2〃->令%=/(2")(〃wN*),

-(/,_,)

則an=+2"(〃22,〃￡N"),所以=2aw_I+1,

令則2=如+1,

又4=2?、2=1,所以也｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以"=4+(〃-〃，所以%=小2",

令5〃='/(2')=￡4=4+。2+3+%=1'2+2'22+3乂23+3+〃，2”，

*=i*=i

則2S,=1x2：+2x2,+3x24+???+(〃-+

所以—S“=2+22+23+…+2”—〃-2"”

2x(l—2")

=—12=(l-w)2w+,-2,

所以S〃=5—1).2e+2,

2024

所以Z/(2')=2O23x22°25+2,故C正確，D錯誤.

r=l

故選AC.

1I.ACD以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示.

則0(0,0,0),4(0,0,2),4(2,0,2),4(222),

當(dāng)點尸是線段4。的中點時，尸(1,0,1)，

設(shè)司0,2,4)(0￡心2),

所以西二(一1,0,1),西二(1,2,1),港二(-2,2,白一2),

假設(shè)存在點使得4片，平面產(chǎn)42，

則①?乖=2+。-2=0,研乖=-2+4+。-2=0,

解得。=0,

所以存在點E,使得4七，平面P4A，此時點E與點C重合，故A正確;

取8c的中點尸，連接8G，EF,FA,g,RE,如圖所示.

則)〃3G，ADJIBC、,所以4。"/EF,

又易得AD】=2&,EF=42,AF=D、EM,

所以梯形NQER的面積為

Aq+EFlc2（AD.-EF^2&+夜I（20-⑶9

J-

9

所以過/,E,A點的平面截該正方體所得的截面的面積為2,故B錯誤.

又8（2,2,0）,設(shè)E（0,2,w7）（0《m?2）,

所以西=（一2,-2,2）,礪=（一2,0,加），

所以點E到直線的距離

d二|酈in（西,礪”網(wǎng)卜cos?畫面就

、2

BD.BE瓦一^777

阿J獷

所以人=日

此時拉=1,所以點E到直線82的距離的最小值為0,故C正確;

取。。的中點G,連接EG,EP,GP，

易得GE_L平面44"。，又GPu平面44AO,

所以GE_LG尸，所以GP=JPE?-GE?=J（2五了一Z?二2,

則點P在側(cè)面44"。內(nèi)運動軌跡為以G為圓心，半徑為2的劣弧,

分別交/。，42于2，4，

則N6G。=NgGZ）=3,則NRGg=j,

所以點尸的軌跡長度為工乂2=白，故D正確.

33

故選ACD.

12.8由題意知Z=<xwN；<3"i<27-={0,1},又leNnB，

所以IwB,所以產(chǎn)一3+加=0,解得加=2,

所以5={#2-3%+2=0}={1,2},所以4U8={0』,2},所以4U8的子集的個數(shù)為2,=8.

13.--因為tana=2tan/，即理q=22空，

12cosacos/7

所以sinacos/=2sincosa，

因為sin(a+/)=sinacosP+cosasin/?=z,

所以3cosasin/7=；,解得cosasin/7=sinacosP=~^,

所以sin(夕一a)=sin/?cosa-cos/sina='一,=一'.

V3,2V32

20x——b=——bA,

63

由余弦定理可得怩聞2=\AF^\AF^-2\AF^AF^QSO,

即4c2=（|四|+|力用）2-2|4用|力周一2M與IM用cos。

=4/+(-2-2cos6)M|陽,

則(2+2cos。)|月6||月月|=4/-4d=4/,

所以△月力用的面積S=；|/用卜in0=?焉心沙,

所以石sin6-cos9=1,

BPsinf3-7-1\=—,由于。一巴￡冗54,所以。二2.

626~69~63

又|力用=|力/，所以△4大8是等邊三角形，即|力用=忸個=|力卻,

由橢圓的定義可得?用+忸制+MM=4a,所以M耳1=5〃，

則|/月=|〃，忸周二等，所以46_1耳冷

則幽二瞥二2Mm二殛.

恒周閨用3

旦

.解：（因為sinCeosB,

151）csin"C—Z)sin2C+

42

由正弦定理得

?.B+Cy[5..__y/S.2z-rn

sinCsin-------=——sin5sin2C+——sin-Ceos5

242

=—sin5sinCeosC+—sin2Ceos6

22

=亭sinC(sin8cosC+sinCeosB)=sinCsin(8+C),

又sinCwO,所以sin=弓5抽（3+。）,所以sin"="^sin（〃一七）,

所以cosd=@sinJ=V5sin—cos—?

2222

4八.Av5AL.

又一w0,—，cos一工0,所以sm—=——，cos—=JI-sin

2^2)2252V

所以sin4=2sin—cos—=—.

225

(2)設(shè)。6=2x(x>0),又2DC=5DB,

(方、4

所以Z)C=5x,cosZ.BDC=cosA+—=-sinA=——.

I2J5

4/+25/-僅扃

由余弦定理得8S4OC二”蓋薩4

在△8OC中,

2-2J-5x5

解得了二2,

所以30=4,DC=\0,

DB44

又sin4=—=—=-,所以。力=5,AC=DA+DC=\5,

DADA5

XAB2+BD2=AD2,所以48=3,

114

所以△ABC的面積S=-48?4Csin4=-x3xl5x-=18.

225

16.解：（1）零假設(shè)為“0：學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

二幽世2也**"3.84f,

200x200x220x180

根據(jù)小概率值a=0.050的獨立性檢驗，我們推斷從不成立，即認(rèn)為學(xué)生對長跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯誤的概率不大于0.050.

（2）從調(diào)查的不喜歡長跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人，其中男生的人數(shù)為:

9x的=4人,

80+100

女生人數(shù)為：9x10°=5人.

80+100

X的所有可能取值為0,1,2,3,

C31r2r'5

所以尸（x=0）寶』尸"】）=營F

尸（X=2）窄吟，P（X=3）咯*

（3）由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率p二段

11a?

所以〉'?，所以E（y）=12x布=彳

【20J

17.（1）證明：過點。作C//J.EO,垂足為，,

在PE上取一點使得1PM=%E.連接，F(xiàn)M,

3

如圖所示.

333

因為。是/C的中點，且所以CH〃EB且CH=LEB,

3

所以CH〃FM且CH=FM,所以四邊形CFM”是平行四邊形，所以C/〃，A/,

又CFC平面尸HWu平面POE,所以Cr〃平面「。E.

（2）解：因為PELED,PELBD,ED（｝BD=D,ED,BDu平面BCDE,所以尸￡_1_平面

BCDE,

又BEu平面BCDE,所以PE_L8￡,PB=y/PE2^BE2=2y［5.

又EBLED,所以￡3,ED,E尸兩兩垂直，

故以￡為坐標(biāo)原點，EB,ED,E尸所在的直線分別為x軸，歹軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

所以B（30,O,O）,￡＞（0,V2,0）,P（0,0,V2）,C（V2,2V2,0）.

設(shè)平面PBD的一個法向量G=（x,y,z）,

又麗=卜30,0,&),5D=(-372,72,0),

n.BP=-3\f2x+V2z=0,

所以

n-DD——3y[2.x+y/2,y—0,

令x=l,解得y=3,z=3,

所以平面PBD的一個法向量3=(1,3,3).

設(shè)旃=XBP=(-3722,0,&)(0</1<1),

^l^CF=CB+BF=(2V2,-25/2,0)+(-3V2A,0,必)

=(2亞一304,—20,&),

設(shè)直線CF與平面PBD所成角的大小為6,

4>/24>/38

-----------------,=_

J1+9+9xJ(20-3廄+卜2碼2+(舊了57

解得2=,或;1=工，所以BF==BP=后或BF=LBP=^~.

2102105

18.解：（1）由題意知C的準(zhǔn)線為4=一“，又。的準(zhǔn)線與圓。：/+2=］相切，所以一"二［,

22

解得p=2,所以。的方程為/=4x.

（2）設(shè)點產(chǎn)（加,%），點4（一1,“），點B（-1,〃），直線尸Z方程為y-陽二^^9——（x+1）,

X。+1

化簡得（為+l）y+（為一加）一加（%+1）=0.

又圓。是△尸48的內(nèi)切圓，

.、1%-m+m（x+1）1

所以圓心0（0,0）到直線尸4的距離為1,即廣0「a042二葭

4（%-加＞+（/+1）2

故（%一加）2+（/+1）2=（凡一加）2+2機（盟一機）（見+1）+〃/優(yōu)+1）2,

易知%＞1,上式化簡得，（/-1）/+2%〃?一（工0+1）=0,

同理有（見-1）/+2yon-（xo+l）=O,

所以陽，〃是關(guān)于f的方程—+2）^—（/+1）=0的兩個不同的根,

所以m+〃=2y。_,mn=（*。+“

/T“0T

4j；[4（/+1）

所以|.48「=（加―〃）2=（7W+H）*2-4mn

（與-1）%。一1

又點尸是。上的一點，所以訴=4/，

16x2

所以|,4回=I.o+9=2k+4x（）-l

11M（"）"M（"）

①若MM=2右，則2J；：：F=2不，

解得%=3或x0=g（舍），所以點〃的橫坐標(biāo)為3.

②因為點尸（為,線）到直線％=T的距離"=玉）+1，

所以△44的面積

片+4%-1j（x°+i）2（r+4x0-i）

S=g網(wǎng).d=；x2

（"）23）Y—1）2

1

t+4+町（r+4+6，）Ls4016”

令%—1=[，＞0）,則5二2t+10rH---1——+32,

因為』十卷1622J”產(chǎn)=8,10/+

42=40,

t

當(dāng)且僅當(dāng)f=2時等號成立，所以S2,8+40+32=46,

即APAB面積的最小值為475.

19.(1)解：若〃=4,則/(x)=(x-4)e'+x+4,所以/'(x)=(x-4)e'+e*+1=(工一3)廿+1,

所以r(O)=(O